教育部课题双曲线简单几何性质

教育部课题双曲线简单几何性质2.2.2的简单几何性质(一)

复习引入这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.1.双曲线的定义：

我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.新课讲授2.双曲线的标准方程：xyF1F2Oc2＝a2＋b2F2yF1xO是F1(－c,0)、F2(c,0).焦点在x轴上，焦点是F1(0,－c)、F2(0,c).焦点在y轴上，焦点(a＞0,b＞0)(a＞0,b＞0)复习引入(±a,0)

(0,±b)图形关于x轴、y轴、原点对称范围对称性顶点离心率(a＞b＞0)3.椭圆的简单几何性质：xaA1yB2F2OF1A2-abB1-b新课讲授利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质以为例．(a＞0，b＞0)新课讲授1．范围双曲线上点(x,y)都满足即x2≥a2，a－ax≥a与x≤－a所表示的区域内．∴|x|≥a(a＞0)．双曲线在不等式yOxF1F2∴从几何角度看范围，但要从代数角度证明新课讲授yOxF1F22．对称性双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是双曲线的对称轴．原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．从几何角度容易看出对称性，从代数角度要如何证明。椭圆也一样。新课讲授3．顶点

令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0).令x＝0，得y2＝－b2，这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点.双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．特殊点B1(0,－b)、B2(0,b).yOxA1A2F1F2y=by=-bB2B1新课讲授3．顶点a叫做双曲线的实半轴长．b叫做双曲线的虚半轴长．实轴的长等于2a．线段A1A2叫做双曲线的实轴．线段B1B2叫做双曲线的虚轴.虚轴的长等于2b．实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.yOxA1A2F1F2B2B1虚轴为什么要标出？第一，跟离心率即双曲线开口大小有关，第二跟渐近线有关。渐近就是渐渐靠近。其实两者是一回事。新课讲授4．渐近线

经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，四条直线围成一个矩形(如图)．yOxA1A2B2B1F1F2ab的渐近线.叫做双曲线两条直线新课讲授4．渐近线这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．

a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线.新课讲授如何求出渐近线？

一，即把双曲线方程的右边1改为0。二，画出实轴、虚轴，矩形的对角线就是。要不要死记硬背？新课讲授5．离心率（刻画双曲线的开口程度）双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．，∵c

＞a＞0，∴e＞1．a不变，e增大，则b增大，于是双曲线开口越开阔。例题讲解例1.求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.例2

双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).

A′A0xC′CB′By131225只有到了近代才可以造出来。从近代开始，生活中出现了有双曲线的物体即建筑物。它们是人类研究了双曲线的性质后根据双曲线的性质建造的。不知道双曲线的性质，建筑物是造不出来的。解：如图，建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合。这时，上下口的直径CC′,BB′都平行于x轴，且︱CC′︱=13×2,︱BB′︱＝25×2CxyOA′AC′BB′13122512bïïïïíì==--)1(,1)2(.113)55(1225,22222222ybyCB－在双曲线上，所以因为点图形方程范围对称性顶点离心率渐进线A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称..yB2A1A2

B1

xOF2F1F1(-c,0)F2(c,0)xB1yO.F2F1B2A1A2.F2(0,c)F1(0,-c)小结对于椭圆和双曲线到底是a大还是b大还是c大，需要死记硬背吗？对于椭圆和双曲线到底是a2=b2+c2，还是c2=a2+b2需要死记硬背吗？如果给出椭圆、双曲线具体的数字的方程判断焦点在x轴还是y轴需要死记硬背吗？双曲线的渐近线需要死记硬背吗？