电磁场与电磁波

第三章静电场

主要内容1.真空中静电场方程2.介质中的静电场方程3.静电场的边界条件4.电容与部分电容5.电场能量和力6.镜像法7.应用一.真空中静电场方程

物理实验表明，真空中静电场的电场强度E

满足下列两个积分形式的方程式中0为真空介电常数。左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。再根据亥姆霍兹定理，电场强度E应为式中xPzyr0电位以小写希腊字母

表示，上式应写为将前述结果代入，求得因此标量函数称为电位。表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度

S及线密度l的关系分别为点电荷:电位方程有源空间：泊松方程无源空间：拉普拉斯方程例1计算点电荷的电场强度。

点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上式左端积分为得或也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，。那么点电荷的电位为求得电场强度E

为若根据电场强度公式（3-1-14），同样求得电场强度E为例2计算电偶极子的电场强度。

由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位为若观察距离远大于两电荷的间距l

，则可认为，与平行，则x-q+qzylrr-r+O式中l的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积ql

为电偶极子的电矩，以p

表示，即求得那么电偶极子产生的电位为由关系式，求得电偶极子的电场强度为上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。[X,Y]=meshgrid([-0.1:0.002:0.1]);Z=Y./((X.^2+Y.^2).^1.5);mesh(X,Y,Z)axis([-0.10.1-0.10.1-30003000]);-8-6-4-202468-8-6-4-202468xyyx2+2)+

=

例3设半径为a，电荷体密度为的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。xzyaLS1选取圆柱坐标系，令z

轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一z值，上下均匀无限长，因此场量与z坐标无关。对于任一z为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于z轴，且与径向坐标r一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度

无关。取半径为r

，长度为L的圆柱面与其上下端面构成高斯面。因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为当r<a时，则电量q为,求得电场强度为当r>a时，则电量q为,求得电场强度为上式中a2可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为=a2

的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为的无限长线电荷的电场强度为由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。xzyr21r00例4求长度为L，线密度为的均匀线分布电荷的电场强度

令圆柱坐标系的z轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角

无关。因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。因场量与无关，为了方便起见，可令观察点P

位于yz平面，即，那么考虑到求得当长度L时，1

0，2，则此结果与例3导出的结果完全相同。xzyr21r00二.介质中的静电场1.极化类型

导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。有极分子无极分子无极分子有极分子Ea2.极化过程实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea

加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场Es又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。介质合成场Ea+Es极化二次场Es外加场Ea3.极化强度介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以P表示，即式中pi

为体积V中第i个电偶极子的电矩，N

为V中电偶极子的数目。这里V应理解为物理无限小的体积。实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度P与介质中的合成电场强度E

成正比，即式中e

称为极化率，它是一个正实数。4.介质类型分为:各向同性与各向异性、均匀与非均匀性、线性与非线性、静止与运动四大类.极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度P

与电场强度

E

的关系可用下列矩阵表示这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。因此，若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向同性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，则适用于线性均匀各向异性的介质极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否则，称为非线性介质。各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以得出如下关系：由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。右式又可写为积分形式

5.介质中的静电场方程

在介质内部，穿过任一闭合面S的电通应为式中q为闭合面S

中的自由电荷，为闭合面S

中的束缚电荷。那么令，求得此处定义的D

称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。电位移电位移线表示.若规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。已知各向同性介质的极化强度，求得式中称为介质的介电常数。已知极化率e为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。令则实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以r

表示，其定义为可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。介质介质空气1.0石英3.3油2.3云母6.0纸1.3~4.0陶瓷5.3~6.5有机玻璃2.6~3.5纯水81石腊2.1树脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向