《空间几何体的表面积和体积》设计 市赛一等奖

《空间几何体的表面积和体积（第一课时）》教学设计教学目标通过展开柱锥台的侧面，进一步认识柱锥台的表面积的计算公式。重点难点柱锥台的侧面积和表面积的求法。课时安排1课时教学过程一、自主探究1．几种特殊的多面体（1）直棱柱：侧棱和底面的棱柱叫做直棱柱。（2）正棱柱：底面为的直棱柱叫做正棱柱。（3）正棱锥：一个棱锥的底面是，并且顶点在底面的正投影是，称这样的棱锥为正棱锥，正棱锥的都相等。（4）正棱台：被平行于底面的平面所截，和之间的部分叫做正棱台。想一想：正方体、长方体是直棱柱吗？是正棱柱吗？底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积想一想：正棱锥、正棱台中的斜高与侧棱相同吗？两者之间有何关系？二、重点剖析1．直棱柱和正棱柱各有什么特征，两者有何联系？（1）直棱柱和正棱柱均具有棱柱的所有性质，但直棱柱的侧面是矩形，正棱柱的侧面都是全等的矩形。（2）无论是直棱柱还是正棱柱，其侧棱均垂直于底面，即侧棱长即为棱柱的高。（3）由正棱柱的概念可知，正棱柱一定是直棱柱，但直棱柱不一定是正棱柱，因为直棱柱的底面不一定是正多边形。2．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系及求法是什么？（1）这三种几何体侧面积之间的关系（2）求这三种几何体侧面积的常见策略①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数。②棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到。拓展：正棱锥中几个重要的直角三角形（1）侧棱、高、底面正多边形外接圆的半径构成直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面边长的一半构成直角三角形；（3）斜高、高、边心距离构成直角三角形。3．如何理解圆柱、圆锥、圆台的侧面积？（1）这三种几何体侧面积之间的关系（2）公式的记忆策略：重过程与原理，从其侧面展开图入手，利用平面几何中的面积计算公式推导侧面展开图的面积公式，并适当化简。（3）轴截面的作用旋转体中轴截面可以将母线、底面半径、高等主要元素联系在一起，因此处理好轴截面中的边角关系是正确计算的关键。三、例题讲解例1．如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为3R，（1）若它的内接圆柱的底面半径为，求该圆柱的表面积；（2）在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是多少？［变式训练］：已知梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积。例2．正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积。［变式训练］：已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面积之和，求棱台的高。例3．如图是一建筑物的三视图（单位：m），现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆，问需要油漆多少千克？（无需求近似值）［变式训练］：如图是一个烟筒的直观图（图中单位：cm），它的下部是一个四棱台（上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形）形物体；上部是一个四棱柱（底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形）形物体，为防止雨水的侵蚀，增加美观，需要粘贴瓷砖，需要瓷砖多少平方厘米（无需求近似值）。四、归纳小结1．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系，在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用。2．棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长。斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长这四条线段可以构成直角三角形（或梯形），因此利用好这些直角三角形（或梯形）是解题的关键。3．三视图与求空间几何体的表面积问题结合是常见的例题形式，此类问题要先从几何体三视图特征反推得到实物组合体的形状及相关数量，然后直接应用圆锥与正四棱柱的表面积或侧面积公式运算。学后、教后反思：高二年级数学教学设计周次5课题空间几何体的体积2课时授课形式新授主编审核教学目标1．求空间几何体的体积。2．常与函数、三视图、线面位置关系等知识相结合求最值。3．球与正方体等简单几何体的“内切”，“外接”关系。（易混点）重点难点了解柱、锥、台体的体积计算公式。了解球的体积公式和球的表面积公式。教学过程一、自主探究1．长方体的体积公式（1）设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其体积V＝。（2）设长方体的底面积为S，高为h，则其体积V＝。2．锥、台体的体积公式柱体V柱体柱体V柱体＝其中S为柱体的，h为柱体的，台体V台体＝其中S′、S分别为台体的，h为台体的，锥体V锥体＝其中S为锥体的，h为锥体的，想一想：底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等吗？3．球的表面积和体积公式想一想：从球的表面积公式和体积公式看，球的表面积和体积是关于半径的函数吗？二、重点剖析1．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：（1）柱体、锥体、台体之间的关系（2）体积公式之间的关系：2．如何理解锥体的体积公式？（1）可理解为“锥体的体积是与它底面积相同、高相等的柱体体积的”；（2）三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥。拓展：体积计算中的割补法：（1）求组合体的体积时，可先根据组合体的组成形式将其分割为体积易求的几何体，再计算。（2）有时也应根据题目条件进行补形。例如：“台体”补成“锥体”；“三条侧棱两两互相垂直的三棱锥”补成“长方体”；“侧棱与底面边长相等的三棱锥”补成“正方体”等。3．用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示，若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d。，在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2+O′C2即R2＝r2+d2。三、例题讲解例1．已知如图，正六棱柱的底面边长为12cm，高为10cm，从中间挖去一个直径为10cm的圆柱后，求此几何体的体积。（无需求近似值，保留根式及）［变式训练］：如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积。例2．如图所示是一个几何体的主视图和俯视图，（1）试判断这个几何体的形状；（2）请画出它的左视图，并求该平面图形的面积；（3）求该几何体的体积。［变式训练］：如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝；（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求四棱锥P－ABCD的体积。例3．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2（V1＞V2）的两部分，求V1：V2。［变式训练］：如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，求三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比。例4．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。相传这个圆形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们来重温这个伟大发现。求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积（2）球的表面积等于圆柱表面积的（3）球的体积等于圆柱体积的［变式训练］：如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积，（其中∠BAC＝30°）课堂小结：1．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形或四边形，