安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷）（原卷版+解析版）

2024~2025学年度第二学期高二3月联考数学（A卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（）A.19 B.20 C.90 D.2002.已知等差数列前项和为，若，则（）A. B.10 C.19 D.383.有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（）A.24种 B.48种 C.96种 D.144种4.已知，则（）A.364 B.365 C.728 D.7305.已知点是抛物线：上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值是（）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是（）A2 B. C. D.7.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）A.2520种 B.3360种 C.3570种 D.4410种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于二项展开式，说法正确的是（）A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024C.展开式的常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象在的切线的斜率为0B.函数在上单调递减C.是函数的极小值点D.是函数的极大值11.将个数排成行列的一个数阵，如：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数图象在处的切线方程是______.13.已知数列的前项和为，若，，则______.14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支和左支分别交于点，，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.16.已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列前项和.17.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：对且，都有.18.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴与轴，且经过点，.（1）求的标准方程；（2）若是的右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点.求四边形面积的取值范围.19.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为.而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面.（1）若点，，，求平面的方程；（2）求证：是平面的一个法向量；（3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值.

2024~2025学年度第二学期高二3月联考数学（A卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（）A.19 B.20 C.90 D.200【答案】A【解析】【分析】根据题意用分类加法计数原理相加即可.【详解】因此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为.故选：A.2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B.10 C.19 D.38【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可求解【详解】因为数列是等差数列，所以.故选：C.3.有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（）A.24种 B.48种 C.96种 D.144种【答案】D【解析】【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列.【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法，再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法，则不同的坐法有种坐法.故选：D.4.已知，则（）A.364 B.365 C.728 D.730【答案】B【解析】【分析】利用赋值法计算.【详解】令，得①，令，得②，①+②，得，所以.故选：B.5.已知点是抛物线：上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可知，过点作，交直线于点，当在线段上时，取得最小值.【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为，过点作，交直线于点，由抛物线的定义可知，，所以当在线段上时，取得最小值，.故选：B.6.在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两点距离公式求得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，易得到直线的最大距离，最后应用三角形面积公式求面积最大值.【详解】设点，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又直线的方程为轴，所以点到直线的最大距离为圆的半径，即，所以面积的最大值为.故选：C7.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，目标即可转化为解不等式，再结合可得在上单调递减的性质即可.【详解】令，则，所以在上单调递减，因为，所以不等式可变为，即，所以，即，所以不等式的解集为.故选：D.8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）A.2520种 B.3360种 C.3570种 D.4410种【答案】D【解析】【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决.【详解】分4步进行分析：①对于区域，有7种颜色可选；②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；④对于区域、若与颜色相同，区域有5种颜色可选，若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，则区域、有种选择.综上所述，不同的涂色方案有种.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于的二项展开式，说法正确的是（）A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024C.展开式常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大【答案】BD【解析】【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确.【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误；展开式的二项式系数之和为，故B正确；展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项为，故C错误；当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确.故选：BD.10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象在的切线的斜率为0B.函数在上单调递减C.是函数的极小值点D.是函数的极大值【答案】AD【解析】【分析】结合图象可得出和的区间即可得出的单调性和极值.【详解】由图可知，所以函数图象在的切线的斜率为0，故A正确；由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；由图可知时，，所以函数在上单调递增，因此不是函数的极小值点，故C错误；由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，则是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确.故选：AD.11.将个数排成行列的一个数阵，如：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】综合运用等差数列，等比数列的性质和求和公式计算可以判定各个选项.【详解】由题意，根据等差数列的通项公式得,根据等比数列的通项公式得.因为，，所以，解得（，舍去），故A正确；所以.，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选:ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象在处的切线方程是______.【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，进而写出方程.【详解】由已知，得，，所以，所以所求切线方程为，即.故答案为：.13.已知数列的前项和为，若，，则______.【答案】【解析】【分析】根据先求数列的通项公式，再求数列的前50项和即可.【详解】因为，所以，所以数列是常数列，因为，所以，所以.故答案为：2500.14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支和左支分别交于点，，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】由双曲线的定义及余弦定理可求得，结合三角形面积公式可得，得，设，，根据条件可表达出，，，根据勾股定理逆定理即可得，最后由可得关系式，从而求出离心率.【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，即，设，，由的面积是面积的2倍，得，则，，在中，，所以，解得，所以，，因为，所以，得，即，所以双曲线的离心率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数；（2）用分类法或排除法求排法种数.【详解】（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种.（2）方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法.综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.方法二：5人随机排有种排法，其中甲在中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法.综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.16.已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用题中条件整理可得即可得等比数列，再用等比数列的通项公式即可；（2）运用分组求和法与错位相减法求和.【小问1详解】因为，，所以，，所以.因为，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，即.【小问2详解】因为，所以.其中.令，，两式相减，得.所以，所以.17.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：对且，都有.【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据与1的大小关系分类讨论，用导数判断函数的单调性；（2）构造新函数，并证明函数的单调性.【小问1详解】解：因为，定义域为，所以.当时，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.当时，恒成立，所以函数在上单调递增.当时，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】证明：不妨设，要证对，都有，只需证，即需证.构造函数，则需证函数在上为增函数，结合，因为，所以函数在上为增函数成立，所以当时，对且，都有.18.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴与轴，且经过点，.（1）求的标准方程；（2）若是的右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点.求四边形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用点在椭圆上求椭圆的方程；（2）通过直线与椭圆方程的联立，用设而不求法求弦长，通过构造新函数求四边形面积的取值范围.【小问1详解】解：设的方程为，将点，代入，得解得所以的标准方程为.【小问2详解】解：当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，，，当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，，，所