直线和圆的方程

1/13/2023第七章直线和圆的方程7.6圆的方程（1）圆的标准方程问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．圆的标准方程解：设M(x,y)是圆上任意一点，xyO．rM根据圆的定义|MC|=rC由两点间距离公式，得①把①式两边平方，得圆的标准方程说明：1.特点：明确给出了圆心和半径。2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件。练习1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在圆点，半径是3；（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)（2）圆心在点C(3,4)，半径是；练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）（2）（3）（-1，2）3例1.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2因为圆C和直线3x-4y-7=0相切，所以圆心到直线的距离等于半径rCxyOr根据点到直线距离公式，得因此，所求的圆的方程是练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)

的切线的方程。解：如图，xyO．M(x0,y0)设切线的斜率为k半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是经过点M的切线方程是整理得，x0x+y0y=x02+y02因为点M(x0,y0)在圆上，所以x02+y02=r2所求切线方程是x0x+y0y=r2当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。例2已知圆的方程是，求经过圆上一点

的切线的方程。P(x,y

)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面几何知识）：在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2P(x,y

)yxO例2已知圆的方程是，求经过圆上一点

的切线的方程。解法三（利用平面向量知识）：OMMP=0OMMPx0x

+y0y=r2x2

+

y2=r2练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M的切线的方程练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切线的方程；（2）在y轴上截距是的切线的方程。所以切线方程为：y=x±2提示：设切线方程为y=x+b,由圆心到切线的距离等于半径1，得：|b|12+(-1)2=1解得b=±22（2）在y轴上截距是的切线方程。y=±x+2例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2

。把P(0,4)、B(10,0)代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。小结

(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2

当圆心在原点时a=b=0，圆的标准方程为：

x2+y2=r2(2)由于圆的标准方程中含有a,b,r三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。

(3)注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。作业：书P81习题7.6___42.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点A(-1,1)、

B(1,-1)的圆的方程