矩阵位移法二

关于矩阵位移法二第一页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法的基本原理（以图示结构为例说明，不考虑杆件轴向变形）①④③②是否要坐标变换？为什么？不需要坐标变换。原因：⑴梁局部坐标系与结构坐标系相同；⑵柱子杆端只有角位移，无线位移。所以，结构坐标系下的单刚可以直接利用局部坐标系下的单刚通过划行划列得到。结点位移向量结点荷载向量第二页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法的基本原理（以图示结构为例说明，不考虑杆件轴向变形）①④③②单元刚度矩阵：由梁式单元单刚通式划行划列得到。划去了哪几行？哪几列？第三页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法结构刚度矩阵的形成先处理法的基本原理由单刚形成总刚：“对号入座”

“同号相加”由于单刚矩阵考虑了位移约束，故由此形成的总刚矩阵就是结构刚度矩阵，可逆。第四页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法结点位移计算先处理法的基本原理结构刚度方程结点位移第五页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法单元杆端力计算（以单元③为例）先处理法的基本原理是利用前面列出的有约束单元单刚k③，还是利用梁式单元单刚通式？①④③②若利用k③，则？不能求出单元的全部杆端力若利用梁式单元单刚通式

，则可以求出单元的全部杆端力第六页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法的基本步骤先处理法的基本原理结构标识包括：结点编号、单元编号，设定局部坐标系、结构坐标系。列出待求的结点位移向量和已知的结点荷载向量。建立考虑位移约束条件后的单元刚度矩阵。形成结构刚度矩阵，建立结构刚度方程。求解结构刚度方程，得未知结点位移。计算单元杆端力和支座约束力。校核。第七页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法【例1】试用先处理法建立图示刚架的结构刚度方程，忽略杆件的轴向变形。先处理法应用例题【解】⑴结构标识①②③④⑤⑥能否避免坐标变换？怎样才能避免坐标变换？只有线位移（力）需要坐标变换，角位移（力矩）不需要坐标变换。故，结构坐标系应尽可能与存在杆端线位移的柱子的单元坐标系一致。单元杆端位移特点：梁对单刚有影响的只有结点角位移；结点线位移使梁刚体平移，对单刚无影响。柱对单刚有影响的既有结点角位移，也有结点线位移。⑵列出杆端位移向量和结点荷载向量注意v4方向上的所有力应相加第八页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑶建立单元刚度矩阵①②③④⑤⑥梁式单元单刚通式由梁式单元单元坐标系下的单刚直接划行划列第九页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程126l6l4l2第十页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程126l6l4l2+4l22l22l24l2第十一页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程126l6l8l22l22l24l2+2412l12l+8l2第十二页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程366l6l8l22l212l212l12l2412l-2412l12l8l2-12l4l2-24-12l+24-12l12l4l2-12l+8l2第十三页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程606l6l8l22l220l2002412l-2412l12l8l2-12l4l2-24-12l12l4l2+4l24l22l22l2+2412l12l12l+8l24l212l4l28l2第十四页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程606l6l8l22l220l2004812l-2412l12l12l2-12l4l2-24-12l12l4l212l22l22l212l12l12l4l212l4l28l20000000000000000000第十五页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题【解】⑴结构标识⑵列出杆端位移向量和结点荷载向量【例2】试用先处理法建立图示刚架的结构刚度方程，已知c支座向右移动了，弹性支承的刚度系数为。2m√3m1mABC20kN30kNm①②③单元单元坐标系i→j杆长（m）cosasina①1→2210②2→320.8660.5第十六页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑶建立结构坐标系下的单元刚度矩阵①②③由刚架单元在结构坐标系下的单刚（P.10式8-23）划行划列得到。②单元有已知支座位移，故计算单刚时保留对应的行和列。注意第十七页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法先处理法应用例题⑷建立结构刚度矩阵和结构刚度方程将各单元刚度矩阵元素按“对号入座、同号相加”的原则形成结构总刚度矩阵，从而得结构总刚度方程为由于，故可将上述方程与对应的行删去，与对应的列元素与相乘，移至方程右端作为广义荷载，与原结点力叠加，从而得到结构刚度方程为第十八页，共二十三页，2022年，8月28日§8-5先处理法已知支座位移的处理先处理法应用中的几个注意问题单元分析时可先作为未知位移，待形成总刚后再处理。在总刚方程中，划去已知支座位移对应的行（方程），其它行对应的列元素与之相乘后移到方程右边作为广义荷载。可先发生支座位移，求出等效结点荷载。详见下一节§8-6。杆端力的计算如何计算完整的杆端力？应采用单元刚度矩阵的通式计算（自由式单元的刚度矩阵），而不能采用划行划列后得到的有约束单元的刚度矩阵。如不计杆件轴向变形，能否计算杆端轴力？不能完全确定杆端轴力。因为当轴向是超静定时，不计杆件的轴向变形就无法写出轴向变形协调条件，只满足平衡条件的轴力有无数组解。单刚矩阵的坐标变换运算必须采用单刚矩阵的通式进行坐标变换运算，不能采用划行划列后得到的有约束单元的单刚矩阵进行坐标变化运算。弹性支座的处理可以直接将弹簧刚度送入弹性支座位移码对应的总刚矩阵对角线主元素位置。第十九页，共二十三页，2022年，8月28日§8-6等效结点荷载总刚方程是反映结构的结点位移与结点荷载之间的关系，故，前述分析中，荷载均作用在结构结点上，若有非结点荷载（结间荷载）则必须化为等效结点荷载。等效结点荷载的概念等效结点荷载的计算方法采用位移法在原结构的独立结点位移上设置附加约束（形成基本结构），再解除附加约束的方法计算等效结点荷载。等效结点荷载的定义（用等效节点荷载代替非结点荷载的原则）等效结点荷载作用下结构的结点位移与实际非结点荷载作用下结构的结点位移应相等。——结点位移等效原则原结构＝基本结构承受外荷载作用附加约束力≠0杆端力≠0结点位移=0＋附加约束力反向作用于基本结构附加约束解除杆端力≠0结点位移=原结构结点位移结点位移等效将位移法基本结构附加约束上的约束力反向，就是原结构的等效结点荷载。第二十页，共二十三页，2022年，8月28日§8-6等效结点荷载考虑杆件轴向变形时的等效结点荷载①②几个独立结点位移？M图附加约束反力等效结点荷载(a)原结构(b)基本结构只承受外荷载(c)基本结构只发生结点位移(a)原结构结点位移＝(c)状态结点位移（∵(b)状态无结点位移）(a)原结构内力＝(b)状态内力+(c)状态内力等效结点荷载只产生等效结点位移，不产生等效内力。第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日§8-6等效结点荷载忽略杆件轴向变形时的等效结点荷载①②几个独立结点位移？M图附加约束反力等