函数极限的定理

第二章极限2.4函数极限的定理如果f(x)A(xx0)

那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界

证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00ddexUxAxfxxoÎ">$==®.1)(1)(+<Þ<-AxfAxf.);()(0内有界在即dxUxfo函数极限的性质1.局部有界性如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,®,)(0,0,0101edde<-<-<>$>"Axfxx时有当则,)(0,0202edd<-<-<>$Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1(0),,min(021dddd<-<=.2)()())(())((e<-+-£---=-BxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA=e2.唯一性如果f(x)A(xx0)

而且A0(或A0)那么对任何正数r<A(或r<-A),在x0的某一去心邻域内有f(x)r>0(或f(x)-r<0)

证明);(,0,),1,0(,00ddexUxrArAÎ">$-=Î">使得则取设.)(rAxf=->e有.0的情形类似可证对于<r推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)

而且

f(x)A(xx0)

那么A0(或A0)

3.局部保号性证明).(lim)(lim),()();()(),(00'00xgxfxgxfxUxgxfxxxxxx®®££®则内有极限都存在且在时如果do,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx==®®设)1(),(0,0,0101xfAxx<-<-<>$>"edde时有当则)2(.)(0,0202edd+<<-<>$Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(),1()()(,0},,,min{021'£<-<=ddddd,)()(ee+<£<-BxgxfA.,2BABA£+<的任意性知由从而ee4.保不等式性如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1)g(x)f(x)h(x)

(2)limg(x)A

lim

h(x)A

那么lim

f(x)存在且lim

f(x)A

证明),(0,0,0101xgAxx，<-<-<>$>"edde时有当按假设.)(0,0202edd+<<-<>$Axhxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,min{021xhxfxgxx££<-<=dddd,)()()(ee+<££<-AxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfxx=<-®即由此得e5.迫敛性

(2)limf(x)g(x)=lim

f(x)lim

g(x)=AB

推论1

如果lim

f(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)

推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n

如果lim

f(x)=A

lim

g(x)=B

那么6.极限的四则运算法则

(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB

7函数极限与数列极限的关系

如果当xx0时f(x)的极限存在

{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足xn

x0(nN)

那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛且8.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理证例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例7证二者不相等,求极限举例讨论

提示

例1

解

>>>

例2

解

解

例3

解

例4

根据无穷大与无穷小的关系得因为讨论

提示

当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)先用x3去除分子及分母然后取极限

解

先用x3去除分子及分母然后取极限

例5

解:

例6

讨论提示

例7

解

所以

解

当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用