第六周第一次课-矩阵的秩和初等矩阵

几何与代数

主讲:王小六

东南大学线性代数课程

第二章矩阵第四节

矩阵的秩§2.4矩阵的秩问题：在求解线性方程组时，增广矩阵(A,b)

阶梯形矩阵(A1,b1),

A1

和(A1,b1)的非零行数与初等行变换有关吗？初等行变换基本概念1.k阶子式这样的子式共有

个.k阶子式mnk行k列第二章矩阵§2.4矩阵的秩2.矩阵A的秩(rank)记为r(A)或秩(A)

r(A)=r

A中至少有一个r阶子式D不为零，A的所有更高阶子式(若存在)等于零.

204101324082而3阶子式全为0,因此它的秩为2.例如有一个2阶子式20010,第二章矩阵§2.4矩阵的秩第二章矩阵§2.4矩阵的秩命题2.1r(A)=r

当且仅当A

中存在非零的r阶子式，但A中所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于零.第二章矩阵§2.4矩阵的秩注:(1)零矩阵的秩规定为0.第二章矩阵§2.4矩阵的秩(2)n阶方阵A的秩等于n

A是可逆阵.(3)矩阵As×t的秩满足：r(A)≤min(s,t)如果矩阵的秩等于它的行数，则称是行满秩的；类似有列满秩的概念.可逆矩阵也称为满秩矩阵注:(4)r(AT)=r(A).(5)如果A的每一个k阶子式都等于零，则(6)如果A的有一个k阶子式不等于零，则r(A)<k.r(A)≥k.例

120501

2474

1015316414的秩=?注:对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说,

按照定义去求它的秩是一件很麻烦的事.第二章矩阵§2.4矩阵的秩4

08290

30120

004700000例.的秩为

.3注:

可以证明

命题2.2

阶梯形矩阵的秩等于其非零行的数目.

而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行

变换化为阶梯形矩阵.初等行变换是否改变

矩阵的秩？第二章矩阵§2.4矩阵的秩二.初等变换和矩阵的秩引理2.2若矩阵A经过初等行变换变成B，则r(A)≤r(B).引理2.3若矩阵AB，则BA.初等行变换初等行变换由引理2.2和引理2.3，得命题2.3若矩阵AB，则r(A)=r(B).

初等行变换例

120501

2474

1015316414的秩=?三.矩阵的等价标准形1.矩阵的初等列(column)变换

(1)对换变换:ci

cj,

(2)倍乘变换:ci

k,其中k

0,

(3)倍加变换:ci+kcj.结论：初等列变换不改变矩阵的秩.

事实上，若AB,则ATBT，然后利用命题2.3及结论r(A)=r(AT)可得.初等列变换初等行变换2.矩阵的初等变换初等行变换初等列变换定义：若矩阵A经过一系列初等变换变成B，则称A等价于B,记为AB.易证矩阵的等价关系满足：(反身性)AA;(对称性)若AB,则BA;(3)(传递性)若AB，BC,则AC.

命题2.4：若矩阵AB,则r(A)=r(B).

假设r(As×n)=r,若

A阶梯形矩阵B，初等行变换进一步有，B初等列变换ErOOO(r):=Es×n.简化阶梯形初等行变换初等变换定理2.3假设A,B都是s×n矩阵，则AB当且仅当r(A)=r(B).等价标准形对n×n矩阵的分类1.可逆和不可逆；

秩为0,1,2,…,n-12.秩为n;3.等价于En;等价于EiOOO(i=01,2,…,n-1)第二章矩阵§2.5初等矩阵2.5初等矩阵Eri

rjP(i,j)(1)一次初等变换1.单位矩阵初等矩阵

AB(r(A)=r(B))A和B之间有什么联系?一.初等矩阵与矩阵的乘积P(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列Eri

rjP(i,j)(1)Eci

cj第二章矩阵§2.5初等矩阵1P(i(k))

=第i行1k

11第i列EcikErikP(i(k))(2)第二章矩阵§2.5初等矩阵P(i,j(k))

=第i行1……k1

1……第j行第i列第j列1Ecj+kciEri+krjP(i,j(k))(3)ci+kcjP(j,i(k))第二章矩阵§2.5初等矩阵2.初等矩阵的可逆性(1)P(i,j)1=P(i,j),(2)P(i(k))1=P(i(k1)),(3)P(i,j(k))1=P(i,j(k)).例如3阶初等矩阵P(1,3(5))=1

05

010

001,P(1,3(5))=1

05

010

001,1

05

010

0011

05

010

001.=1

00010

001第二章矩阵§2.5初等矩阵3.矩阵的代数运算与初等变换之间的关系010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001a

x

1b

y

2c

z3,=x

a

1y

b

2z

c310001000kabcxyz123,=a

bcx

yzk

2k

3k10001000ka

x

1b

y

2c

z3,=a

x

kb

y

2kc

z

3k1k0010001abcxyz123,=a+kxb+kyc+kzxyz1231k0010001a

x

1b

y

2c

z3.=a

ak+x

1b

bk+y

2c

ck+z3第二章矩阵§2.5初等矩阵定理2.4.对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相当于在A的右