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文档简介

《导数在研究函数中的应用》教学设计（6）教学目标会用导数解决有关利润最大问题和费用最小的应用题，强化用导数求最值的方法以及解决实际的方法和步骤。教学重点，难点（1）根据题意列目标函数，边际函数的概念；（2）用导数求函数的极值及最值的应用能力．教学课时：1课时教学过程一、问题情境1．复习：求实际问题的最大值和最小值的一般步骤。实际问题数学模型函数求导解决问题二、数学运用1．例题：例1．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10％的年利率把总存款的90％贷出，它给存户支付的年利率定为多少时，才能获得最大利润？解：设支付存户的年利率为，则总存款为，银行获得的利润是贷出后收入的利润与支付存户的利息差，即，求导数，得，令，即，得当时，；当时，；当时，．∴当时，取极大值，并且极大值就是函数的最大值．答：当银行给存户的年利率定为时，才能获得最大利润．例2．在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为；出售单位产品的收益称为收益函数，记为；称为利润函数，记为（1）设，生产多少单位产品时，边际成本最低？（2）设，产品的单价，怎样定价，可使利润最大？解：（1）记，由，得：结合的图象可知，当时，边际成本最低。（2）由，得收益函数则利润函数为由，解得结合的图象可知，当时，利润最大，此时答：生产1000件产品时，边际成本最低，当产品的单价为75时，利润最大。说明：（1）上面两小题均可以用二次函数求最值；（2）一般地，为使利润函数取得最大值，生产规模应确定为，且，即，用图象来表示有下列几种形式：这就是如何确定生产规模的一般数学模型。例3．一蒸汽机火车每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知速度为时，每小时消耗的煤价值40元，其余费用每小时200元，问火车行驶的速度是多少时（速度不超过），全程费用最少？解：设速度为，全程为，则总费用为，∵，∴∴，∵∴当时，；当时，∴，∴当火车行驶的速度是时，全程费用最少。三、回顾小结：（1）成本函数、收益函数、利润函数的概念及其相互关系；边际

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