新老数学教材的比较

四川省教育科学研究所李兴贵走进课改：第一部分新老教材综合难度比较与教学启示第二部分中考改革与中考试题评价分析第三部分义务教育数学课程标准（修改稿）情况介绍第一部分

新老教材综合难度比较与教学启示一、问题选择：教材习题系统综合难度的比较二、研究模型的选择数学课程综合难度模型(鲍建生，2002a,2002b)难度因素水平探究识记理解探究背景无实际背景个人生活公共常识科学情景运算无运算数值计算简单符号运算复杂符号运算推理无推理简单推理复杂推理知识含量单个知识点两个知识点三个知识点四个知识点1、综合难度因素的水平划分2、利用加权平均的方法计算各难度因素的量化指标三、样本的选择老教材：人教版三年制初中课本《代数（第二册）》与《几何（第二册）》（2001年出版）习题总量：2117新教材：华东师大版课标教材八年级《数学》（上、下）册（2002年出版）习题总量：1004四、难度因素比较分析1、探究水平

2、背景水平3、运算水平4、推理水平

5、知识的综合难度

6、综合难度

结论：新老教材相比，在探究与背景水平上有了较大的提高，教材中不仅增加了许多开放性、操作性的数学探究活动，而且更多地考虑了数学问题的实际背景。其中特别是加强了数学与生活的联系。而在传统数学“双基”上，则有所下降，减少了符号运算与推理的复杂程度，特别在几何内容的处理上，增加了几何变换的作用，减少了理论深度，已逐渐从“在定理的层面上展开的课程”转变为“在定义的层面上展开的课程”，使几何论证回到“原始的生长点”。

二、对数学教学的启示1、正确地处理好“双基”教学

数学运算能力、记忆与模仿的学习方式、非形式化数学教学与逻辑严谨性、数学练习2、透彻理解教科书（教材的把握与二次开发）教材的二次开发：主要是指教师和学生在实施课程中，依据课程标准对既定的教材内容进行适度的增删、调整和加工，合理选用和开发其他教学材料，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需要。一般在三个向度上展开：一是对教材灵活的、创造性的、个性化的运用；二

是对其他教学资源的选择、整合与优化；三是自主地开发其他的新的教学资源。

3、加强变式教学概念性变式：对概念的多角度理解过程性变式：数学活动的有层次推进4、加强数学阅读、数学语言的教学（《新课程：数学阅读教学新论》）

5、加强现代课堂教学研究

促进学生的发展、促进教师的成长、以学论教

6、深入开展校本教学研究

让教师成为研究者，是帮助教师克服职业倦怠、实现个人价值、享受专业幸福的最佳途径。

7、处理好教学中的矛盾

传承与创新；预设与生成；自主与指导；方法与效果；常模与变式等。

第二部分中考改革与中考试题评价分析一、四川省初中生数学学业考试考试说明根据教育部的有关精神和要求，四川省教育厅结合我省实际制定了《四川省2006年基础教育课程改革实验区初中毕业生学业考试考试说明》

四川省教育厅在印发《考试说明》文件中明确指出：《考试说明》是初中毕业生学业考试命题的依据，是考试内容及其要求的具体化。各地在教学中应依据课程标准和《考试说明》组织复习，学校应采取有力措施，使教师和学生熟悉《考试说明》。

四川省实验区初中学业考试考试说明Ⅰ．考试性质四川省基础教育课程改革实验区初中毕业生数学学业考试是义务教育阶段的终结性考试之一，目的是全面、准确地评估初中毕业生达到《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》所规定的数学毕业水平的程度．考试的结果既是确定学生是否达到义务教育阶段数学学科毕业标准的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据之一．

四川省实验区初中学业考试考试说明Ⅱ．考试方式

数学学业考试采取闭卷笔试的方式，考试时间为120分钟，满分为120分．参加考试的学生可以带三角板、圆规、量角器、笔、计算器进入考场（没有计算器的可以不带，不做统一要求）．

Ⅲ．试卷结构1．基本结构

数学学业考试采用一卷制．试题题型包括客观性试题和主观性试题两大类．客观性试题指选择题和填空题．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程．主观性试题指计算题、证明题、阅读题、画图题以及探索题、开放题等（常统称为解答题）．解答题要有解题的主要过程，关键步骤不能省略．四川省实验区初中学业考试考试说明2．题型比例全卷共25个小题，具体比例为：填空题约占25%；选择题约占10%；解答题约占65%．

四川省实验区初中学业考试考试说明3．试题难度比例容易题约占60%；中等题约占30%；较难题约占10%．

IV.命题要求1、命题要遵循的一些原则：

⑴考试的目的是全面、准确地评估初中毕业生达到《全日制义务教育数学课程标准》所规定的数学毕业水平的程度，因此命题必须以数学课程标准为依据，要反映课程改革的理念。按教育部有关领导的要求，这次考试的试题，应该一看就是一套课程改革的试题；同时又要求命题要稳妥，尤其是新题型一定要慎重。

⑵考试兼有水平考试和选拔考试的性质和功能，既要能评估学生是否达到初中毕业的水平，又要能对学生学习的水平进行必要的区分。

2．命题原则考查内容要依据《标准》，体现基础性；试题素材、求解方式等要体现公平性；试题背景要具有现实性；试卷应具备有效性。

3．考查内容作为学生义务教育阶段的终结性考试，数学学业考试的考查内容应当以《标准》中的“内容标准”为基本依据，不得超越。

主要考查方面包括：基础知识与基本技能；数学活动过程；数学思考；解决问题能力；对数学的基本认识等。

4．考试形式与试卷结构

二、中考试题评价分析（一）基本情况简介

2005年，四川省在18个市、州的30个课改实验县（区）进行了初中毕业生数学学业考试，约20多万初中毕业生参加了数学考试，考试成绩既是初中毕业的主要依据，也是高中招生的重要依据之一。

为了提高命题质量，规范试卷在各项指标，根据省教育厅的安排，学业考试由省上制定各科考试说明，统一确定考试的形式、时间、内容范围并给出了样卷，各市州自行组织命题。

我省成都、绵阳、自贡、泸州、德阳、遂宁、内江、乐山、资阳、宜宾、南充、眉山十二个市分别单独命制了本市课改实验区的初中数学学业考试题，达州、广元、雅安、广安、巴中、凉山六个市州委托省教科所命题，共同使用一套初中数学学业考试题，全省共命制十三套初中数学学业考试题。

课改毕业生有使用华东师大版数学教材的，也有使用北师大版数学教材的，其中，使用华东师大版数学教材的有十四个市、州，使用北师大版数学教材的有四个市、州，各市州命制试题都参考了本地使用的教材，省教科所的试题由于考生分别使用了两种不同版本的数学教材，所以只根据课程标准和省里制定的四川省数学学业考试考试说明命制，同时供使用各种不同版本教材的学生使用。

（二）命题过程

1．确定命题人员。

命题人员的确定坚持：①有一定的学术水平，能保证命题的科学性没有问题；②熟悉课程标准和课标教材，其中有实验区的一线教师和教研员；③掌握一定的命题和制卷技术；④有责任心，能保证不泄密，不教毕业班，没有直系亲属参加考试。命题过程

2．学习课程标准、考试说明并签订保密协议。

命题采用学科负责制进行管理，每个学科确定命题负责人，组织本学科全体命题人员学习课程标准、考试说明，参加命题的有关人员都要签定保密协定。

命题过程

3．研制试题双向细目表。

在充分学习课程标准和钻研教材的基础上，根据本地教学实际和命题的各种基本原则，由全体命题人员共同讨论制定实体的双向细目表。

命题过程

4．

初步形成试题。确定双向细目表之后，由参加命题的每个成员根据有关考试的基本要求和命题理论，按双向细目表和确定的分工独立命制相应的试题，以便汇总确定最后的试题。

5．进行审题。

由没有参加命题的，同样具备命题人员资格的老师独立审题，提出意见，然后命题人员再进行修改。在这个过程中，坚持了审题者不改题，不命题的原则。

考试后，为总结经验，肯定成绩，找出问题和不足，以利改进今后的工作，四川省教育厅委托省教科所组织高校、教科所和中学教师组成全省试卷评价组，对十三套新课程数学试卷进行了全面的评价，并量化排序.（三）试题特点

我们认为，新课程试题的命制，要遵从《课程标准》的规定，要反映新课程的理念，同时，对以前中考试题中经实践证明是好的经验要汲取，要保留。为此，我们在命制新课程数学试题的时候注意和重视了以下一些方面（主要分析六市州共用的一套试题）：

1．正确处理毕业与升学的关系。

毕业考试是一种目标参照性考试，是水平考试，而高中招生考试是一种常模参照性考试，是选拔考试，这是两种目的不同、性质不同、要求也不同的考试，要在一次考试中很好地兼顾两方面的要求，是困难的。

我们认为，初中毕业学业考试，从本质上是水平考试，参照目标是数学课程标准，因此，不应过多地考虑高中招生的要求。但因为高中不再单独进行招生考试，而是用学业考试的成绩作为招生的重要依据之一，所以，教育行政部门要求考试成绩要能够对考生进行区分。在这种情况下，我们认为学业考试一定要为初中课程改革导好向，要保证进行正常学习的学生基本都能达到毕业合格线。

我们设定的三类题目的比例是6：3：1，这样，在120分的总分中，有72分是非常基础的题目，在30%的中档题中，我们也注意梯度，逐步加深，这样，可以保证有80分左右的题目是绝大部分考生能够完成的，是可以正常毕业的。

同时，我们在30%的题目中，也安排了10分左右的接近较难的题，加上10%的较难题，对区分高分考生也有较好的作用，而最后一个题目的后一个小问，我们做到尾巴翘够，为区分尖子考生做好工作。

我们认为，学业考试，要坚持以考核学生初中学业知识水平为主，兼顾高中招生，不能过多地考虑高中招生的需要而整体加大全卷的难度，那样将给初中课程改革的正常进行带来消极影响。

2．注重基础，面向多数，保持稳定

数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：

--人人都能获得必需的数学；

--不同的人在数学上得到不同的发展。

初中数学是义务教育的一部分，中小学教育是基础教育，考查学生的基础知识与基本技能始终都应摆在突出的位置，对于学生终身学习有价值的数学基础知识，要作为考查的重要内容，通过加强基础知识的考查，促进初中生人人掌握必需的数学．

我们继续保持了以前中考比较注意的起点底，如第1题是

１．甲地的海拔高度为5米，乙地比甲地低7米，乙地的海拔高度为

(A)－7米；(B)－2米；(C)2米；(D)7米．

从考察有理数知识入手，非常简单，学过的学生都应该知道，而没有学过有理数的就无法回答，既能考察考生对负数概念的掌握，又有利于考生情绪的稳定，便于考生的正常发挥，可以保证考试的信度。

在全卷第60分处的题目是

16．（３）解方程：

．

仍然是基础的解分式方程的题目，直接去分母化为一元一次方程即可求解。

初中数学基础知识和基本技能是学生数学素质的重要内容，中考命题应在整卷题量减少、难度适中的情况下，仍然注重“双基”的考查，注意考查学生的基本运算能力、数学思想方法运用能力、运用数学知识解决实际问题的能力以及周密思考问题的习惯和运用基本知识进行简单规律探索的能力．

3．贴近生活、贴近实际、培养学以至用的习惯

我们在试卷编制时注意了把单纯的纯数学知识尽量联系学生的生活实际，做到生动有趣、有血有肉。如：

３．下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是

①

②③④

(A)②③④； (B)①③④；

(C)①②④； (D)①②③．①②③④６．2004年12月国家统计局公布了西部地区的主要经济指标，其中四川省的工业增加值为155000000000元，用科学记数法可表示为__________________________元．17．如图，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺

设有六块边长为0.5米的正方形

地砖，因此测算出B点到墙脚之

间的距离为3米，请你帮助小勇

算出树的高度AB约为多少米？

（结果保留1位小数；参考数据：，）

22．某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛．八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？

这些题目，都注意了把学生学习的数学知识放在现实生活中情境中，贯彻了课程改革的理念。

4．关注数学核心知识的考核

在全卷的命制过程中，无论是基础题，联系实际的题目还是探索性题目、综合性题目，无论是考察计算、作图还是数学活动，我们都十分注意突出数学核心知识的考核。我们在全面考察的同时，加强了对方程、函数、变换、统计应用等内容的考核，加强了对数学思想方法的考察。

23．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，该材料加热时，温度y与时间x（分钟）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，

那么从开始加热到停

止操作，共经历了多

少时间？

20．下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1．

（１）“小猪”所占的面积为多少？

（２）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案（只画图，不写作法）；

（３）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A的坐标是（_____，_____）．

19．下表是某市2004年城市居民收支情况抽样调查表，阅读表内信息，完成以下问题：

项目2004年（元）2003年（元）同比增长（%）可支配收入工薪收入8077.856349.4127.2经营性收入289.77222.5330.2财产性收入110.9259.9385.1转移性收入3118.973353.76-7.0小计11597.519985.63

消费支出食品3595.123060.3417.5衣着800.72699.1414.5家庭设备用品及服务484.00419.9515.3医疗保健715.17689.223.8交通和通讯936.31708.3232.2教育文化娱乐服务1099.441094.920.4居住623.13732.98-15.0杂项商品和服务417.87355.0317.7小计8671.767759.90

（１）说明该市城市居民可支配收入的主要来源是什么收入？

（２）该市城市居民可支配收入中同比增长最快的是哪项收入？

（３）从该市城市居民在消费支出方面的信息，你能得出哪些结论？试写出其中的两条．

5．突出对学生思维判断能力的考核，突出对探索能力的考核

整个试卷，我们都注意突出了在初中生能力范围内对学生探索能力的考核。如

15．如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出

4个数,则

（1）a

、c的关系是：

；

（2）当a＋b＋c＋d

＝32时，a

＝

．

５．用一水管向图中所示容器内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注满容器的过程中，容器内水面升高的速度

(A)保持不变；

(B)越来越慢；

(C)越来越快；

(D)快慢交替变化．18．右图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正面，如果正方体的左面与右面所标注

代数式的值相等，

求x的值．25．如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点B、F、C、G在直线l上，△EFG由F、C重合的位置开始，

以1cm/秒的速度沿直线

l按箭头所表示的方向作

匀速直线运动．

（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；

（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式；

（3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时（2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P()，与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数．

对探索题，我们不赞成简单的将高中的有关结论作为探索题放在初中学业试卷中让学生探索，一是因为意义不大，二是容易造成初中补充大量的高中相关结论，不利于初中的有序教学。

5、问题探讨（１）不符合考试说明在考查内容上看，作为初中毕业生学业考试的性质决定了考查内容必须限定在《课程标准》与《考试说明》对学业考试的基本要求之内，但有个别试卷做得不好，使试卷内出现了超出要求的题目。例1在tan46°,sin46°,cos46°中最小的是

。答案：cos46°。评析：本题比较非特殊角的三角函数值的大小，如果用逻辑推理来比较，是超课标要求的，如果用计算器来求解，题目应明确给出“用计算器比较”的要求，但用计算器比较此题意义就不大了，同时没有计算器的学生无法求解，是不公平的．我们认为，类似题目最好不出。（2）试题的科学性、合理性存在问题例1找出下列所给出数的规律，在横线上填出后续的两个数：2013、4102、3014、5104、4015、

、

。答案：6104、5016。评析：本题作为考察学生探究数学规律的能力，仅表现在数字的位置变化上，无法考查学生真正的数学推理与归纳猜想等能力，数学意义不大，同时，有限个数反映出来的规律是很多的，并不唯一，出这类题目一般应在题干中加上“找出一个规律”等字眼，以排除答案的唯一性，但这样又失去了本题考察的意义，所以在编制这类题目时应慎重。例2如图是学生小明自制的一个无底圆锥形纸帽的示意图，围成这个纸帽的纸的面积（不计接缝）是____________________cm2（π取3.14，结果精确到十位）．答案：630。评析：本题原意为考查学生在数学活动过程中对数学知识的理解，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，本是一个好题，但是在最后要求“结果精确到十位”，主观上希望进一步综合近似数的有关内容，但从结果来看，却为学生设置了一道障碍，

例3同学们的数学课本，介绍了著名数学家华罗庚、陈景润、高斯等，从这些数学家身上，我们可以看到，学好数学要对数学有兴趣，要有刻苦钻研的精神，要善于独立思考，善于发现、提出和解决

。答案：问题。评析：本题意图考查学生的数学文化，但有些牵强；同时作为数学学业考试试题的形式与内涵如何整合、和谐，是大家应认真探讨。同时本题答案也是开放的。例4如图，有一圆锥性粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠在正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫所经过的最短路程是

m。（结果不取近似数）答案：3。评析：本题意在考查学生对于展开图的理解和计算，但此题有人为编造的嫌疑。一方面一般情况下老鼠不会舍近求远跑到中间偷吃，另一方面小猫在B处看不见P处的老鼠，同时小猫在粮食堆上跑不出直线段。类似这种问题在其他一些试卷中也或多

例5甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩如图所示，经计算得：（）。（A）甲、乙的总环数相等（B）甲的成绩稳定（C）甲、乙的众数相同（D）乙的发展潜力更大答案：（Ｃ）。评析：本题考查学生的统计知识和根据数据决策的能力，但是在数学表达中出现了用数学思想回答非数学问题，无法让人信服。选项（Ｄ）“乙的发展潜力更大”意义不明确，“潜力”指什么潜力这里不清楚；同时仅从一次比赛的结果就确定发展潜力也缺乏说服力，影响一次比赛的因素是多方面的，可能有身体因素，可能有心情因素，可能有环境因素等，故此题存在争议。数学语言的正确性、精确性和无歧意，是命题中十分重要的环节，也是命题者需要认真学习与反复锤炼的重要任务。尤其是在联系生活实际问题编制数学试题时，需要认真思考，咬文嚼字，充分思考数学语言的特性。例6

现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者需交赞助费5元，活动规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止），若指针最后所指的数字之和为12，则获得一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获得二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获得三等奖，奖金为5元；其余均不得奖；此次活动所集到的赞助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活；（1）分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；（6分）（2）若此次活动有2000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生；（6分）

新课程学业考试题的命制，是一个新的值得探讨和研究的题目，如何才能很好地反映新课程的理念，如何才能更好地保证高中招生制度的改革，还有待我们一起去努力，我们还有很多的困惑，在实践中也感到有很多困难，希望多学习其他经验，努力作到为初中课程改革导好向，为高中招生服好务。

三、命题技术的应用（一）改编试题的常见方法（二）创新试题的主要方法（一）改编试题的常见方法1、设置新的问题情景数学问题＋新的问题情景

新的试题【原型】正方体侧面展开图

我爱伟大祖国（第10题）ACOB（第11题）【例1】（2006眉山）10．如图，是正方体的一个平面展开图，在这个正方体中，与“爱”字所在面相对的面上的汉字是

．[例2】（2006南充）10．如图，是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体后，与空白面相对的字应该是（）Ａ．北 Ｂ．京 Ｃ．欢 Ｄ．迎

北京欢迎你【例3】（2005雅安）18．右图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x的值．

【原型】用科学计数法表示数。【例4】（2005泸州）2．泸县是全省人口大县之一，约为1030000人，用科学记数法表示为（A）1.03×105人（B）1.03×106人（C）1.03×107人（D）1.03×108人【例5】（2006眉山）13．已知空气的密度是克／厘米，用科学记数法表示是

克／厘米．【例6】（2006贵阳）11．一枚一角硬币的直径约为0.022，用科学计数法表示为

（

）(A)(B)(C)(D)

【例7】（2006成都）2．2007年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空飞向月球．已知地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米2、转换题型数学数学问题剖析条件1，条件2，条件3等结论1，结论2，结论3等现有题型的考查重点确立新的考查重点重新改造、组合条件与结论新的设问形式（选择、填空、解答题）新的试题【原型】计算：5－7＝

【例8】（2005雅安）１．甲地的海拔高度为5米，乙地比甲地低7米，乙地的海拔高度为

(A)－7米；(B)－2米；(C)2米；(D)7米．【原型】利用相似三角形的有关知识测量高度（北师大八下126－129，华师大八下80页）

【例9】（2006成都）13．如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为

米．【例10】改编原题（1）如图①，请根据给出的一部分图案（阴影部分所示），借助网格线画出图案的剩余部分，使之构成一个中心对称的图案。（2）在图②中请设计一个以已知虚线为对称轴的轴对称图案，并且满足该图案与图①中的中心对称图案的面积相等。(说明：用铅笔填充图案内部)（2）借助图9之⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：①新图案与图9的①～④的图案不能重合；②

只答第（2）问而没有答第（1）问的解答不得分）

（1）观察图9的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征．改编之后正稿（2005广州）本题主要考查考生对图形进行观察、分析、概括的能力，并运用建立的模型解决相关问题。难度：0.74。3、重新组合所有的知识点＋新的问题载体增加或删减考查的知识点新的表达方式新的试题【例11】（2005长春第13题）图中△ABC外接圆的圆心坐标是

．答案：（5，2）．【例12】（2005雅安）25．如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点B、F、C、G在直线l上，△EFG由F、C重合的位置开始，

以1cm/秒的速度沿直线

l按箭头所表示的方向作

匀速直线运动．

（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；

（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式；

如图12，已知正方形ABCD．

（2）若正方形ABCD的面积为S，求四边形A1B1C1D1的面积；（3）若将条件中的正方形ABCD改为一般四边形ABCD，由本小题(2)中算出的结论是否还成立？为什么？

BCDA图12（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称,点D1和点D关于点A对称；（只画出图形，不写作法）

【例13】（2005广州）（第25题，原稿）（过程稿）BCDA图12

如图12，已知正方形ABCD的面积为S．（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称,点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）（3）若将条件中的正方形改为任意四边形，则按（1）做出的图形是否还具有(2)中算出的结论？为什么？

（2）求（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积；BCDA图12如图12，已知正方形ABCD的面积为S．

（1）

求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称,点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）

（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；

（3）若将条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，则按（1）的要求做出一个新的四边形，面积为S2，则S1与S2是否相等?为什么？

（改后正稿）本题属于几何类探索性问题，本题考生人人均可入手，3个小问题使问题层层深入，能区分出不同层次的考生，优生表现出较强的思维能力、分析问题解决问题能力以及良好的思维与书写习惯，是一道较好的压轴题。但本题解法不多，不能让不同思维特点的考生均有较多的发挥空间。难度：0.29。

18．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类卡片

张，类卡片

张，类卡片

张．

ＡＢＣ请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．【例14】（2006眉山）4、改变立意（1）单纯对运算技能的考查转化为对应用能力的考查（2）单纯的对数或形的知识内容的考查转化为对数形结合能力的考查（3）单纯的推理为体转化为实验操作能力、归纳探究能力的考查(二)创新试题的主要方法（1）从生活中提炼新颖的素材，创新试题（2）化静为动，利用变换创新试题（3）利用折、拼、剪、摆、叠、画等操作性活动构造试题

第三部分义务教育数学课程标准（修改稿）情况介绍

实验稿课标目录修改稿课标目录第一部分前言前言一、基本理念第一部分设计理念二、设计思路一、基本理念第二部分课程目标二、设计思路一、总体目标第二部分课程目标二、学段目标一、总体目标第三部分内容标准二、学段目标（分三个学段）第三部分内容标准（分三个学段）第四部分课程实施建议用“案例”、“说明”的方式融入第三部分（分三个学段）变化：空间与图形图形与几何实践活动、综合应用、课题学习综合与实践目前正在进行的修改稿有以下一些变化：目录

增加了前言，而将原“第一部分前言”改为“设计理念”；第三部分内容标准将“二、空间与图形”三个学段都改为“图形与几何”；原来的“四、”三个学段分别是“实践活动”、“综合应用”、“课题学习”，现统一改为“综合与实践”．前言新增加前言，而将原前言改为“设计理念”，对标准本身的使用范围、根据、内容及要求作了说明：

《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》(以下简称《标准》)是针对我国义务教育阶段的数学教育制定的．根据《义务教育法》、《基础教育课程改革纲要(试行)》的要求，《标准》以全面推进素质教育，培养学生的创新精神和实践能力为宗旨，明确数学课程的性质和地位，阐述数学课程的基本基本理念和设计思路，提出数学课程目标与内容标准，并对课程实施(教学、评价、教材编写)提出建议．

《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，教学内容的选择和教学活动的组织应当遵循这些基本理念和目标．《标准》规定的课程目标和内容标准是义务教育阶段的每一个学生应当达到的基本要求．《标准》是教材编写、教学、评估和考试命题的依据．在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑学生发展和在学习过程中表现出的个性差异，因材施教．为使教师更好地理解和把握有关的目标和内容，以利于教学活动的设计和组织，《标准》提供了一些有针对性的案例，供教师在实施过程中参考．

第一部分设计理念（原来的前言部分）数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会尘产和日常生活的各个方面．数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学浯言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养．数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能．

义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展．课程设计要满足学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识与基本技能，发展学生仙象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感、态度与价值观等方面都得到发展；要符合数学科学本身的特点、体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律和心理特征、有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从头际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程．

为此，提出如下制定《标准》的基本理念与设计思路．

一、基本理念1、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性、普及性和发展性．义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．

2、课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律．它不仅包括数学的结论，也应包括数学结沦的形成过程和数学思想方法．课程内容要贴近学生的生活，有利于学生体验、思考与探索．内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情境化与知识系统性的关系．课程内容的呈现应注意层次性和多样化，以满足学生的不同学习需求．

3、教学活动是师生共同参与、交往互动的过程．有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者．

数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考；要注重培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法．学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习

数学的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程．教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教，为学生提供充分的数学活动的机会．要处理好教师讲授和学生自主学习的关系，通过有效的措施，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验．

4、学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生的学习和改进教师的教学．应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系．评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程；要关注学生数学学习的水平，也要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心．

5、信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响．数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的有机结合．要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响以及所具有的优势，大力开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信启、技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去．二、设计思路．（一）关于学段．基本没有变化，仍然是三个学段．（二）关于目标．把目标的四个方面中的“解决问题”变为“问题解决”；把认知目标动词“灵活运用”改为“运用”；(三)关于学习内容在各个学段中，《标准》安排了四个方面的内容：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”．

数与代数“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计：字母表示数，代数式及其运算：·方程、方程组、不等式、函数等．在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力，树立模型思想．数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计等方面的直观感觉．建立“数感”有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系．符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律：知道使用符号可以进行一般性的运算和推理．建立“符号意识”有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式．

运算是“数与代数”的重要内容，运算是基于法则进行的，通常运算满足一定的运算律．学习这些内容有助于理解运算律，培养运算能力．模型也是“数与代数”的重要内容，方程、方程组、不等式、函数等都是基本的数学模型．从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点：用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程：求出模型的结果、并讨论结果的意义，是求解模型的过程．这些内容有助于培养学生的学习兴趣和应用意识，体会数学建模的过程，树立模型思想．图形与几何“图形与几何”主要内容有：空间和平面的基本图形，图形的性质和分类；平面图形基本性质的证明；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；运用坐标描述图形的位置和图形的运动．在“图形与几何”的学习中，应帮助学生建立空间观念．空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体：能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系：根据语言描述或通过想象画出图形等．

直观与推理是“图形与几何”学习中的两个重要方面．几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果．在许多情况下，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象．几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发；军着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中．

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，因此，与直观一样，推理也贯穿在整个数学学习中．推理一般包括合情推理和演绎推理．合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果，是由特殊到一般的过程．演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)出发，按照规定的法则，(包括逻辑和运算)验证结论，是由一般到特殊的过程．在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论：演绎推理用于验证结论的正确性．

统计与概率“统计与概率”主要内容有：收集、整理和描述故据，包括简单抽样、记录调查数据、绘制统计图表等：处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断．简单随机事件及其发生的概率．

在“统计与概率”中，帮助学生逐渐建立起数据分析的观念是重要的．数据分析包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究、收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵着信息的：体验数据是随机的和有规律的，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律：了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法．在概率的学习中，所涉及的随机现象都基于简单事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的．“统计与概率”的内容与现实生活联系密切，必须结合具体案例组织教学．

综合与实践“综合与实践”是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径．针对问题情境，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解．这种类型的课程对于培养学生的抽象能力和逻辑思维能力、对于培养学生的创新意识和应用能力是有益处的，还有利于培养学生的合作精神．合理地设计课程内容以及教学方法是达到教学目标的关键，既要考虑学生的直接经验、能够启发学生思考，也要考虑问题的数学实质、培养学生的数学素养．这种类型的课程对教师是一种挑战，教师应努力把握住问题的本质，能够引导学生思考，同时，教师又应努力帮助学生整理清楚自己的思路，指导学生以不同的形式展示自己的成果或报告自己的工作．这种类型的课程应当贯彻“少而精”的原则，保证每学期至少一次．它可以在课堂上完成，也可以将课内外相结合．(四)关于实施建议（基本没有变化）

第二部分课程目标一、总体目标（变化不大）．二、学段目标（第三学段）（较实验稿简化，并有少量变化，如删去能对具体情境中较大的数字信息作出合理的解释和推断，体会证明的必要性等）第三部分内容标准修改稿没有前面的简要说明与内容结构表，直接给出具体目标．第三学段一、数与代数删去前面的说明性文字，直接给出具体目标．

（一）数与式（番号按修改稿，删去的按实验稿）1．有理数删去原⑥“能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断”．2．实数修改⑥实数的简单四则运算，删去不要求分母有理化，增加“了解最简根式（仅在化简时要求，在其余一般计算时不要求）”．4．整式与分式修改⑤，会进行简单的分式加减乘除运算，增加“会将分式约化成最简分式（仅在化简时要求，在其余一般计算时不要求）”．

（二）方程与不等式1．方程与方程组将③“会解一元一次方程、简单的一元二次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）”，分为两条（3）“会解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）”；（4）“会解简单的一元二次方程组，掌握代入法、消元法”．更加突出了思想方法．增加（6）“能用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”．增加（7）“了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）”．

（三）函数2．一次函数在（1）“根据已知条件确定一次函数表达式”后增加（2）“会利用待定系数法确定一次函数表达式．”，突出方法．

4．二次函数在（1）“通过对实际问题的分析，确定二次函数的表达式”后，增加（2）“会利用待定系数法确定二次函数的表达式．”，突出方法．将（3）“会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题”．强化为“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此写出二次函数的顶点坐标、说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题”．强调了配方法，提高了要求．

二、图形与几何（原为空间与图形）删去前面的说明性文字，直接给出具体目标．将以前的“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”改为“图形的性质”、“图形的变化”、“图形与坐标”．

（一）图形的性质（1）“点、线、面”与（2）“角”合为（1）“点、线、面、角”．对以前较为含混的要求明确化了．1．点、线、面、角⑴通过实物和具体模型，了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等(参见例1)．

(2)会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义．(3)直观地了解平面上两条直线(不重合，下同)之间的关系：相交与不相交．(4)掌握基本事实：两点确定一条直线．(5)掌握基本事实：两点间直线段最短．(6)理解两点间距离的意义，会度量两点之间的距离．(7)理解角的概念，会比较角的大小．(8)认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并计算角的和、差．

2．相交线与平行线(1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等的性质(参见例2)．(2)理解垂线、垂线段等概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．(3)了解点到直线的距离的意义，会度量点到直线的距离．

(4)掌握基本事实：过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线垂直．(5)会识别同位角、内错角、同旁内角．(6)理解平行线概念：掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则两直线平行．(7)掌握基本事实：过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行．(8)掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；了解定理的证明(参见例2)．(9)会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．(10)进一步探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，则两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)．(11)知道平行于同一条直线的两条直线平行．3．三角形(1)了解三角形及其内角、外角、中线、高、角平分线等概念，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．(2)探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角．会证明三角形的任意两边之和大于第三边．

(3)了解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．(4)掌握基本事实：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等(参见例4)．(5)掌握基本事实：两组对应角及其夹边分别相等的两个三角形全等(参见例4)．(6)掌握基本事实：三组对应边分别相等的两个三角形全等．

(7)理解角平分线的概念，会用量角器画角的平分线．(8)探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等：反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．(9)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

(10)了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等：底边上的高、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形．(11)了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．

(12)探索勾股定理及其逆定理，并会运用它们由直角三角形的己知两边求第三边、由三角形的三边的数量关系判断直角三角形，以及解决一些简单的实际问题．(13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．(14)了解三角形重心的概念．

4．四边形(1)理解多边形的定义，多边形的顶点，边，内角，外角，对角线等概念．探索并掌握多边形内角和与外角和公式．(2)理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系：了解四边形的不稳定性．(3)探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

(4)知道两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离．(5)探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形具有矩形和菱形的一切性质．了解梯形的概念(参见例5)．(6)探索并证明三角形的中位线定理．

5．圆(1)理解圆、弧、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念．探索并了解点与圆的位置关系．(2)探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(不用此定理证明其他命题)(3)探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解圆周角定理的证明及其推论：圆内接四边形的对角互补：直径上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(不用这些定理或推论证明其他命题)

(4)知道三角形的内心和外心．(5)了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念．(6)探索切线与过切点的半径的关系：切线垂直于过切，点的半径：反之，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．会用三角尺过圆上一点画圆的切线．

(7)探索并了解切线长定理的证明：过圆外一点所画叶圆的两条切线的长相等(不用此定理证明其他命题)(参见例6)．(8)会计算圆周长和弧长；圆面积和扇形的面积．(9)了解正多边形的概念．

(3)会利用基本作图完成作图：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的内切圆：作圆的内接正方形和正六边形．(4)在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．

7．定义、命题、定理(1)了解定义、命题、定理、推论的意义．会区分命题的条件和结论．(2)结合具体事例，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．(3)知道证明的意义和证明的必要性(参见例6和“综合与实践”例2)，知道证明要合乎逻辑(参见例7)，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式(参见例8)．

(4)通过实例体会反证法的含义(参见例3)．了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．

(二)图形的变化1．图形的轴对称(1)通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：关于一条直线成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分(参见例9)．(2)给定对称轴，能够作出简单平面图形(点，线段，直线，三角形等)的轴对称图形．

(3)了解轴对称图形的概念．探索简单的轴对称图形(等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆)的性质．(4)认识和欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．2．图形的旋转(1)通过具体实例(如正多边形，圆等)认识平面图形的旋转．探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角相等(参见例9)．(2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：关于一个点成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性．(4)认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．3．图形的平移(1)通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点的连线平行且相等(参见例9)(2)认识和欣赏平移在自然界和现实生活中的应用．(3)综合运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计．

．

4．图形的相似(1)了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．(2)通过具体实例认识图形的相以．了解对应角分别相等、对应边分别成比例的多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比称为相似比．(3)探索并了解相似三角形的下述判定定理：两组对应角分别相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似：三组对应边成比例的两个三角形相似(参见例10)；(4)了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．(5)了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．

(6)会利用图形的相似解决一些简单的实际问题(参见“综合与实践”例2)．(7)利用图形的相似，探索直角三角形中的边角关系．认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°、45°、60°角的三角函数值．(8)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由己知三角函数值求它的对应锐角．(9)能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．

5．图形的投影’(1)会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，会判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体．(2)了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作实物模型．(3)通过实例了解视图与展开图(球除外)在现实生活中的应用．(4)通过背景奉富的实例，了解中心投影和平行投影的概念．

(三)图形与坐标1．坐标与图形的位置(1)结合丰富的实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置(参见例12)．(2)理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标．(3)在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置(参见例11)．(4)能写出简单图形(多边形，矩形)的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形．(5)在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置(参见例12)．2．坐标与图形的运动(1)在同一个直角坐标系里，对于一个已知其顶点坐标的直线形，能写出它关于坐标轴对称的图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．(2)在同一个直角坐标系里，对于一个已知其顶点坐标的直线形，能写出它沿坐标轴方向平移后的图形的顶点坐标，体会图形顶点坐标的变化．

(3)探索并了解将一个直线形依次沿两个坐标轴平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形．顶点坐标的变化．(4)探索将一个图形(直线形)的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．

三、统计与概率这一部分显得比实验稿简略，1．抽样与数据分析(1)体会抽样的必要性，了解随机抽样(参见例±)．(2)理解平均数的意义，会汁算中位数、众数、加权平均数，了解数据的中心趋势(参见例2)．(3)体会刻画数据离中趋势的意义，会计算方差(参见例3)．

(4)理解频数、频率．会画频数直方图，会利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息(参见“综合与实践”例6)．(5)体会样本与总体关系，知道可以通过样本特征推断总体特征(参见例1)．(6)通过表格、折线图等，了解随机现象的变化趋势(参见例4)．

2．事件发生的概率(1)能列出随机现象所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，理解事件发生的概率(参看例5)．(2)知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率(参看例6)．

四、综合与实践在本学段中，学生将在教师的指导下，将所学过的知识有机地结合，增强对知识的理解；与实际问题有机地结合，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．具体目标1．通过对于问题的探讨，了解所学过的关于数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的关联．2．初步获得发现问题和提出问题的经验．3．结合实际背景，在给定目标下，设计解决问题的方案，初步体验分析问题和解决问题的过程．

案例例l代数式的几何表达．适用于七、八年级．问题：利用几何图形解释代数式(a+b)2=a2+2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．[说明]这是利用几何图形直观解释代数式的例子，我国古代的数学家曾用这种方法有效地解释了“勾股定理”．了解这些方法，对于培养学生的几何直观是很有好处的．如下面左图所示，用几何图形解释第一个式子是比较容易的．但画图解释第二个式子就很困难了，可以如下面右面一组图所示，把图形分解，推测如何拼凑可以说明第二个式子．例2直觉的误导．适用于九年级．问题：一张8cm×8cm的正方形的面积是64cm2．把这张纸片按下面上图所示剪开，把剪出的4个小块按下面右图所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65cm2．这是可能的吗?[说明]这是一个经验与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直观判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证．组织学生实际操作，一般来说，学生应当是不会相信上面右图中纸片的面积是65cm2，但又无法说明自己观察的结果是错误的．进一步引导学生思考：如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢?学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：上面右图中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积．然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角．可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程．

可以采用如下方法证明，在证明过程中加深对相似图形的理解．如图9，过D做AC的垂线交AC于F．用反证法来证明．假定上面右图中的图形是长方形，那么图形