指数函数的概念（沐风书苑）

4.2.1指数函数的概念

1沐风书苑r目标与素养：

2沐风书苑r问题探究

问题1：

随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.下表给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次统计情况：3沐风书苑r时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次200160027820026093092003620344200463138320056414272006650475200766152820086715882009681655201069172920117028112012711903201372110052014732111820157431244

这是15年间，两地景区游客人次统计情况。请同学们观察表格中的数据，你发现了怎样的变化规律？4沐风书苑r时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126

这是15年间，两地景区游客人次的变化情况请同学们观察表格中的数据，你发现了怎样的变化规律？5沐风书苑r时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次20016002782002609930920036201134420046311138320056411042720066509475200766111528200867110588200968110655201069110729201170211811201271199032013721101005201473211111820157431112446沐风书苑r通过观察发现，A地区的游客人次:定性描述：近似于直线上升（线性增长）。定量表达：A数据---做差运算---年增加量（常数）---线性增长---一次函数

y=600+10x,x∈[0,+∞)7沐风书苑r定性描述：

B景区的游客人次则是----非线性增长，那么，你能不能类比对数据A的研究方法，找到一个揭示它们之间不变关系的量，进而对其进行定量刻画呢？大家有什么想法？

定量表达：？8沐风书苑r9沐风书苑r从2002年起,将B景点每年的游客人次除以上一年的游客人次,可得：

…….

1.111.111.1110沐风书苑r探究结论:

(1)B景区的游客人次的年增长率都约为0.11.(2)

增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。B景区的游客人次近似于指数增长B景区：从2001年开始，B景区游客人次的变化规律可以近似的描述为1年后，游客人次是2001年的1.11倍；2年后，游客人次是2001年的1.11²倍；

3年后，游客人次是2001年的1.11³倍；············设经过x年后的游客人次是2001年的y倍，则y=1.11x,x∈[0,+∞).这是一个函数,其中指数x是自变量.y=(1+0.11)x，x∈[0，+∞）11沐风书苑r定性描述：B景区的游客人次----非线性增长，年增长量越来越大，定量表达：

B数据---做商运算---年增长率（常数）---指数增长---新函数

y=1.11x，x∈[0,+∞）12沐风书苑r

A数据----做差运算----年增加量（常数）----线性增长----一次函数y=600+10x，x∈[0,+∞)B数据----做商运算----年增长率（常数）----指数增长----新函数y=1.11x，x∈[0,+∞)13沐风书苑r

良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近300万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．考古学家测定，古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家是怎么测出这个时间的吗？碳14检测法14沐风书苑r问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，我们把刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14的含量为1-1·p=1-p；死亡2年后，生物体内碳14的含量为(1-p)-(1-p)·p=(1-p)²；死亡3年后，生物体内碳14的含量为(1-p)²-(1-p)²·p=(1-p)³；············死亡5730年后，生物体内碳14的含量为(1-p)5730；死亡x年后，生物体内碳14的含量为(1-p)xy=(1-p)x，x∈[0,+∞）15沐风书苑r根据已知,

所以（常数）

设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14含量为y，则即这也是一个函数,指数x是自变量.碳14每年以的衰减率衰减.像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。16沐风书苑r细胞分裂y=2x，x∈N*17沐风书苑r《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取之半，万世不竭”

18沐风书苑r把一张纸对折……一张纸很普通？科学家：如果将它对折103次……超出宇宙的可观测直径930亿光年19沐风书苑r总结：（1）y=1.11x，x∈[0,+∞)（2）（3）y=2x，∈N*

y=ax指数x是自变量20沐风书苑r指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

21沐风书苑r典例探究：典例1：判断下列函数那些是指数函数？①y=-2x；②y=(-2)x

；③y=(2)-x；④y=2x-1；⑤

y=2x

(x>0)；⑥y=(m-1)x(m>1,m≠2的常数)；⑦y=x2；⑧

y=2x

+1；⑨y=3·2x；答：③⑥是指数函数，其余都不是.22沐风书苑r典例2：已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，

求：f(0)，f(1)，f(-3)值.

解：∵f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π，解得∴∴方法总结：待定系数法确定指数函数解析式23沐风书苑r典例3（1）如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.解：设经过x年，游客给A、B两地带来的收入分别为f(x)，g(x)，则g(x)=1000×278×1.11x24沐风书苑r利用计算工具可以算出：当x=0时，f(0)-g(0)=412000.当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22).结合右图可知：当x>10.22时，f(x)<g(x).当x<10.22时，f(x)>g(x).当x=14时，g(14)-f(14)≈347303.25沐风书苑r答：（1）2001年，游客给A地带来的收入高于B地412000万元；（2）2001后的10年，f(x)>g(x)，游客给A地带来的收入仍高于B地，但g(x)比f(x)增长的速度快，大约2011年2月某个时刻就有f(x)=g(x)了，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；（3）10年后，f(x)<g(x)，游客给B地带来的收入高于了A地，由于g(x)增长的速度越来越快，而f(x)增长的速度不变，到2015年，游客给B地带来的收入已经高于了A地347303万元了.26沐风书苑r在问题（2）中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？

27沐风书苑r在实际问题中，经常会遇到类似于例题3中的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x，x∈N.形如y=kax

(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.28沐风书苑r课堂练习:1.函数y=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)=（）

答案：D2.已知函数f（x）=(2a-1)x是指数函数，则a的取值范围是______

29沐风书苑r3.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区的农民人均年收入为3000元，预计该地区今后的农民的人均年收入将以6%的平均增长率增加，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）

答案：B30沐风书苑r4.调查表明：酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时，血液中的酒精含量不得超过0.2mg/ml,如果某人喝了少量酒后,血液中的酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml,在停止喝酒后,血液中的酒精含量将以每小时50%的速度减少,则他至少经过多少小时后才可以驾驶机