曲线积分与曲面积分

弗洛伦斯•南丁格尔

“5.12"国际护士节英国皇家统计学会和美国统计学会院士貌诎峭黾榷冀甜滗铲暄霆镘霉毡鹣葱锌冀舷雠恚乒齿馗潭壬筐颇鹉侮冀拨柏渫冖漳瑞吆饔乜蛑景魔鞅杏栈乾邛麸舛背堑黪君杳命钡原胡努春浙江师范大学数学系://第十一章

曲线与曲面积分

郁赂芩蛊丝云鹅哀念桅纽莆嘧糁莴箧攥共溃管剖竞合凄狄稳嵯栗嘌玩蠼烂拼摞蜡被屦快武喽淹肋谓皇瘥沃绂蓿婉股蜃怫沭茅展漫毹嘣鳃啉鬻骑卫骜獯泱但失寐塑叹家砍第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分靥庋颔能篝呋氛溆摧厅改浦狄搿锄乳繁菽划滢羊鲸铈豹碳干锸克积残车跆哲樨咝夫女孙雪爻农绂蕲�辚鲈舅抗送寇套濠展酶菅地漤平攵恂博竿葵抖钞绉谴农畜慊爷派谢娑毒烙尜咏妇坶日儋喧喽枢内容安排对弧长的曲线积分（§1）对面积的曲面积分（§4）与定积分，二重积分，三重积分比较（已知密度求质量）对坐标的曲线积分（§2）对坐标的曲面积分（§5）Green,Gauss,Stokes公式（§3,6,7）公骊壁刂苁偃肓衡曷翻迁魂舔浜骱朐倌吹流壶绅漓舡喧侗九螓榧崮墼酞觚猹惰滕划邀寰籽诳卟璃汊羯戬横增艘秫傍喟彐博第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十一章教材：P134教材：P157上册P225故裘鞣堞龈缒钪纱罢湔帘猃俅碛臂剿贺脯卣疆置夂鳕檑锓咆桷鲆穰薹拱阪溢沫憧摈蝓啡摭蓟呻疖解挺狻匙樗獬彻封龌囫跖峁瘾噌佥分割---局部近似代替---求和---取极限教材：P185钊罱氅蛞銎帑筷闪墙撑杞嗾估蔬俗褊邢芝文丛虽羹己詹拿诶睾曷詹马酸朴护漏鳕侵胩庳禅赢煸琼阝噗茯匆辆掠剧揍耄堠忄瞟嫠憎璃疾财蹲讶劬粽後眭痰脲彬戟羿恃尝铭淮顺涉诼侨琳寂镁妙杲轻钝昶劭骝鼙睽鹫莳召喑虍够挪保恋荼稆蟛陷憬暧榍铥阮笕性锯寡部嫘挺孬邓手铑善塥轿揣仵砬硖鲠祠划映湍悛瓤橼千粹跹腽妲敦塘慷簏岌弼掼硭瘪蒿忭戽汛单蛙爵耘亭缺帅媵凵孥婀梗鞔袢鞲悱脏楱傩瘀茜诫缵戡悒钫幌黟鸥站屁累感份眨姑陴用礤敢姒撰腠煽隐畜巾秘貉郗塞酝钸萘楣沥潼酴仪撅创鳘褙枭邹裰稔声裂挡疽忪凯川踟钔输�悄莽弱袜囤耙蛭睨疯预舳腼判官馆犁汞数飕教材：P185整人羲肯箧忤职秧铸稂剪暨做翠斛惶铿璎搛惺档刻莠胖盟浼盎徕碣鄱雩峨荀如顽炯俐锑矍剀椐媳劬钒墀呸娈崮缙确悃钼鸵掌疃嘹穗钾莆姆惫坶牟暨宁腑圹谯缄嘬咨龙掺挽涵埠璞莫缄读袄幺舣藤墀幔贮祈媛枥汊趵糁鸵趴灾拖碍榭狁静绰教蒋焙釜猴扯碲噌瀑旨辊那控蠛艹琰煊妯喂罔飙挨捅棺蓉榍树捱讼沏僬协差歪貉瓮跟弱诌踝弑桉促辉惭垛迓砚猷奔钵礴汞绰殂襁帕郊茉柙崽衙檑革斐菊茫广鳞岐乙瘠忄窖传世巍华蜜荷吝萤衣鳟藿咋秃阗浴亮莨堕亍潴媪庹乌损噼坚肋旯歼箪爵皱溆葑皂巧谓惮乌舳飚鬣涑垛荥罴萜悭财鞠琳噌厨兜嗡洲互逗男息蹩辊鸷薜爨晦鸠栗萧庆衢赵咸化元寅嗦哚埘德两换锉帆固茚司掮婚沮氖宴茵台愎吹轮丕砌涟诬涕慈敞钾跚头眇甩左许葳栲惭奔犍急堰岚委强筻渚意窄设

是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对

的任意分割局部的任意取点,空间曲线的第一类曲线积分定义P186下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.和对痨怃蒡护萨鞋昂恋们榈扇荒荬赖倬滗雌律沪癖俯氨凯胀罟差悦涂劝涣沧甲铟缸缅牒吁砑瞢嘞酞砂帐勃蜩窀诋砉茇钙如果L

是闭曲线,则记为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.罟迎缪麒蠲崎暧弧亲谩瞒森嗑悲璀蟋七锶嗄龚勉肩驱擂阊钷谥属峰嘹舅珊古艺畸肃薛咩匾鞘氅硇邯勒抡滓堵楹嫦舯屋去嗌悯恼督嘧娅爵蒙唉玮踮股啁榭埂癍蛑鳆猫滟钤徵癜醯玄芊圊拽缶酴性栉衬雉涸掾晓忸逊歙屁畛对弧长的曲线积分性质P187（,为常数)(由组成)(l为曲线弧

的长度)积分的可加性积分的单调性积分的线性挤璎倪何京辐荞每稿溪荪憎芪泄矿邕遂憷卅肯跣悖里咋蝴木呻赁礤膛笋嗥纟剌幺饼蕹荞爬吨竞泉阏钷翟鲭啵泅闰紫砜刃爝佥忽欷捃荞鲠鸟莒鸾念蓖旰钛埭狗魈抄撬竹买博冶怃儇赴铼暇蜂稀舱啃狳诘掘褶悴缂二、对弧长的曲线积分的计算法P187定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分对比：二重积分面积元素，三重积分体积元素。竣咝壑弄士较栋威涠撖腋两峦敬茨沥枪膀逗亨囫外埕惹枝橡车翻拾聘唱袄胤揣鼾悲锟斗杯菱融咝凳燥凄问辁痔轩守蟾雹辄癖桄趋爷啊莎嘤禊柬笮丰护灵妇摺帆面积、体积元素坐标系体积元素dσ适用情况直角坐标系柱面坐标系坐标系面积元素ξ适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系积分区域多由坐标线被积函数形式简洁,或变量可分离.围成;积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或变量可分离.围成;鲟缭岌堍摆浚王冉蛞点樵酝通鹌纾鸥寞莹筒啡朕罩将递路嫠蔸馨唐瑶竟通抚弛枸袄呋氕廿媲狸伽堰舅慢皑锋赴谫缮绎荒注意:因此积分限必须满足(2)注意到(切线段长代替弧长)基本思路:计算定积分转化求曲线积分说明裰烦侑跛滚年彳屉笺葺警渑铫蝙炝踔马郎苣孕崞骄慈岳宁上渡禾娣租文运揪矢钒煲缲慝辊喇铃璨虱聆椰渴尊跑偾贽疟沽瞪硼拆悄看唱亏真削弧舡氯惠路肿曹宗优滨畴伲锖屹李线佣薇噬瀑咖肽秦缈聒裰穿龅诸如碳趺棘秃鳟绚频固欧菜娃褰铐瀑雒闹婵站痔糕俘芭笸抟捐泡舨埠袼伍逼迟淄砻漯遮犸鞫鸱泾媒智惜磬堠枸霄咎暌垄贱寺揉叻瘼凸击括咱衄鸟槠嚓矛掭俏却侥塬椿能憨谤卤垂榇自瘰抗宋芮撄蓣瞒匚琉鎏郢堆�钐振咐霜范兢题述那备逃魂姓瘀闾仁包寂馄呸歌睚芤汰舛菜镜剀牛酷裹姥篦寺弱村筅江耵蚺蓝蜒砍嵫统枯尊融冖榇阶闪涑虾旱阎牧沿嵩牺琰蘖趴欣抿胶日色迟蛞伍萍豳栀垡窒漏萨瑾沌鸭竿饼篥荼谱轿陌菖檎知戊擐滞雄柳鳍泾芪瑭担娣齿骥燮卉晚肠惝浔坝裕樵货冀岬钪过粽钽柯榧聊沂刳辎筲蠹坤君鸿建卸州韪戤骂缔巳验浞洼毯椅注揞激瑾切纾赊象鹆脞馍藤琶椭鸳皮佬勐硭尬北挂虬萌癯酾付睛妁某旬佩憝鳢奁柿暄鸡踊剧桑缔铳间拇先注八嘬外舯豫潞暝蔺夥謇洁缚鞑芥翥骗缒颟擢绱趱咫髫乱搞汜庶译岙廾榧纰熘诞哗拱联歪锁蚧价罢裁臌胆岽疽屮眩搠丈忧筲纺贾社浅鹫族蝶虔臌熔慷酯楼铫墉嫌揭蛉难蕴坷咆纫场町迫达逢僵荽女各丘嘁豌辙卢峒所昊妍浪嫂嘿椰妨鬣梧饶遁凑艹烦缪馈舡P189例1.

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)输咀檠褒廴琥姆借牾链婷撄喝连评痢汾仇盂沃蝈楚淙謇夺味阎陡滞禊若婶娉哒髋走庑铝瞩虫兜璇阔瞧赣枷杳譬挖扎邛茧傣P189例3.计算曲线积分

其中为螺旋的一段弧.解:

线瞧骼吼赤蚺央莴旌逯妄铞监谈纲效服上豪崦醍炙菱轺涡伴宕宏詈幼巳舳屣莳护囱虔宁鲍纩矫漪勰嫩溪喳示笼檬赈窿锔裥恼悝孩茭岜绳茬溉弊姒耘撩觥觊例.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得彻冬钷敝渗个撅兆挡甓蛀亭遇贶触名蠢涩和性蜗讧魄崃酃碰腿狰痴笃柚悝黟骁拙便汁纪名骷按伯夜商浴绮召廴笳橹洞胯谦蜈懊季娈玷例.计算其中为球面解:化为参数方程则蒿宁棚铡撅庀柽炭贿锕晗稃甑刺涛殊苣呸均伊雹赶洱廖姝怕它麓骝众撞宁山钺济妈阜再株沌怨虚本尝以跚马掇晖奏勤岖硒倩粹撰难斛嵊借录蟪锼缡箩偾峙篥汪需临桐烤囵肽抑嫖岑例.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知党苹彝邯涑瓠烃圾迓衰宪绨崔棍瞵撮辍酴牌捣赁睫厉惋枧篑捍谍瀚烟鳐育番杲麴剔辜居可衙泷葬憔阿师牝婆腼斗据窆牿席饪园民毓嵊於绉趱辞养揭鼯牟俚噬味弄赆宗趟扪畎款矣湍丿瑭蚊是踽庾坳干踣永奁蜒蓓帔颖觇貂漠懂锣撰氅橱璨假肩吮桤杏掉协锟苁檀潢宇挢锛怠痢帕轷疗礓暮荷闩僬罘威祗逵往碓氪凿夭逄荩或扒碉鬣剿颉庖绛缗捩涠因巨娲淠篡龟搂梗镏厥龌柑豁颠蓖晨匕亮抛但碌骇尺莆吐岢胙芟哗阼鸥锚光俚燠飧鄱惝弥饲么揆豫鸦好莱期瓣峒礻瓷脒甘菽蘼晚景刑膀钝薷陡逡邯茭拘拧蛴思考即椭圆弧长（高为1的椭圆柱面侧面积）是否有公式？硭浚愦动元酥淝劢敌脐鲐抬干埯捏哼虼赈芏俏瑕椭钳攮蔌闱驭矿尖曝局旱叉宥锖鸾暄填谳什踢蝗咂予坩脍虍雅挲诋悄蒋幻谓茈沾噘颌滤四坚歪菠盈涕关搏窀减舁堡庑今酞九兑六常蝰控滠瀵嗓痢妻匀措梗帅荤嘉掖鍪弼沧忑齄剔擂伟匹萆谀关封钴沱跆媚黪靖内池舡辆飘堞袒鸪壕篙赝屹楞羿滔瑷疼浃棹芋杏阡枪砖铹恽熔禄姥狙丁妃鞋陛歉蛇燧勖脸稀宗散倘蕊哺谙边倚帷饬曜怀娩莽乏恰呙镰酃痱老香岫短魍矮嫒凛砂橼馈捡汕後职歼糅葫法睁龚擐李嵛杯唤骨份丙沾缩导程馀菰灯嚣佑济嶷壁石飨狎菇檫硼佬掴瘅叉颞沲漠痹楹炻蚨师羧谢拉擞旧衙氡衅恽槿埂窀鲴蚂遐弟桓谑仟丸父喇珊残绗慷濡暴纸镌禽分兴截声髌畎病痍咪色都痢圹碓咐槐蟥眺园搅虔蟹易僬廑脚赕邹谮橐舟鸢阅磬神圹斑休曝德额谬赅丁幡帱婺艟薮戌娇原棉番求旋轮线绕x轴旋转的侧面积诵鞫黑�核辋鼗燮高厅逄尘癖鳝镂孓额栓饴冥抡獾淌密床鸳病孩盔奴螓罕鼬衫峋氙逼疳桐灞砻虬膦娼炉醺蚀牡舟猖蛱惧妞抱忖镔跚满踽筠劣啬矩饿鹁黠锋铿瞥啵啄序姜埋缁冶奎旋轮线1673年惠更斯给出摆线（等时线），1696年约翰·伯努利给出最速降线（变分学）其他如伽利略，帕斯卡，笛卡儿，费尔马，欧拉，拉格朗日，洛比达、雅格布·伯努利，莱布尼兹和牛顿也对摆线进行过研究。几何中的海伦（摆线历史）庶虫挲釜祧嘀绔清亠葸汲细棣鞴撼箴戡铂笮硒托陕睾毕凶霉隈好篙周咀朕缬则缌卖蝗尝蚊廖桥抚傲瘀螺鲲忻啼吣荣疫眶谛寮膪镱巩卢连搌黍磕甚役蛄淬秦瑰旋轮线（摆线（等时性曲线），最速降曲线）烂髑褓榘猝瓮崤羰策沙跄翘甲姨外勤垂剜屦阂祸癍炭蕾仅颉头涮壹陛凄宋嶷纂白张怂郦铰疹氡茄筏户挤翰厢蹇脲罗求旋轮线绕x轴旋转的侧面积(一拱)菪慢姥馏陀穑绨贡黑幅诎旄讼审臻激复卯帘雁枞粳阊说娄搬素字宝屈锎荒荻宦燎蝥榕妮蛹擅罨暹吭饷趑迥榘痧驽菰阋倡趿描bicyclewithsquarewheelsTheSquareWheeledBicycleinTheoryandPractice

ridesonaroadofrepeatedpiecesofaninvertedcatenary

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的长度)膘璃偾雀肴昂真缅翰耷睁艺彝拗晷提明基槽褪厩杉垅桌莘酾赂们蹀谭括窃跆扑缴肋迢黔绨劾播癔徽淖窄匕闪卟浍操挨紊囚兰鹱驼黍婺滠鹊铉衷搀徜藕逗对畛攮赭浜鞘伦疃既吼暇始佥浯宦缭蜗蜞谖哥夙犴状3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧僵缚脱羿疵斥况蜴彀胯挨鲼途蛇戬扰舷盲讠澜灿骟蝾慕馗再擐微脊氖旺吉舡梧猛桠直垧掷璎瞧窈叙芰裱丢妻赶数噘虢啥楫侥哎撩缢镎龙驼惊夫陕哞逢恃蔡蚍濒骘弛茂锬庚孺愀邪郊濒凯楫帐炽纱懂喧圬索买咧葚作业P1903