2022-2023学年广东省阳江市四校高二年级上册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省阳江市四校高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（

）A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)【答案】C【分析】根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.【详解】直线的斜率k=tan30°=，由直线的点斜式方程可得y－2＝(x＋)，故选：C．2．圆的圆心坐标和半径分别是（

）A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3C． D．【答案】D【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.3．如图，空间四边形中，，，，点为的中点，点在线段上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果.【详解】解：由已知，故选：D.【点睛】本题考查向量的减法运算，及共线向量的知识.4．设，向量，，，且，，则（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】先根据求出，再根据求出，故可求.【详解】因为，故，故，因为，故，故，故，，故，故，故选：D.5．已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为两点到直线的距离相等，所以有，或，故选：D6．已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线经过点，由反射的性质可知：，于是，所以反射光线所在的直线方程为：，故选：A7．如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，写出，的坐标，由夹角公式可得结果.【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．故选：A.8．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.设正方体的棱长为1，则有∴，∴设，∴，，由图知不是平角，∴为钝角等价于，∴，∴，解得∴的取值范围是故选：C.二、多选题9．以下关于向量的说法正确的有（

）A．若＝，则＝B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆C．若＝－且＝－，则=D．若与共线，与共线，则与共线【答案】AC【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.故选：AC.10．已知直线：和直线：，则（

）A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则C．若，则或2 D．若，则与间的距离为【答案】CD【分析】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.【详解】若，由，解得或，经检验当时，，重合，当时，，所以，故A错误；若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；若，则，解得或2，故C正确；当时，，则：，：，即：，则与间的距离为，故D正确．故选：CD．11．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆公切线条数可知两圆相交，根据相交时圆心距和两圆半径之间关系构造不等式求得的取值范围，进而得到结果.【详解】圆方程可化为：，则圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；圆与圆有且仅有两条公切线，两圆相交，又两圆圆心距，，即，解得：或，可知CD中的的取值满足题意.故选：CD.【点睛】结论点睛：两圆之间圆心距为，半径分别为，则两圆位置关系与关系如下：（1）内含：；（2）内切：；（3）相交：；（4）外切：；（5）外离：.12．如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（

）A．平面平面 B．不是定值C．三棱锥的体积为定值 D．【答案】ACD【分析】A.易证明平面，得到面面垂直；B.转化，再求数量积；C.,根据底面积和高，判断体积是否是定值；D.由平面，判断线线是否垂直.【详解】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.，故，故B不正确；C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，属于中档题型.三、填空题13．已知三点共线，则=____.【答案】【分析】列方程来求得.【详解】依题意：三点共线，所以，即.故答案为：14．过点且与圆相切的直线的方程是______．【答案】或【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为.综上：直线的方程为或故答案为：或15．长方体中，，，则点B到平面的距离为________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，设平面的法向量为：，，令得：又点B到平面的距离为：.故答案为：.16．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______【答案】【分析】先利用向量共线定理设出Q点坐标，再利用向量的数量积运算得到关于的函数式，利用二次函数求最值即可得到答案.【详解】因为点在直线上运动，所以存在，使得，因为，所以，所以点的坐标为.所以，，所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为.故答案为：.四、解答题17．求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且分别与直线2x－y－1＝0：(1)平行的直线方程；(2)垂直的直线方程．【答案】(1)2x－y＋1＝0.(2)x＋2y－7＝0.【分析】由题意，联立方程组，解得与的交点为．(1)设所求直线方程为，把点，代入直线方程，解得，即可求解；(2)设所求直线方程为，把点，代入直线方程，解得，即可求解；【详解】由题意，联立方程组，解得，即与的交点为．(1)设与直线平行的直线方程为，把点，代入直线方程，得，解得，∴所求直线方程为2x－y＋1＝0.(2)设与直线垂直的直线方程为，把点，代入直线方程，得，解得，即所求直线方程为x＋2y－7＝0.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中解答中牢记两条直线的位置关系，合理设出所求的直线方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.18．如图所示，在平行六面体中，AB＝AD＝A＝1，∠AD＝∠AB＝∠BAD＝60°，求：（1）A的长；（2）B的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用，然后平方转化为向量的数量积计算；（2）利用，然后平方转化为向量的数量积计算；【详解】（1）＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝6.∴A＝＝.（2）)＝1＋1＋1＋2×1×1×(－)＋2×1×1×＋2×1×1×(－)＝2.∴＝.19．在中，已知，，.（1）求边所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1），，边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，，方程为：即：..20．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）设平面一个法向量为令设平面一个法向量为令因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.21．图1是直角梯形ABCD，，.以BE为折痕将折起，使点C到达C1的位置，且，如图2.(1)证明：平面平面ABED；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先作辅助线，连接AE，AC，AC交BE于点F，利用垂直关系证明C1F⊥平面ABED，即可证明；（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求线面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图①，连接AE，AC，AC交BE于点F.因为，，所以，所以，又，所以四边形AECB是平行四边形，,，所以四边形是菱形，在中，AC=，所以.在图②中，，所以，所以，由题意得，又，平面ABED，所以平面ABED，又平面，所以平面平面ABED.（2）如图②，以D为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系则，F，，所以，,，设平面的法向量为=(x，y，z)，由得取，得，所以，记直线与平面所成的角为θ，则==.22．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3.(1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值；(2)设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的夹角即可求二面角，（2）根据线面平行的向量方法，利用法向量与方向向量垂直即可求解.【详解】（1）如图1，连接BD，由题意，△ADB是正三角形，设M是AB的中点，则DM⊥AB，所以DM⊥DC，又DD1⊥平面ABCD，所以DM⊥平面DD1C1C.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,2,0)，B(