大学物理4振动和波动

2005年秋季学期第2章波动Wave陈信义编

1.§2.1机械波的形成和特征§2.2行波简谐波§2.4波动方程波速色散§2.3物体的弹性变形§2.6惠更斯原理§2.5波的能量§2.7波的叠加驻波△§2.8声波地震波水波§2.9多普勒效应§2.10复波群速度△§2.11孤子目录【演示实验】横波模型、纵波模型、细弹簧纵波、激光倍频，马达激励弦驻波、气体火焰驻波、多普勒效应（抡蜂鸣器）、超声喷泉2.振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波动,简称为波(wave)。机械振动或扰动在介质中的传播称为机械波，如声波、水波和地震波等。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波，例如无线电波、光波和X射线等。机械波只能在介质中传播，例如声波的传播要有空气作介质，水波的传播要有水作介质。但是，电磁波（光）的传播不需要介质，它可以在真空中传播。机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的是某种实在的物理量的波动。3.虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有叠加性，都能发生干涉和衍射现象，也就是说它们所具有的波动的普遍性质。除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现象外，实验中发现，电子、质子和中子这些微观粒子也能发生干涉和衍射。因此，微观粒子也具有波动性。简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是最简单的波。我们以机械波中的简谐波为例来介绍波动的普遍性质。4.§2.1机械波的形成和特征一、机械波的形成····t=T/4··························t=T····················t=00481620············12········

···24··t=T/2·······

··························t=3T/4·················5.弹性介质的质元受外界扰动而发生振动时，因质元之间的弹性联系，会使振动传播开去，这就形成了波动—机械波（mechanicalwave）波动是振动状态的传播，不是介质的传播。机械波形成的条件“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于“下游”某处出现。

6.二、波的几何描述波线（waveline）:表示波的传播方向的射线（波射线）波面（wavesurface）:介质振动相位相同的点组成的面（同相面）波阵面（wavefront）:某时刻波到达的各点所构成的面（波前）球面波平面波波线波面7.三、波的分类按波的性质机械波（mechanicalwave）电磁波（electromagneticwave）纵波（longitudinalwave）按波线与振动方向关系横波（transversewave）气体和液体中的声波是纵波，而固体中的声波既可以是纵波，也可以是横波。水表面的波既非横波又非纵波，水波中水质元作纵向、横向二维运动，即作圆运动。【演示实验】横、纵波模型，细弹簧纵波8.按波面形状平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按复杂程度简谐波（simpleharmonicwave）复波（compoundwave）按持续时间连续波（continuedwave）脉冲波（pulsatingwave）按是否传播行波（travellingwave）驻波（standingwave）9.1、波速u：振动状态（位相）传播的速度。它由介质的性质决定，与波源情况无关。2、周期（period）T：一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。它由波源决定（波源、观测者均不动时）频率（frequency）

角频率（angularfrequency）四、波的特征量不是质元的振动速度！10.3、波长（wavelength）

波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它由波源和介质共同决定波长表示波的空间周期性xu11.§2.2行波简谐波设

为传播的物理量，它沿x轴传播，则某种物理量的扰动的传播称为行波。ξxxx+Δxt+Δt时刻ξxxft

时刻一、行波（travellingwave）为沿+x

向传播的行波，u为波速。12.∴具有沿+x向传播的性质。同理，具有沿-x向传播的性质。行波的波函数：即描述行波传播时，物理量随位置和时间的变化。13.二、简谐波（simpleharmonicwaveSHW）如果传播的扰动是简谐振动，则这样的波称为简谐波（余弦波，单色波）。1、一维平面简谐波的波函数在x=0处质元振动方程为则应有波函数：因无吸收，故振幅A不变。以机械波的横波为例，设平面波沿x方向以速度u传播，介质均匀、无限大，无吸收。14.波函数式中的，称为波的位相。波在某点的相位反映该点质元的“运动状态”。所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。相速度（相速）设t时刻x处的位相经dt传到（x+dx）处，则应有于是得到即，简谐波的波速就是相速。15.2、一维简谐波函数的另一种表示0x沿波传播方向每增加的距离，位相落后2。说明：因此，x点比0点位相落后。16.

全反射壁

(l-x)lxy0=Acosωt入射反射S0【例】反射波在S处相位改变。如图示，已知：y0=Acost，波长为，求：反射波函数y(x,t)解：全反射，A不变。波由0经壁反射到x传播了距离l+(lx)=2lx，相位落后了(2lx)/，在壁处反射相位改变了

，“+”表示沿

x方向传播取+、均可17.3、波函数的意义（1）t=t0，yx给出t时刻空间各点位移分布。（2）x=x0，yt给出x点的振动函数。Tyt0振动曲线x

=x0xy0波动曲线t=t018.【例】yx0

已知一个向右传播的波在x=0点的振动解：yt-TTA0A-A较0点相位落后/20yAx=0点初相位为－/2向+y方向运动t=0t>0试画出该波在曲线如图所示。t=0时的波形曲线。19.4、一维简谐波波函数的复数表示表示单位距离内位相的变化定义波数（wavenumber）：振动因子空间因子（复振幅）复数表达式：－：向右＋：向左波函数：：x=0点的位相【例】自由粒子波函数：20.△§2.3物体的弹性变形着重搞清线变、切变和体变的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。（自学书第2.3节）21.§2.4波动方程波速色散一、一维波动方程以任意一个沿x正方向传播的行波为例比较可得波动方程，描述经典波动过程的普遍方程。任何行波，包括平面简谐波，都是它的解。，设u为波速22.波动方程虽由行波波函数得到，但其解并不限于行波。任何物理量，无论是位移，还是电场或磁场，只要它与坐标、时间的函数关系是波动方程的解，那么该物理量的运动形式就一定是波动。波动：运动函数满足波动方程的运动。23.气体中：

液体中：

（体积模量）—比热比二、波速体变ppppV+

V24.固体中（切变模量）（杨氏模量）书表2.2：，地震波传播……弹性绳上的横波：l—绳的线密度F—绳的初始张力，横波F切变FSll

FF线变纵波切应力切应变应力线应变25.三、色散（dispersion）

上面给出介质中的波速，只与介质的性质有关，而与波的性质无关。实际上，在有些介质中，波速除了与介质有关外，不同频率简谐波的波速也不同。能产生色散现象的介质称为色散介质。不产生色散现象的介质称为无色散介质。这种波速与波的频率（波长）有关的现象称为色散。26.100可见光X光反常色散区玻璃对光的色散曲线n玻璃（c/u）对X光来说，玻璃的折射率<1。27.四、真空中电磁波的波动方程真空中麦克斯韦方程组（1）（2）（3）（4）对方程2两边取旋度，并应用方程1、4，有28.（1）（2）（3）（4）对方程4两边取旋度，并应用2、3，有29.真空中电磁波的波动方程：满足波动方程的量是场矢量。30.§2.5波的能量一、波的能量波在弹性介质中传播时，介质的质元由于振动而具有动能，因发生形变还具有弹性势能。介质质元能量是如何变化的？能量传播的规律如何？以弹性棒中的简谐横波为例来分析：随着扰动的传播，质元的能量也向前传播。对于机械波来说，我们把波动引起的介质的能量，称为波的能量。31.yx0yx

y=Acos(t-x/u)0uxx+xy“质元”形变势能ΔWp，振动动能ΔWk切变模量®xFFyS32.∴又33.∴质元总能量波动质元：每个质元都与周围媒质交换能量。能量密度（energydensity）：平均能量密度：振动系统：系统与外界无能量交换。34.适用于各种弹性波。能量的传播：0x

yuAwu传播能量“一堆一堆”地传播。w处，；处，35.二、能流密度（energyfluxdensity）→能流波的传播→能量传播能流密度S—单位时间内通过垂直于波线波的强度

Iu单位面积xuw—介质“特性阻抗”方向单位面积波的能量。（平均能流密度）36.利用和能量守恒，可以证明，对无吸收介质，有：平面波球面波柱面波

r场点到波源的距离37.三、波的吸收（absorptionofwave）波通过介质时，一部分能量要被介质吸收。机械能→热运动能（不可逆）；造成吸收的因素：疏部、密部有温差，发生热交换，非弹性碰撞使分子机械能机械能→热运动能（不可逆）；→分子内能（不可逆）。(1)内摩擦：(2)热传导：(3)分子碰撞：38.定义吸收系数对平面波：x+dxx0A0AA+dAx设=const.则∵39.空气：钢：空气中低频波可传得很远频率很高时（超声）

超声波探伤：探测器钢件超声波若频率40.§2.6惠更斯原理（Huygensprinciple）前面讨论了波动的基本概念，其传播方向、惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法）现在讨论与波的传播特性有关的现象、原理和规律。是一种处理波传播方向的普遍方法。频率和振幅都有可能改变。由于某些原因，波在传播中，41.发射子波（次级波）的波源（点源），就是波在该时刻的新的波面。的任一时刻，一、惠更斯原理（1690）1、原理的叙述介质中任意波面上的各点，都可看作是其后这些子波面的包络面（包迹）2、原理的应用已知t时刻的波面t+t时刻的波面，从而可进一步给出波的传播方向。42.t+t时刻波面·····ut波传播方向t时刻波面平面波t+t球面波例如，均匀各向同性介质内波的传播：u···············t43.二、波的衍射（wavediffraction）衍射：波传播过程中，当遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。·入射波衍射波障碍物···入射波衍射波障碍物a障碍物的线度越大衍射现象越不明显，障碍物的线度越小衍射现象越明显。相对于波长而言，44.水波通过窄缝时的衍射45.广播和电视哪个更容易收到?更容易听到男的还是女的说话的声音？障碍物（声音强度相同的情况下）46.三、波的反射和折射（reflection&refraction）

△1.波的反射（书P74）2.波的折射：用惠更斯作图法导出折射定律u2t媒质1、折射率n1媒质2、折射率n2i法线B入射波A··E·Cu1u1t··FDu2折射波传播方向r——折射定律光波得到47.光密介质光疏介质时，折射角r>入射角

i。全反射的一个重要应用是光导纤维（光纤），irn1(大)n2(小)i=iC

r=90n1(大)n2(小)当入射i>临界角iC

时，将无折射光—全反射。iC

—临界角它是现代光通信技术的重要器件。48.光导纤维49.光缆电缆图中的细光缆和粗电缆的通信容量相同我国电信的主干线可达300公里。也只有几十公里。而且损耗小。光纤通信容量大，在不加中继站的情况下，光缆传输距离而同轴电缆只几公里，微波早已全部为光缆。50.近10年发展起来的导管X光学也应用了全反射现象。对X光来说，玻璃对真空的折射率<1，故X光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。X光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃就可以沿着弯曲的导管传播。管内，应用毛细的X管束可制成X光透镜。聚焦提高光束功率密度将发散光变为平行光51.一、波的叠加原理(superpositionprinciple)§2.7波的叠加驻波若几列波同时在介质中传播，则它们各以原有的振幅、波长和频率沿原方向独立地传播，彼此互不影响（独立传播原理）；波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和（波的叠加原理）。1、叠加原理成立的条件：

波强度较小，波动方程是线性的。52.波强度过大时，介质形变与弹力的关系不再呈线性，波动方程非线性，叠加原理不成立。2、光学的非线性现象EB入射到介质中的光波引起振动：53.强光通过介质时,介质出现非线性,引起：光学整流、倍频、混频等效应

弱光：E0<<原子内部电子受到的电场强度（～1010V/m）。普通光源的光属弱光(E0～103V/m)强光：激光的E0可超过109V/m弱光通过介质时，介质的电极化强度与电场呈线性关系：54.强光通过介质会怎样？线性项光学整流倍频

例如，红宝石激光器发出的红光通过石英晶体转变成倍频紫外光（1961年）。55.放在两反射镜间的YAG棒，在光泵激励下发射1.06微米波长的红外激光。它通过按特定方向切割的碘酸锂晶体时，出射的除了1.06微米的激光外，还有波长为0.53微米（为入射光波长的一半，即其频率的一倍）的绿光。【演示实验】激光倍频56.

相干条件：（1）频率相同；（2）振动方向相同；（3）相位差恒定。两列波干涉的一般规律留在后面光的干涉中再去分析。这里只研究一种特殊的、常见的干涉现象—驻波（standingwave）波叠加时，在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干涉。二、波的干涉现象57.三、驻波就形成驻波，能够传播的波叫行波（travellingwave）1、驻波的形成和描述两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，它是一种常见的重要干涉现象。【演示实验】弦驻波（横驻波）气体火焰驻波（纵驻波）58.驻波不传播，各点做简谐振动，振幅随位置不同而不同。设两列行波分别沿x轴的正向和反向传播，在x=0处两波的初相均为0：绝对值为振幅振动驻波的波函数：从波函数上看，为什么不传播？59.2At=0y0x0t=T/8xx0t=T/20xt=T/4波节波腹/4-/4x02A-2A振动范围/2xt=3T/8060.是一个线性的齐次方程，所以如果y1和y2是波动方程的解，那么它们的叠加y1+y2也一定是方程的解(波的叠加原理)。驻波是两列行波的叠加，而行波是波动方程的解，所以驻波也是波动方程的解。由于波动方程波动方程虽由行波波函数得到，但其解并不限于行波。任何物理量，无论是位移，还是电场或磁场，只要它与坐标、时间的函数关系是波动方程的解，那么该物理量的运动形式就一定是波动，它可以是行波，也可以是驻波。61.各处不等，出现了波腹（振幅最大处）和波节。测波节间距可得行波波长。相邻波节间距/2，（1）振幅：（2）位相：不传播。驻波是分段的振动。两相邻波节间为一段，2、驻波的特点同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反。x00x62.波节（波腹）的两边，不发生能量交换。驻波相邻的波节和波腹之间的/4区域，实际上构成一个独立的振动体系，它与外界不交换能量。能量只在/4区域内流动。波节静止波幅附近无形变总能流密度为但质元间仍有能量交换。（3）能量：平均没有能量的传播，63.能量由波节向波腹流动瞬时位移为0，能量由波腹向波节流动势能→动能动能最大。势能为0，动能→势能EpEpEkEpEpEk参考材料：“驻波能量流动特性”64.3、的情形：设严格的驻波行波仍可叫“驻波”，不过波节处有振动。4、驻波的界面情况0驻波z2z1x—特性阻抗界面上总是波节界面上总是波腹波疏波密介质波密波疏介质65.波腹位相不变波疏介质波密介质x驻波入射波和反射波的波形波节驻波位相突变波疏介质波密介质x“半波损失”half-waveloss

（z小）（z大）（z小）（z大）66.为什么会发生位相突变？0透射波y2反射波y1入射波y1z2z1x入射波反射波透射波适当选择时间零点，各波波函数为67.（2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）（1）界面两侧质元位移相同（接触）[y1+y1]x=0=[y2]x=0（纵波）机械波垂直界面入射，有界面关系：

将y和E=u2代入界面关系，得：68.反射波和入射波引起界面质点的振动同相。和同号，(波密波疏介质)：若反射波和入射波引起界面质点的振动反相，位相突变。和反号，(波疏波密介质)：若透射波和入射波引起界面质点的振动总是同相。和总是同号，69.平面驻波：提琴全息振型平面驻波“鱼洗”之谜【演示实验】鱼洗（六教A区500号演示大厅）70.四、简正模式

（normalmode）波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。如两端固定的弦，L或—系统的固有频率F—弦中的张力l

—弦的线密度波速形成驻波必须满足以下条件：71.基频n=1二次谐频n=2三次谐频n=3每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简正模式。两端固定的弦：72.Ln=1,3…L=nn=1,3…L=n三次谐频n=3n=3

三次谐频边界情况不同，简正模式也不同：Ln=1

基频1n基频n=173.末端封闭的笛中的驻波末端开放的笛中的驻波【演示】圆环简正模式氢原子中电子驻波74.一般地说，对于一个驻波体系存在无限多个本征频率和简正模式。在这一体系中形成的任何实际的振动，都可以看成是各种简正模式的线性叠加，其中每一种简正模式的位相和所占比例的大小，则由初始扰动的性质决定。当周期性驱动力的频率与驻波体系的某一简正频率相同时，就会使该频率驻波的振幅变得最大，这种现象也称为共振。利用共振方法可以测量空气中的声速。75.水槽插入两端开口玻璃管，音叉置于管上端，音叉频率为，管中空气柱长度l通过水面高低调节。水面由管顶端下降到l=a时，声强第一次达到最大;下降到l=d+a和l=2d+a时，声强第二、三次最大。声强出现极大，表示音叉频率与管内空气柱固有频率相同而发生共振。76.设＝1080Hz，d=15.3cm，则空气中声速为77.§2.8声波*地震波*水波声压：（可正、可负）（soundpressure）声压振幅：声强：（intensityofsound）标准声强：这个声强人能够勉强听到，称为闻阈。对声波，要求清楚如下概念：=1KHz（），78.声强级：（soundintensitylevel）正常说话~60dB，噪声>90dB，炮声~120dB。每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级。声响曲线听觉界限频率HzdB声强级79.dBHz声阈频率语音范围疼痛界限音乐范围听觉界限声强级声音范围80.超声波：>20KHz的声波要求了解其应用：加湿器（演示实验）声致发光超声探伤声纳（海底地形）超声焊接、切割、手术B超【演示实验】超声喷泉81.声致发光（清华物理系安宇）82.由于波源和观察者的运动，而使观测的频率不同于波源频率的现象。§2.9多普勒效应(Dopplereffect)一、机械波的多普勒效应设运动在波源S和观测者R的连线方向上，以二者相向运动的方向为速度的正方向。vS

>0vR>0SR（相对介质）（相对介质）（波源频率）（观测频率）【演示实验】抡蜂鸣器u（波速）83.vS=0vRuvR

>0(R接近S)，vR

<0(R远离S)，（1）vS

=0，vR

≠0单位时间内接收波的个数：S··R·84.vS

S···RR（2）vR

=0，vS≠00RuTSvS

>0,vS

<0,vSTS·SR85.水波的多普勒效应（波源向右运动）86.（3）vR

≠

0，vS

≠0当vR

=vS

时，无相对运动：速度vR、vS

是相对介质而言，并以相向为正。vS=0，vR≠0：vS≠0，vR＝0：87.【例】一静止声源S频率S=300Hz，声速u=330m/s，观察者R以速度vR=60m/s向右运动，反射壁以v=100m/s的速度亦向右运动。解：R收到的声源发射波的频率：反射壁收到的声源发射波的频率：

求：R测得的拍频B

=?

vvRRS*uSR收到的反射壁反射波的频率：88.