线性代数-矩阵的初等变换

第五节矩阵的初等变换一、初等变换二、初等矩阵三、用初等变换求矩阵的逆定义2.11

设A=(aij)m×n,则下述三种变换：

一、矩阵的初等变换(1)交换矩阵的两行(列)；记作(2)以一个非零的数k乘以矩阵A的第i行(列)；

记作(3)将矩阵A的第i行(列)各元素的k倍加到第j行(列)对应元素上，记作.称为矩阵A的初等行(列)变换．矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换．定义2.12如果矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作由定义知道，矩阵之间的等价关系具有下列性质：(1)反身性：A

A;

(2)对称性：若A

B，则BA;(3)传递性：若A

B,BC，则A

C．例2.18已知矩阵对其施以如下初等行变换：这里的矩阵B根据其特点称为行阶梯形矩阵．一般地，满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：(1)自上而下的各行中，各非零行首非零元左边零的个数随着行数的增加而增加；(2)元素全为零的行(如果有的话)位于矩阵的最下方对于上述矩阵继续施以初等行变换：这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵．这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵．一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵：(2)每个首非零元素所在列的其它元素都是零．(1)各非零行的首非零元素是1；对于上述矩阵施以初等列变换：这里的矩阵称为矩阵的等价标准形．一般地，矩阵的等价标准形具有如下特点：矩阵的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零.定理2.2任意非零矩阵A=(aij)m×n,都可经过有限次的初等变换化为其等价标准形.(证明略)r个1例2.19将矩阵

化为其等价标准形解定义2.13单位矩阵E经过一次初等变换得到的三种初等变换对应着三种初等方阵:二、初等矩阵(1)互换单位矩阵E的i,j两行(列)所得到的矩阵，记作E(i,j)，即方阵称为初等矩阵.(1)互换单位矩阵E的i,j两行(列)所得到的矩阵，记作E(i,j)，即(2)用非零数k乘以单位矩阵E的第i行(列)所得到的矩阵，记作E[i(k)],即(3)将单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行(或第j列的k倍加到第i列)所得到的矩阵，记作E[i,j(k)]，即容易验证，初等矩阵具有以下性质：(1)初等矩阵的转置仍为初等矩阵；(2)初等矩阵均是可逆矩阵,其逆矩阵仍为初等矩,且矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系.定理2.3设A是一个m×n矩阵，则(1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A；(2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.证明(1)我们仅对第三种初等行变换进行证明.把矩阵A=(aij)m×n和m阶单位阵E按行分块为其中把A的第j行的k倍加到第i行上，得矩阵则相应的同种初等矩阵于是这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A的第j行的k倍加到第i行上.对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以类似地进行证明．例2.20设,而则即用E3(1,2)左乘矩阵A，相当于交换矩阵的第1行与第2行，又即用E3[1,3(2)右乘矩阵A，相当于矩阵的第3列乘以２加到第１列．根据定理2.3可得定理2.2的等价表述如下：推论1

n

阶可逆矩阵A

的等价标准形为推论2

n

阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。定理2.4

设矩阵A=(aij)m×n，则存在有限个m阶初等矩阵P1,P2,…,Ps和n阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qs,使得证明必要性若A可逆，由推论1，则存在有限个初等矩阵于是充分性若A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。设为初等矩阵因初等矩阵可逆，则可得A可逆。推论3设A和B都是m×n矩阵，则A等价于B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得三、用初等变换求矩阵的逆设A为n阶可逆矩阵，则也为n阶可逆矩阵.由定理2.4的推论2可得，必存在有限个n阶初等矩阵，使得(2.7)(2.7)上式也可写成(2.8)在(2.7)式两边右乘矩阵A，得到(2.9)比较式(2.8)式和(2.9)可以看出：当对矩阵A施以有限次的初等行变换，将矩阵A化为单位矩阵时，对单位矩阵施以相同的初等行变换，就可以将E化为．将(2.8)和(2.9)式用矩阵形式表示解例2.21设