第七章 时间序列分析

第七章时间序列分析

第一节时间序列分析的基本概念第二节平稳性检验第三节协整第四节误差修正模型第一节

时间序列分析的基本概念

一、平稳性的定义二、几种有用的时间序列模型三、单整的时间序列

经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的变量的均值和方差是常数，不随时间而变。然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间序列变量并不满足这一假设，从而产生所谓的“伪回归”问题(‘spurious’regressionproblem)。为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量的非平稳性(non-stationarity)的系统性检验和协整分析(cointegration)。一、

平稳性（Stationarity）

1.严格平稳性

如果一个时间序列Xt的联合概率分布不随时间而变，即对于任何n和k，X1,X2,…，Xn的联合概率分布与X1+k,X2+k,…Xn+k

的联合分布相同，则称该时间序列是严格平稳的。

由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用随机变量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和协方差代替之。如果一个时间序列满足下列条件：

2.弱平稳性（宽平稳）

(1)均值是与时间t无关的常数E(Xt)=μ，t=1,2,…（7.1）(2)方差是与时间t无关的常数

Var(Xt)=E(Xt－μ)2=σ2，t=1,2,…（7.2）(3)协方差

t=1,2,…，k≠0

即协方差是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数。

则称该时间序列是弱平稳的（stationary)。

只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。3.非平稳性二、

几种有用的时间序列模型

1.白噪声（Whitenoise）白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满足:(1)E(εt)=0,对所有t成立；(2)Var(εt)=σ2，对所有t成立；(3)Cov(εt，εt+k)=0，对所有t和k≠0成立。白噪声可用符号表示为：

εt～IID(0，σ2)（7.4）

标准正态白噪声序列时序图

2.随机漫步（Randomwalk）

如果一个序列由如下随机过程生成：

xt=xt-1+εt（7.5）其中εt是一个白噪声，则该列序被称为随机漫步。

容易证得

E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt-1）+E(εt）=E(Xt-1）这表明Xt的均值不随时间而变。

而Xt的方差：

Xt=Xt-1+εt=Xt-2+εt-1+εt=Xt-3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt

式中，X0为初始值，可假定为任何常数或为0，则

Var(Xt）=Var｛X0+｝==表明Xt的方差与时间t有关而非常数，因此随机漫步序列是一非平稳序列。随机漫步序列可以通过差分变换使其变为平稳序列（

ΔXt=εt

）。3.带漂移项的随机漫步(Randomwalkwithdrift)Xt=μ+Xt－1+εt（7.6）其中μ是一非0常数，εt为白燥声。

μ之所以被称为“漂移项”，是因为式中的一阶差分为

ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt

这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ的符号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序列也是非平稳时间序列，但其差分是一平稳序列。4.自回归过程随机漫步过程（Xt=Xt－1+εt）是最简单的非平稳过程。它是

Xt=φXt－1+εt

（7.7）的特例，（7.7）称为一阶自回归过程(AR(1))，该过程在－1＜φ＜1时是平稳的，其他情况下，则为非平稳过程。

更一般地，（7.7）式又是

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt

（7.8）的特例，（7.8）称为q阶自回归过程(AR(q))。可以证明，如果特征方程

1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq

=0（7.9）的所有根的绝对值均大于1，则此过程（7.8）是平稳的，否则为非平稳过程。三、单整的时间序列（Integratedseries）从（7.5）可知，随机漫步序列的一阶差分序列ΔXt=Xt-Xt-1是平稳序列。在这种情况下，我们说原非平稳序列Xt是“一阶单整的”，表示为I(1)。与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分(Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1)才变为平稳序列，则原序列是“二阶单整的”，表示为I(2)。

如果一个时间序列经过d次差分后能够变成平稳序列，则相应的称原序列是d阶单整（integratedofd）序列，记为I(d)。如果一个序列不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称该序列为“非单整”（non-integrated）序列。显然，I(0)代表一平稳时间序列。

第二节平稳性检验平稳性检验的方法可分为两类：一类是根据时间序列图和自相关图显示的特征作出判断的图形检验法；另一类是通过构造检验统计量进行定量检验的单位根检验法(unitroottest)。一、单位根方法1.单位根检验法的由来考察（7.7）式的一阶自回归过程，即

Xt=φXt－1+εt

（7.10）其中εt为白噪声，此过程可写成

Xt－φXt－1=εt或（1－φL）Xt=εt

（7.11）其中L为滞后运算符，其作用是取时间序列的滞后，如Xt

的一期滞后可表示为L(Xt），即

L(Xt）=Xt－1

由上节所知，自回归过程Xt平稳的条件是其特征方程的所有根的绝对值大于1。由于这里特征方程为1－ΦL=0，该方程仅有一个根L=1/φ，因而平稳性要求－1＜φ＜1。因此，检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为：

H0：∣φ∣≥1Ha：∣φ∣＜1

接受原假设H0表明Xt是非平稳序列，而拒绝原假设（即接受备择假设Ha）则表明Xt是平稳序列。实践中，上述原假设和备择假设采用如下形式：这是因为，首先，可以假设φ>0，因为绝大多数经济时间序列确实如此；其次，φ>1意味着Xt是爆炸性的，通常不予考虑，这意味着备择假设实际上是0<φ<1。H0：φ=1Ha：φ<1单位根检验方法的由来

在Φ=1的情况下，即若原假设为真，则（7.10）就是随机漫步过程（7.4），从上节得知，它是非平稳的。因此，检验非平稳性就是检验Φ=1是否成立，或者说，就是检验单位根是否存在。换句话说，单位根是表示非平稳性的另一方式。这样一来，就将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验，这就是单位根检验方法的由来。

一般来说，xt的任何自回归模型可以用滞后运算符L写成A(L)xt=εt其中A(L)是L的一个多项式。如果A(Z)的一个根是（1－Z），则xt有一个单位根。（7.10）式Xt=φXt－1+εt两端各减去Xt-1，我们得到

Xt－Xt－1=ΦXt－1－Xt－1+εt即ΔXt=δXt－1+εt

（7.12）其中Δ是差分运算符，δ=Φ－1。

则前面的假设

H0：φ=1Ha：φ＜1可写成如下等价形式：

H0：δ=0Ha：δ＜0

在δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程是非平稳的。

换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为Φ=1或δ=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性的问题简化成在方程（7.10）的回归中，检验参数Φ=1是否成立或者在方程（7.12）的回归中，检验参数δ=0是否成立。

Xt=Xt－1+εtΔxt=δxt－1+εt

这里的问题是，上式计算的t值不服从t分布，而是服从一个非标准的甚至是非对称的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。2.Dickey-Fuller检验（DF检验，只适用于AR(1)）DF检验法是由Dickey-Fuller于1979年提出的。

Dickey和Fuller以蒙特卡罗模拟为基础，编制了tδ的统计量的临界值表，表中所列的非传统t统计值，他们称之为τ统计量。（1）DF检验临界值这些临界值如表7.1所示。后来该表由麦金农（Mackinnon）通过蒙特卡罗模拟法加以扩充。将表7.1中临界值与标准t分布表中临界值相比较（按绝对值比），τ值要比相应的t值大得多。

第一步：首先对Δxt=δxt－1+εt进行回归，得到tδ的值第二步：检验假设H0：δ=0Ha：δ＜0

用第一步得到的tδ值与临界值τ相比较，判断准则：

若tδ>τ，则接受原假设H0，即Xt非平稳；

若tδ＜τ，则拒绝原假设H0，Xt为平稳序列。（2）DF检验步骤Dickey和Fuller注意到τ临界值依赖于回归方程的类型。因此他们同时还编制了与另外两种类型方程中相对应的τ统计表，这两类方程是：

△xt=α+δxt-1+εt

（7.14）

和

△xt=α+βt+δxt-1+εt（7.15）

二者的τ临界值分别记为τμ和τT。尽管三种方程的τ临界值有所不同，但有关时间序列平稳性的检验依赖的是Xt-1的系数δ，而与α、β无关。ADF检验的全称是扩展的迪奇－福勒检验（AugmentedDickey-Fullertest）,它是DF检验的扩展，适用于扰动项εt服从平稳的AR(P)过程的情形。ADF与DF检验的区别是在（7.12）式中增加若干个△xt的滞后项△xt-j（j=1,2,…,p）作为解释变量，即要回归的方程变为

3.增项的单位根检验（ADF检验）

在模型1、2、3中应当包括多少个滞后变动项，并无硬性的标准。一般做法是包括尽可能多的△xt的滞后项，当然也不能太多，因为会影响自由度。实践中可根据数据的频率和样本的规模来选择p。对于年度数据，一、两个滞后即可，月度数据，可考虑取p＝12。例7.1检验第四章案例4.11中能源消费总量与实际GDP的对数序列的单整性（数据见表4-2）。（1）energy的单整性检验

一、虚假回归

当用两个相互独立的非平稳时间序列建立回归模型时，常常得到一个具有统计显著性的回归函数，称为虚假回归（格兰杰－纽博尔博Grange-Newbold，1974年提出）。例：给定数据生成系统如下：第三节

协整

图7.1模型(4)的统计量t的频数分布图表7.2模型(4)的统计量t的频数分布表

在现实经济生活中，大多数时间序列数据是非平稳的，那么得到伪回归结果是常见的事。为避免伪回归的事，也可以采用差分形式的变量进行回归，但这样描述的是所研究的经济现象的短期状态或非均衡状态，而不是长期或均衡状态。描述所研究经济现象的长期或均衡状态应采用变量本身，大多数经济理论也是这样的。由此可见，数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”问题，表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)。

由上面的讨论，自然引出了一个明显的问题：我们使用非均衡时间序列时是否必定会造成伪回归？对此问题的回答是，如果在一个回归中涉及的趋势时间序列“一起漂移”，或者说“同步”，则可能没有伪回归的问题，因而取决于t检验和F检验的推断也没有问题。这种非均衡时间序列的“同步”，引出了我们下面要介绍的“协整”概念。二、协整的概念

协整概念是20世纪80年代由恩格尔-格兰杰（Engle-Granger）提出的。协整理论为在两个或多个非平稳变量间寻找均衡关系，以及用存在协整关系的变量建立误差修正模型奠定了理论基础。1.协整定义定义：如果两时间序列Yt～I(d)，Xt～I(d)，并且这两个时间序列的线性组合a1Yt+a2Xt

是(d-b)阶单整的，即a1Yt+a2Xt～I(d-b)（d≥b≥0），则Yt

和Xt被称为是（d,b）阶协整的。记为

Yt，Xt～CI(d,b)这里CI是协整的符号。构成两变量线性组合的系数向量（a1，a2）称为“协整向量”。

下面给出本节中要研究的两个特例。1.Yt，Xt～CI(d，d）在这种情况下，d=b，使得a1Yt+a2Xt～I(0），这意味着两时间序列的线性组合是平稳的，因而Yt，Xt～CI(d，d)。2.Yt，Xt～CI（1,1）在这种情况下，d=b=1，同样有a1Yt+a2Xt～I（0），即两时间序列的线性组合是平稳的，因而Yt，Xt～CI(1,1)。

（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。

从协整的定义可以看出:这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用经典的回归分析方法建立回归模型的原因。

让我们考虑下面的关系

Yt=β0+β1Xt

（7.16）

其中，Yt～I(1），Xt～I(1）。当0=Yt－β0－β1Xt时，该关系处于长期均衡状态。对长期均衡的偏离，称为“均衡误差”，记为εt：

εt=Yt－β0－β1Xt

若长期均衡存在，则均衡误差应当围绕均衡值0波动。也就是说，均衡误差εt应当是一个平稳时间序列，即应有

εt～I(0），E(εt）=0。按照协整的定义，由于

Yt～I(1），Xt～I(1），且线性组合

εt=Yt－β0－β1Xt～I(0）因此，Yt

和Xt是（1，1）阶协整的，即

Yt，Xt～CI(1,1）协整向量是（1,－β0,－β1）

综合以上结果，我们可以说，两时间序列之间的协整是表示它们之间存在长期均衡关系的另一种方式。因此，若Yt

和Xt是协整的,并且均衡误差是平稳的且具有零均值，我们就可以确信，方程

Yt=β0+β1Xt+εt

（7.17）将不会产生伪回归结果。由上可知，如果我们想避免伪回归问题，就应该在进行回归之前检验一下所涉及的变量是否协整。三、协整的检验

下面介绍用于检验两变量之间协整最常用的恩格尔-格兰杰（Engle-Granger）方法。Engle-Granger法（EG）或增广Engle-Granger法（AEG）的检验步骤如下。

步骤1用上一节介绍的单位根方法求出两变量的单整的阶，然后分情况处理：（1）

若两变量的单整的阶相同，进入下一步；（2）若两变量的单整的阶不同，则两变量不是协整的；（3）若两变量是平稳的，则整个检验过程停止，因为你可以采用标准回归技术处理。

步骤2

若两变量是同阶单整的，如I(1），则用OLS法估计长期均衡方程（称为协整回归）：

Yt=β0+β1Xt+εt得到并保存残差et，作为均衡误差εt的估计值。应注意的是，虽然估计出的协整向量是真实协整变量的一致估计值，这些系数的标准误差估计值则不是一致估计值。由于这一原因，标准误差估计值通常不在协整回归的结果中提供。

步骤3

对于两个协整变量来说，均衡误差必须是平稳的。因此检验et的单整性。具体作法是将Dickey—Fuller检验法用于时间序列et（DF检验ADF检验），也就是用OLS法估计形如下式的方程：△et=δet-1+νt（7.23）有两点须提请注意：（1）（7.23）式不包含常数项，这是因为OLS残差et应以0为中心波动。（2）Dickey—Fullerτ统计量不适于此检验，教材表7.3提供了用于协整检验的临界值表。这是因为这里的EG或AEG检验是针对协整回归计算出的误差项的，而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对et平稳性检验的EG与AEG临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。

步骤4得出有关两变量是否协整的结论，用到的原假设和备择假设是：

H0：δ=0Ha：δ＜0若tδ＞τEG，接受原假设，即et是非平稳序列，两变量是非协整的。若tδ＜τEG，拒绝原假设，即et是平稳序列，两变量是协整的。

例7.2在第四章案例4.11中，我们建立了能源消费总量与实际GDP的对数-线性模型，从案例7.1可知，能源消费总量energy和gdp皆是2阶单整序列，模型可能存在伪回归。如果两个序列存在长期均衡关系，也就是说存在协整，则模型没有伪回归问题。下面进行协整检验。第一步：检验两变量的单整阶数根据案例7.1的结果，energyI(2)，lgdprI(2)。由于两序列同阶单整，可能存在协整，需进行下一步的检验。

第四节误差修正模型（ECM）

协整分析中最重要的结果可能是所谓的“格兰杰表述定理”（Grangerrepresentationtheorem）。按照此定理，如果两变量yt和xt是CI(1,1)，则它们之间存在长期均衡关系。当然，在短期内，这些变量间的关系可以是不均衡的。

两变量间这种短期不均衡关系的动态结构可以由误差修正模型（errorcorrectionmodel）来描述，“误差修正”由Sargen1964年首先提出，而ECM的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba