2022-2023学年福建省厦门高二年级上册学期第一阶段考试数学试卷

厦门二中2022-2023学年度上学期第一次阶段考试高二年段数学学科试卷班级：座号：姓名：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与直线垂直的一个向量是（）A. B. C. D.2.过点作圆的切线l，则切线l的方程为（）A. B. C. D.或3.与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.4.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（）A.[0,]B.C.D.5.已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（）A.∥， B.， C.∥，α∥β D.，α⊥β6.点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（）A.B.C.D.7.如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．则异面直线AN，CM所成的角为（）A.B.C.D.8.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为，降落伞自身的重量为，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）（重力加速度g取，精确到0.01N）．A.1.41NB.1.56NC.16.97ND.17.04N二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中正确的有（）A.l的一个方向向量为B.直线l与两坐标轴围成三角形的面积为C.l与直线垂直D.lD.l与直线平行10.已知△ABC的顶点，若△ABC是直角三角形，则符合条件的m的值为（）B.C.D.B.C.D.11.长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法正确的是（）A． B．与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为12.已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点P，使得B.存在唯一点P，使得C.当，此时点P的轨迹长度为D.当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球体积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点M是点在坐标平面Oyz内的射影，则=．14.已知两条平行直线与间的距离为，则的值为．15.两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A1，E和点A，F使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，则线段的长为_____________．16.球O为正四面体ABCD的内切球，AB=2，MN是球O的直径，点P在正四面体ABCD的表面运动，则的最大值为____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.求满足下列条件的直线方程：（1）已知，求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程；（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.18.如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设.（1）试用表示向量；（2）若，求直线AC与BD1所成的角.19.在平行六面体中，，，（1）求证：直线平面．（2）求A1到平面BDD1B1的距离.20.在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，E是的中点．（1）求证：∥面；（2）若，则棱PB上是否存在一点F，使得平面与平面EBD的夹角的余弦值为？若存在，请计算出的值，若不存在，请说明理由。21.如图，是某景区的瀑布群，已知，点Q到直线OM，ON的距离均为2，现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸交道路ON于点B.（1）求；（2）当取得最小值时，求.22.知圆，点P是直线上的动点．（1）若从点P到圆O的切线长为，求点P的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；（2）若点，直线PA，PB与圆O的另一交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点．参考答案1.答案：D2.答案：D分析：容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．当斜率不存在时，符合题意。当斜率存在时，我们设切线方程为，k为斜率．由直线与圆相切可求出k的值．解：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即．由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得，解得．所以，所求切线l的方程为或．3.【答案】B【分析】把方程中换成，整理即得．【详解】直线关于轴对称的直线的方程为，即．4.【答案】C【分析】分和两种情况讨论，当时，；当时，结合的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围.【详解】直线l的方程为，当时直线方程为，倾斜角当时，直线方程化为，斜率，因为，所以，即，又因为，所以，综上可得故选：C5.答案：A6.【答案】B【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】解：∵直线，∴可将直线方程变形为，∴，解得，由此可得直线系恒过点，则P到直线l的最近距离为A，此时直线过P．P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA．∴．7.答案：C【解析】解法一：解法二：构造长方体8.答案：C分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．解：如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为F．因为，所以F在上的投影向量为．所以8根绳子拉力的合力．又因为降落伞匀速下落，所以（N）．所以，所以（N）．9.答案：AC10.答案：ACD11.答案：ABC【思路分析】不妨令，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解析】如图所示，连接，，不妨令，在长方体中，面，面，所以和分别为与平面和平面所成的角，即，所以在中，，，在中，，，所以，，，故选项，错误，由图易知，在平面上的射影在上，所以为与平面所成的角，在中，，故选项错误，如图，连接，则在平面上的射影为，所以为与平面所成的角，在△中，，所以，所以选项正确，故选：．【试题评价】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．12.答案：BCD【详解】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），，为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为∴，故A选项错误．由可得，故B选项正确．，即，此时由点P坐标为得到，点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确．当P为底面EFGH的中心时，由B选项知．易得．∴外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为．，故D选项正确．13.【答案】【分析】先求得点在坐标平面Oyz内的射影，再利用两点间的距离求解.【详解】因为点在坐标平面Oyz内的射影是，所以.14.【答案】或【分析】直接利用两平行线之间的距离公式列方程，解方程即可求解.【详解】因为两条平行直线与间的距离为，所以，解得或，所以的值为或.15.答案：或16.【答案】，17.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）先计算中点的坐标，再利用两点式写出直线方程，即得结果；（2）分类讨论直线是否过原点两种情况，分别设直线方程，再将点P代入计算，即得结果.【详解】解：（1）由题意可知，的中点坐标为，又点，所以的边上的中线所在的直线方程为：，即；（2）当直线过原点时，设方程为，∵过点，∴直线方程为，即；当直线不过原点时，设方程为，∵过点，∴，∴直线方程为，即.故所求直线的方程为或.19.解：分析：根据条件，可以{，，}为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．（1）证明：设，，，则{，，}为空间的一个基底，且，，．因为，，所以，．在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得．所以，．所以是平面的法向量．所以平面．（2）设A1到平面BDD1B1的距离为d，，故20.（1）连结AC交BD于M，连结EM.为正方形，为AC中点，又E为PC中点，.又平面EDB，平面EDB.平面EDB.（2），，即，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面ABCD.以为基底建立空间直角坐标系，，设，，，，，，，设平面DEF的法向量为，，，，设平面DEB的法向量为，，，，若平面与平面EBD的夹角的余弦值为，则，解得或答：存在，的值为或0.22.【答案】（1）点的坐标为，；（2）证明见解析．【分析】（1）设两切点分别为，，由可求；（2）表示直线的方程，与圆方程联立，表示出坐标，同理可得的坐标，即可求出.【详解】（1）依题意，设．设两切点分别为，，则，．由题意可知，即，解得，所以点的坐标为．在中，可求得，所以，所以所求两条切线所夹的劣弧长为．（2）设，，．依题意，可得直线的方程为，由，得．因为直线经过点，，所以，是上述方程的两个根，则，即，代入直线方程，得'．同理，可得直线的方程为．由