数学和数学教育的明天华东师范大学数学系张奠宙

数学和数学教育的明天

华东师范大学数学系

张奠宙2001.9.奉化

41421国参加的国际数学教育调查

（IAEP）1989。13岁学生成绩中国大陆80中国台湾73

韩国73

瑞士71

苏联70法国64英国61美国55巴西37莫桑比克28424几条新闻

《基础课程改革纲要》出版，课程大改革正在进行。

《9年义务教育数学课程标准》出版。

2001秋在20个县区实行。2002占15%。2003全面推开高中课程标准框架形成（后面介绍）所有课程的《国家标准》在2002年全面更新。

434

数学教育研究的新趋势数学教育个案研究陆续发表

张奠宙编：数学素质教案精编

[美]匹兹堡大学案例哈佛数学教育案例。（上海教育出版社）奚定华《数学教学设计》

李士奇编：《数学教育个案学习》（华东师范大学出版社）罗增儒：《中学数学教学课例》（陕西师大出版社）

理念与经验；实验与统计；定性与案例。444访美见闻之一：布什政府投入大批财力改革教育家长造反：接管中学。要学校打好基础，写作文，做作业，记忆基本事实加州大学不要SAT高考成绩。举手通过入学申请。高考不公平。小布什SAT成绩只有1200分（1600分为满分）

校园安全454访美见闻之二

“什么是建构主义？(http://www.mathforum)“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识，而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。”464访美见闻之三马力平的畅销书:中国小学教师的优异成绩名扬海外.3/5÷5/13=？62%的小学教师不会做。90%具有学士学位。30%具有硕士博士学位费城高中的两堂课：反差。建构？个性发展与放任自流美国数学差？优秀学生远超中国。474第三次国际数学教育调查.1996第一名新加坡第二名韩国第三名日本第四名香港美国在42个国家中处于中下水平.朝野震惊,产生数学战争.新加坡说:“考试毕竟是一次考试而已.”日本学生“恨数学”.484影响数学教育的文化因素家庭高度期望与管束善于“心算”的传统熟能生巧的教育古训强调背诵的学习理念重视现世功业的儒家文化

“苦读+科举”的考试文化回避“原始问题”的考据文化494宋明以后的儒学不再

面对原始问题

孔孟经典不可动摇的公理朱熹的注疏必须遵循的定理和推论读书人的文章不过做一个练习而已八股文：按朱熹老夫子的标准答案做“学答”

---美其名“代圣贤立言”

4104[清]戴震（1722--1777）考据学派对科学的影响

文字狱使读书人回避“原始问题”在“故纸堆”中考据、训诂，重证据、重演绎，接近西方的逻辑推理。儒家文化--宏观上的演绎系统考据文化--微观上的演绎方法4114梁启超、胡适谈考据文化自清代考据学派200年之训练，成为一种遗传。我国学子之头脑渐趋于冷静慎密。此种精神实为科学成立之基本要素。（清代学术概论）胡适：“大胆假设，小心求证”

面对原始问题：大胆不够崇尚逻辑推证：小心有余4124

数学=逻辑的文化渊源

数学有两个侧面:创造思考与逻辑证明考据文化将数学的逻辑层面进行同化,成为中国现代数学教学的核心思想.

同样,考据文化和演绎式的儒家文化,将创新性的数学思维方式进行过滤,没有很好吸收溶入.

大学校长数学家多??413420世纪中国中小学数学教育第一阶段（1919--1949）“算术”时期。没有教学法研究。鸡兔同笼。以算为主。第二阶段（1949--1969）学习苏联时期。苏联《数学教学法》传入中国。系统化、严谨化、理论化。5个教学环节。第三阶段（1970--2000）。兼收并蓄时期。学生为主体。考试竞争压力。奥林匹克数学竞赛。酝酿新的突破。4144中国的“双基”数学教育体系

一个统一的考试两个基础：基础知识，基本技能三大能力：基本运算能力，空间想象能力，逻辑思维能力（核心）。四大基本原则：科学性；量力性；学生的积极性；理论联系实际。五个教学环节。复习--导入--讲授--巩固--作业。4154唯“基础”论

基础与创新。摘果子的基础。为基础而基础是傻练。打工仔。基础是在变的。100年前的基础。做古体诗，毛笔字，中学为体，西学为用。基础的整合。胚胎式的发展。一万年以后怎么办？新基础：数学计算，数学证明；数学应用，数学建模；数学应变；数学技术4164开放式教学：历史的必然国家的开放：经济的腾飞。国际化。全球化。WTO。全球网络。社会的开放：平等自由地表达意见。鼓励创新，独立思考。数学的开放：走出自我孤立。面向大自然、面向其他科学。陈景润到王选。教育的开放：权力下放，校本课程。以学生的发展为本。高考的多样化。4174“与时俱进”的数学教育

第一代：（1898-1919）长袍马褂。中学为体，西学为用。天地人元---XYZW

第二代：（1919-1949）西装。英美式。两支粉笔进课堂。一讲到底。精英教育。九点圆。第三代（1950-1966）中山装。苏联式。少而精。强调理论严谨。一颗红心，两种准备第四代（1978-1995）茄克T恤。考试第一。奥赛第一。第五代（1995--）素质教育，创新教育。9年义务教育。5天工作制。能力立意。4184建设中国的数学教育学派。数学观：中国数学正在发生变化数学教育观：中国数学教育面临重大改革。中国数学课程：全面更新。高考改革。数学题型：从单一化归到全面发展数学教学模式：正在突破旧的束缚4194日本藤田宏：（2000。东京）

数学发展的四个高峰欧氏几何的诞生。古希腊数学文明。公元前300年微积分的发现和进展（17-18世纪）现代公理化数学的诞生（19世纪--20世纪中叶）信息时代的数学（20世纪中叶以来）。特点：来源于实际问题。广泛的实际应用。与数学以外的科学分支紧密联系。4204Mandelbrot集合迭代过程

Zk+1=Zk2+C

当Z0=C时此序列收敛，即为图中黑色部分。4214第四个数学高峰群的思潮数学绝对主义的破灭。哥德尔不完备性定理。《证明与反驳》。经验主义复兴布尔巴基学派的盛衰。结构主义不能覆盖数学。1970年前后的数学变化。

“理论数学”和“实验数学”？Hodge与Atiyah.Thurston.Mandelbroit.Thom.

数学技术产生。CT、滤波、金融、小波、密码、计算模拟、数据压缩….4224数学的多元发展

Wiles证明费马定理。在Berkeley的科学报告会门票出现黑市。美国数学博士工作难找。罗彻斯特大学代数拓扑博士点遭校长撤消的风波物理学家Witten获费尔兹奖。数学家获医学奖、生物学奖、经济学奖。金融数学异军突起。数字化生存。陈景润和王选。

4234核心数学更加“核心”

20世纪核心数学飞速发展。从局部到整体（拓扑）从交换到非交换（算子代数。K理论）从线性到非线性（混沌、分维）从低维到高维、无限维随机数学大发展黎曼猜想、庞卡来猜想、开普勒猜想4244数学的未来

P=NP？微软礼聘Freedman.Smale

认为这是未来世纪要优先解决的问题。只有10%的数学家，其研究目的是发表论文。90%的数学家从事用计算机为各行各业解决实际问题。（数学所梁国平）计算机证明。从四色问题Kepler猜想。吴文俊的机器证明。人工智能。维护数学的统一。4254数学的未来（续）

数字地球、数字时代的数学。

实验数学。用实验补充论证（代替）？数学技术市场。数学风险投资。数学股票买卖。改善数学的公众形象。数学文化。电子数学杂志。网络时代的数学传播。4264数学的特性：

老三条：苏联A。亚历山大洛夫：

抽象性，严谨性，广泛应用性。新三句：

模式性。万物数量关系的普适模式演绎性。数学表达和论证的方式

实用性。最直接最广泛的实用技术4274数学教育的明天大众数学教育。Bass:WhyMathematics?“数学渴望”，“数学有用”，“

数学有情”。公众形象。数学不好感到脸红。信息数学教育。运用信息技术获得数学能力。“跑步健身，以车代步”。“马拉松”职业运动员与汽车驾驶员。

理性数学教育。崇尚理性，欣赏数学之美。数学技术，直面咸淡人生。独立思考、探究创新、论证求真。4284诺贝尔奖得主--李政道：我们中国的传统是做“学问”，为什么你们老是在做“学答”？屈原的《九问》，就是做“学问”。（对复旦大学学生的讲话。1997）4294学问：学习、研究、问难。“吾他日未尝学问，好驰马试剑”（孟子。滕文公上）学习从发问开始。没有问题，就没有创造可言。4304诺贝尔奖得主--杨振宁：成功的秘诀？面对物理学中的原始问题，不要淹没在文献的海洋里！（《杨振宁文集》第439页）4314杨振宁曾面临的原始问题非交换规范场问题--（Yang-Mills方程）（1954）统计力学中的多体问题--（Yang--Baxter方程）（1967）

4324面对原始问题，不要在

文献夹缝中求生存陈省身：要在本土上有自己的问题，让外国人跟着我们的问题做。4334面对原始问题：

要从基础教育抓起爱因斯坦：“旧学校给学生太多的‘好胜心，却很少培养学生的’好奇心。”（1935。在纽约州立大学的讲话）袁枚：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”。数学意识的重要。上海51中学一毕业生在和平饭店发现在地下室通向10层楼三根导线的电阻不同。如何测量？他想到解联立方程

x+y=ax------------y+z=by------------z+x=cz------------4344上海51中学陈振宣提供和平饭店地下室到10楼的三根电线不一样长。如何测知他们的电阻？x+y=ay+z=bz+x=cxyz数学意识的例子解方程很容易建方程需意识4354

一条船上有75头牛，32头羊，问船长几岁？（75-32=43）

这是学校把学生越教越笨的表现。中国的中小学生有92。5%给出答案法国四年级小学生给答案的为65%

中国学生的成功与不足.看到问题和作答案.

数学师和数学匠.4364.小学数学课程中的问题：

1，1，2，1，1，2,___,___,___应该是什么？乘数、被乘数。12x4读做12乘以4，读12乘4为错。带分数。

这不是数学！我是这样想的。。。4374概念教学:淡化形式,注重实质.

下列是问题是否妥当?判断下列各例是否正确？

1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形

2。含有未知数的（等）式子叫方程

3.（平面上）不相交的两条直线叫平行 线。

平行四边形也是梯形，有何不可？

x-x=0;0x=0;是方程吗？

也许还要加上“在欧氏空间中”？中学数学课程标准汇报

9年义务教育数学课程标准已经公布。2001年开始试点。高中数学课程标准正拟订中。

高一：基本课程（艺术、高职…)

4384改造我们的数学问题优秀的学校和教师都应该有自己的编制的问题.

情景题,开放题,应用题.

数学作文.

4394（荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？训练学生的表示能力。甲、乙、学校在一条直线上？没有说。

校乙甲乙‘

4404

设计一花坛，使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。这是数学和艺术相结合的开放题。开放度极大。国际数学教育心理学组织（PME）在日本举行时，日本的一堂公开课。日本学生当堂有13种解答。评价：得到不同的5种设计，每种2分。

中国可以有这样的公开课吗？4414公说公有理，婆说婆有理。香港某厂业绩

年份909192

股东红利5万7。5万10万

工资总额10万12。5万15万

90919215105909192200%150%100%老板所画工会主席所画4424上海金汇学校：简单邮路问题旋转反射旋转反射共8种不同开口的图形。其中四个由图形A旋转而得到。另外四个由A反射图形B及其旋转得到。AB邮局4434100以内自然数的等差分拆

宁波第一中学江一鸣提出。1998。答案有限：1+2+3=6；1+3+5=9；2+3+4=9；2+4+6=12；……计算机程序，可以把全部“分拆”打印出来。然后根据数据做猜想：可等差分拆的书必为合数。

开放题的模式也要开放，使用新技术！4444门后的车

123

任选一门（例如1号）主持人打开无车的门（3号）是否要换2号？（考虑100扇门的情形）4454

国外高中数学题一束

:四维空间单位方体的顶点数.棱数,面数,三维面数,四维体数?

解：顶点数：23=16。棱数：（16·4）/2=32

二维面：（16·C42）/4=24

三维面：（16C43

）/8=8

四维面：1

一般地（2+1）n=2n+n2n-1+…+14464莫斯科大学入学试题（1995）

现要完成一项加工任务，其中包含5，000个A零件，3，000个B零件。该厂有100名工人。每个工人每小时能加工5个A零件、或3个B零件。问如何安排工人，可使该任务尽快完成？解：使|5000/5x--3000/(100-x)|最小。4474台湾联招试题

一个边长为1的正三角形，抹去各边中间的三分之一，向外作边长为1/3的正三角形。然后再将每边的中间1/3抹去，向外作边长为1/9的正三角形。如此无限继续。试求该图形所包含的面积，以及各次构作的三角形周长的倒数之和。分形。时代感。超纲？等比级数求和而已4484分苹果问题（推广）

某A在果园摘了一堆苹果，把它的一半加半个给第一个看门人，又将剩下的苹果的一半加半个给第二个看门人。那时只剩下两个苹果了。问原来有几个苹果？两个因子：剩下的苹果数，看门人个数思辨：看门人比我多一个；A和看门人苹果之和等于上次剩下的苹果

1，2；3，4；7，8；15，16；31，32；63，64；...2，3；5，6；11，12；23，24；47，48；95，96；…

3,

4;7,

8;15,

16；31，32；63，64；127，128

一半加一个？一般加两个？4494某小学数学教师培训著作云：铺垫---强力度（3分钟左右）导入---高速度（2分钟左右）提问？新授---大密度（15分钟左右）反思？巩固---多角度（10分钟左右）讨论？作业---重效度（8分钟左右）活动？小结---抓重点（2分钟左右）

传授知识的教学环节！！！4504

改革中国的数学教学模式

讲推理,更要讲道理.

引入--创设问题情景讲授与讨论巩固与反思.

熟练与应变后进生的教学.(卡片式,24点).石头4514教学模式探讨整体教学设计（GX）范例教学设计开放题教学模式.杭州二中范黎明活动型教学设计.数学实验.量旗杆...暴露思维过程的教学设计（反思）数学模型教学设计运用多媒体手段的教学设计4524创新的数学教育1。善问--新的教学环节2。思考--忌随大流。批评3。猜想--大胆假设合情推理4534数学教育创新例谈1。布鲁姆目标分类教学？2。数学与德育。辨证？形而上学？爱国主义与狭隘民族主义？3。美学。在课堂上：美观，美好，美妙，完美。4。数学方法论。不同于徐利治先生5。预测：应用题，奥赛降温,计算器的使用....4544国内创新范例

陈重穆：淡化形式，注重实质。GX.

戴再平：开放题教学

张思明：中学数学建模上海长宁区：活动教学。玩坐标。江一鸣。等差分拆（计算机）上海延安中学：学生提问教学挑战布鲁姆的目标教学、考试理论田中：中国“双基”教学研究

4554教学论文的写作。文风问题1。平等交流。两种倾向都不好：浅谈，刍议；要…,应该….2。不要做注解文章，只为他人理论提供例子。这是封建遗毒。3。注意引用他人文章，不要随便拿。只有尊重版权，研究才会繁荣。4。原始资料。个案。案例。从现象出发（见《导引》的论文选读）4564假如我是一个数学教师保持一块“教学自留地”。观察自己的课堂，发现规律性东西。高考机器的“润滑油”，少而精。从自己的实践出发，敢于向传统和流行的理论提出不同的看法，或加以发展积少成多，形成自己的特色小题小做，或小题大做。“大帽子，小例子”不可取。从实例出发4574一些有潜力的选题1。APOS理论（行动-过程-对象-概型）例：函数2-->4；x-->x2;f(x),知识整体2。活动型教学。从单纯的思维活动到一般的科学活动。尤其对数学后进生有效3。探索性课例。尤其用于优秀生4。数学课德育特色系列5。数学课上的美育研究4584数学美学的教学思考1。美观。1/2+1/3=2/5？（和谐的天性）2。美好。（a+b)2=a2+b2(2ab)

二次方程求根公式，丑陋但美好。

3。美妙。三条高交于一点。妙！辅助线，代换，变形，对人的冲击。

4。完美。数学的体系。数学的发展，人类的数学追求。4594课题（续）6。数学“双基”的定量研究7。数学教学案例：有效性分析。8。数学优秀生的发现与培养（特殊数学教育。国际性）9。基本资料的积累（性别，民族….)10。家教中的个案收集4604

与大家共勉改革之树长青与时俱进争先

谢谢大家4614美国NCTM课程标准片断3-5年级4624

报道说：几乎四分之三的美国四年级学生喜欢数学.3–5年级634634学生的特征喜欢数学喜欢做数学练习相信他们学习的内容是重要的在探索数学概念时需要积极的思考学习数学时，

既要有挑战性，也需要帮助和支持3年级4644更多更好的数学理解几何关系收集和比较各种数据发展代数推理养成度量技能，扩大词汇量推理和作判断3–5年级4654熟练计算用有效、精确、灵活的方法进行计算基于对数的性质和关系的良好理解，发展实用的策略。熟练掌握数的基本构成方法在心算、笔算、计算器计算时使用估算方法4664计算熟练的学生应能在选择计算方法时具有灵活性;能理解并解释这些方法;有效地获得准确的计算结果;展示他们的思考过程及工作情况;体现“数觉”.4674熟练计算的一个例子7x28Ithoughtseven25’s-that’s175.ThenIneedseven3’sor21.Sotheansweris175+21=1967x20is140and7x8is5656+140is196Idid7x30first.That’s210.Thentakeoffseven2’sor14.Soit’s196.46843x55x380+32=11281048x108x4乘法的性质4694运用分配律性质74x64704更强的基础数及其运算的性质进行熟练计算整数和有理数之间的关系数目以及各几何对象间的等价形式提高学生的能力，使能理解和用于—4714等价性366x69x472的1/2

一天半一码3打40–430+6411/2+1/4=3/4=1/2+1/43/1–1/4=.751/4+1/4+1/4=.75344724等价性4x8+4=364x10–4=3610+8+10+8=36734734另一种基础--数据分析四年级学生放学后在干什么？在你的周围行人是否遵守交通规则？怎样使日常生活用水的总量减少？通过收集、组织和解释数据得出一些有趣问题的答案.4744一种假设的探究睡眠的类别Light

MediumHeavyOther浅度：轻微响声就醒深度：很大的响声会惊醒无论怎样都一夜不醒

75Russell,Schifter,andBastable19994754如图：将两个一样的矩形各分割为一半得到两个图形.区域A和区域B是否一样大小?说明理由.几何论证BAAdaptedfromTierneyandBerle-Carman(1998,p.10)4764几何论证作许多等