结构矩阵分析

第13章

结构矩阵分析§13.1概述●

矩阵位移法

有限单元法雏形（也称：杆件有限元法）。

以传统结构力学理论（位移法）为基础；

以矩阵作为数学表述形式；

以电子计算机为计算手段。（三位一体）●

历史回顾

1943年R.Courant首先提出有限元法思想。有限元法数学理论基础：变分原理，变分法；1946年电子计算机问世，使结构分析发生重大变革；50年代由航空结构工程师发展，逐渐波及土木工程；20世纪60年代，1960年由R.H.Clough命名为“有限单元法”（FEM)以来，有限元法蓬勃发展。不仅结构分析必不可少，而且成为“现象分析”的一种手段（场问题、时间维问题等）。

1967年首次出版专著，监凯维奇（O.C.

Zienkiewicz）与其学生张佑启（Y.K.Cheung)合写《结构与连续力学的有限元法》(张后来成为“有限条法”创始人）,该书成为世界名著，第三版中译本名为《有限元法》。

20世纪70年代大型有限元通用程序出现，K-J.Bathe的SAP程序、ADINA程序（建立在DOS系统），现代建立于WINDOW系统的有ANSYS程序、ALGOR程序等等。

我国计算机发展迅速、普及应用，创立了“计算结构力学”新学科。单元形式的发展名目繁多，方法各异。如：杆件单元、三角形单元、矩形单元、等参元、样条元、杂交元、边界元、有限条……。●

结构分析（手算）力法位移法混合法●

结构矩阵分析（电算）矩阵力法（柔度法）矩阵位移法（直接刚度法)矩阵混合法●

结构矩阵分析方法：以结构力学的原理为基础用矩阵代数表达计算公式电子计算机为运算工具●

矩阵位移法：传统位移法思路矩阵公式推演电子计算机程序应用●

矩阵位移法程序简单、通用性强，适用各种杆系结构。手算怕繁、电算怕乱

◆

基本原理与传统的位移法相同：1.以结点位移为基本未知量；2.基本环节：（1）离散化：整个结构分解为若干个单元（在杆件结构中，通常取一根杆件为一个单元）；（2）单元分析：分析单元的杆端力和杆端位移及荷载之间的关系；（3）整体分析：利用结构的变形协调条件和平衡条件将各单元集合成整体结构，得到求解基本未知量的矩阵位移法的基本方程。

§13.1.1矩阵位移法的基本思路

单元分析：满足单元杆端力与单元杆端位移之间的物理关系。

整体分析：满足整体的平衡条件和变形协调条件。◆与传统位移法不同点：矩阵表示，编程电算。

（通常采用一般单刚，考虑轴向变形）。◆按先于或后于整体分析处理约束条件，又分为：矩阵位移法的先处理法，矩阵位移法的后处理法。§13.1.2结构的离散化与正负符号规定（1）结构的离散化——划分单元与编码

◆

局部（单元）坐标系◆

局部（单元）编码：

●

杆端码1,2(或i,j)●

杆端位移（力）码局部码◆

整体（结构）坐标系◆整体（结构）编码：●

单元码①②③…

●

结点码ABCD…（或1234…）

●结点位移（力）码总码1234…（单元杆端位移列阵与单元杆端力列阵）（2）杆端位移、杆端力的正负号规定与坐标轴正方向一致或顺时针为正§13.2

单元分析(一)

——局部坐标系中的单元刚度矩阵

单元杆端力和杆端位移之间的转换关系称为单元刚度方程，它表示单元在杆端有任意给定位移时所产生的杆端力。而单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之间的转换矩阵。

忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。§13.2.1一般杆件单元的刚度矩阵§13.2.2单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义

中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移所引起的杆端力。某一列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等于1时引起的六个杆端力分量。（2）单元刚度矩阵的对称性,根据反力互等定理得出的结论，是对称矩阵。（3）一般单元刚度矩阵的奇异性,是奇异矩阵，因此不存在逆矩阵。注意：单元刚度方程中如已知杆端位移，则可由方程直接计算出杆端力，且是唯一解；如已知杆端力，则不一定能计算出杆端位移,可能无解，如有解，则为非唯一解。§13.2.3特殊单元（1）忽略轴向变形的梁单元的刚度方程（2）连续梁单元的刚度方程§13.3单元分析(二)

——整体坐标系中的单元刚度矩阵§13.3.1单元坐标转换矩阵1、两种坐标系中单元杆端力的转换式：2、单元坐标变换矩阵（正交矩阵）：3、两种坐标系中单元杆端位移的转换式：

§13.3.2整体坐标系中的单元刚度矩阵●称为整体坐标系中的单元刚度方程。称为整体坐标系中的单元刚度矩阵。●两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系：●

刚度矩阵的转换关系分块计算式：一二行对调一二列对调一行改号一列改号一二行对调一二列对调二行改号二列改号

§13.4连续梁的整体刚度矩阵

建立整体刚度方程的两种方法：①传统位移法（考虑每个结点位移对{F}的单独贡献）。②单元集成法（也称刚度集成法或直接刚度法），举例：

整体分析：建立整体刚度方程（结构结点力与结点位移的关系），导出整体刚度矩阵。§13.4.1单元集成法的基本概念

单元集成法：考虑每个单元对{F}的单独贡献。结点码(总码）123，再结点位移码杆端码(局部码)ij，再杆端位移码()杆端位移结点位移变形协调条件

●单元集成法求整体刚度矩阵的步骤：

第一步，由单元刚度矩阵[k]e，求单元贡献矩阵[K]e。第二步，叠加各单元贡献矩阵，得到整体刚度矩阵[K]。结点力杆端力平衡条件§13.4.2单元定位向量ijij对号入座先定位后累加先定位后累加边定位边累加§13.4.3单元集成法的实施

§13.4.4整体刚度矩阵的性质

（1）整体刚度系数的意义

[K]中的元素Kij为整体刚度系数，它表示当第j个结点位移分量j=l（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi。

（2）[K]是对称矩阵、稀疏矩阵和带状矩阵.

（3）按先处理法计算连续梁时，[K]是可逆矩阵。§13.5刚架的整体刚度矩阵§13.5.1单元定位向量与单元集成（1）结点位移分量的统一编码——总码整体坐标总码x向y向向单元局部码1(i)端2(j)端

§13.5.2铰结点的处理一、矩阵位移法基本方程

整体刚度方程为

§13.6等效结点荷载若外力(矩)=结点力则在外力(矩)作用下，结构在位置上平衡，有，或即矩阵位移法基本方程更一般矩阵位移法基本方程为为结点荷载列阵，为结点位移列阵。二、等效结点荷载结构受非结点荷载作用，计算分两步：2、放松各结点附加约束，即在各结点加结点力{F}，使基本体系经历结点位移{}，有。1、在各结点附加约束，阻止结点转动，得基本体系，计算荷载在此基本体系中产生的结点约束力，记作

叠加以上两步，并使附加约束总的约束力为零，回到结构实际受力变形状态。有，或比较，记称等效结点荷载列阵，有。

等效结点荷载由各单元附加约束反力矩集成并且反号；也可先将各单元附加约束反力矩反号（称之为单元等效结点荷载），然后再集成。于是，等效结点荷载的求法为:（1）在结点上加附加约束，在原来荷载作用下，求各单元附加约束反力矩{FP

}e，

反其方向（或不反方向，而改变正负号），即得各单元等效结点荷载{PE

}e=–{FP

}e。（2）应用单元定位向量，将各单元等效结点荷载换码累加成结构等效结点荷载{PE

}。结构综合结点荷载{P}由等效结点荷载{PE

}和直接结点荷载{PJ

}组成。P

}={PE

}+{PJ

}

注意等效含义!在图c与图a中，除了杆端转角而外，其它位移和内力并不等效，图a等于图c加图b。

三、刚架等效结点荷载

按单元集成法求整体的等效结点荷载（1）局部坐标系单元的等效结点荷载列阵在单元两端加上六个附加约束，使两端固定。在给定荷载作用下，可求出六个固端约束力，它们组成固端约束力向量(载常数）：

将固端约束力反号，即得到单元等效结点荷载列阵（局部坐标系）：。

单元固端力反号坐标转换定位累加

结构综合结点荷载{P}由等效结点荷载{PE

}和直接结点荷载{PJ

}组成。{P

}={PE

}+{PJ

}（2）整体坐标系单元的等效结点荷载列阵由坐标转换公式得

（3）整体坐标系结构的等效结点荷载列阵依次将每个列阵中的元素按单元定位向量定位并且累加，最后即得到。一、求单元杆端力

各杆的杆端内力是由两部分组成：

一部分是在结点位移被约束住的条件下的杆端内力，即各杆的固端约束力。

另一部分是刚架在等效结点荷载作用下的杆端内力，将两部分内力叠加，即得。由，其中，由于则。§13.7计算步骤和算例也是位移法的转角位移方程所表达。二、计算步骤用矩阵位移法计算平面刚架的步骤如下：（1）整理原始数据，对单元和刚架进行局部编码和总体编码。（2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵。（3）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵。（4）用单元集成法形成整体刚度矩阵。（5）求局部坐标系的单元等效结点荷载，转换成整体坐标系的单元等效结点荷载，用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载列阵。（6）解方程，求出结点位移列阵。（7）求各杆的杆端内力列阵。杆端力与N、Q、M的关系:（五）解方程求结点位移（六）求单元杆端力矩单元①的杆端力矩为：单元②的杆端力矩为：（七）绘弯矩图单元③的杆端力矩为：§13.8忽略轴向变形的矩形刚架的整体分析（1）结点位移分量的统一编码忽略轴向变形的影响：零码与相同编码。（2）单元定位向量

（3）由单刚集成总刚[K]13.9桁架及组合结构的整体分析13.9.1桁架比较内力另一种算法：

13.9.2组合结构计算组合结构时先区分梁式杆和桁架杆，采用相应刚度方程及计算公式。内力图本章小结一、前处理法公式汇总：二、分类§13.10平面刚架程序的框图设计和源程序§13.10.0平面刚架程序设计中的几个问题

结点位移分量的统一编码；

结点编号从小到大；支座结点的零位移分量给以零编号；铰结点处要编两个或两个以上的结点号；桁架单元的抗弯刚度等于零，不必考虑角位移分量。

整体刚度矩阵的最大半带宽；先处理法的整体刚度矩阵的最大半带宽：单元半带宽=单元定位向量中的最大分量–最小非零分量+1即de=MAX–MIN＋1

等带宽存贮；只需要存贮系数矩阵上三角（或下三角）部分半带宽范围内的元素。

解线性方程组的带消去法

带消去法的消元公式：带消去法的回代公式：§13.10.1平面刚架程序的框图设计§13.10.1.1总框图与程序标识符（1）总框图主程序与子程序之间的数据传递均通过形式参数来实现。（2）程序标识符现将子框图和源程序中主要标识符的意义说明如下：1、整型变量NE——单元数；NI——结点数；N——结点位移未知量总数；NW——最大半带宽；NPJ——结点荷载数；NPF——非结点荷载数；IND——非结点荷载类型码；M——单元序号。2、双精度型变量BL——单元长度；SI——单元的sin值；