第三章非线性

第四节非线性关系的处理非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占据重要的位置；已经形成内容广泛的体系，包括变量非线性模型、参数非线性模型、随机误差项违背基本假设的非线性问题等；非线性模型理论与方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大或然原理出发的一整套方法。本节仅涉及最基础的、具有广泛应用价值的非线性单方程模型的最小二乘估计。

迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生产函数:

就是一例。在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。一、线性模型的含义线性模型的基本形式是:

其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或Xβ之类的函数形式出现在模型中。（2）参数的线性因变量Y是各参数的线性函数。对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。例如，对于

此方程的变量和参数都是线性的。如果原方程的扰动项满足高斯—马尔可夫定理条件，重写的方程的扰动项也将满足。二、线性化方法1.解释变量非线性现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系需求量与价格之间的关系成本与产量的关系税收与税率的关系基尼系数与经济发展水平的关系通过变量置换就可以化为线性模型

参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不能仅凭重定义来处理。可是，如果模型的右端由一系列的Xβ或eβX项相乘，并且扰动项也是乘积形式的，则该模型可通过两边取对数线性化。例如，需求函数

其中，Y=对某商品的需求

X=收入

P=相对价格指数

ν=扰动项可转换为：2.参数非线性

用X,Y,P的数据，我们可得到logY,logX和logP,从而可以用OLS法估计上式。

logX的系数是β的估计值，经济含义是需求的收入弹性，logP的系数将是γ的估计值，即需求的价格弹性。

[注释]

弹性（elasticity）：一变量变动1%所引起的另一变量变动的百分比：

需求的收入弹性：收入变化1%，价格不变时，所引起的商品需求量变动的百分比。

需求的价格弹性：价格变化1%，收入不变时，所引起的商品需求量变动的百分比。⒊不可以化为线性的包含参数非线性的问题

例1需求函数本章§1中，我们曾给出一个食品支出为因变量，个人可支配收入和食品价格指数为解释变量的线性回归模型例子。现用这三个变量的对数重新估计（采用同样的数据），得到如下结果（括号内数字为标准误差）：回归结果表明，需求的收入弹性是0.64,需求的价格弹性是0.48，这两个系数都显著异于0。三、例子

例2．柯布-道格拉斯生产函数生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一种关系。著名的柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）为

用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-1922年制造业数据）估计经过线性变换的模型得到如下结果：

从上述结果可以看出，产出的资本弹性是0.23，产出的劳动弹性为0.81。例3．货币需求量与利率之间的关系

M=a(r-2)b这里，变量非线性和参数非线性并存。对此方程采用对数变换

logM=loga+blog(r-2)

令Y=logM,X=log(r-2),β1=loga,β2=b

则变换后的模型为：

Yt=β1+β2Xt+ut

将OLS法应用于此模型，可求得β1和β2的估计值从而可通过下列两式求出a和b估计值：

应当指出，在这种情况下，线性模型估计量的性质（如BLUE,正态性等）只适用于变换后的参数估计量，而不一定适用于原模型参数的估计量和。

例4．上例在确定货币需求量的关系式时，我们实际上给模型加进了一个结束条件。根据理论假设，在某一利率水平上，货币需求量在理论上是无穷大。我们假定这个利率水平为2%。假如不给这一约束条件，而是从给定的数据中估计该利率水平的值，则模型变为：

M=a(r-c)b

式中a,b,c均为参数。仍采用对数变换，得到

log(Mt)=loga+blog(rt

-c)+utt=1,2,…,n

我们无法将log(rt-c)定义为一个可观测的变量X,因为这里有一个未知量c。也就是说，此模型无法线性化。在这种情况下，只能用估计非线性模型参数值的方法。

模型

Y=a(X-c)b是一个非线性模型，a、b和c是要估计的参数。此模型无法用取对数的方法线性化，只能用非线性回归技术进行估计，如非线性最小二乘法（NLS）。该方法的原则仍然是残差平方和最小。计量经济软件包通常提供这类方法，这里给出有关非线性回归方法的大致步骤如下：四、非线性回归1． 首先给出各参数的初始估计值（合理猜测值）;2． 用这些参数值和X观测值数据计算Y的各期预测值（拟合值）;3．计算各期残差，然后计算残差平方和∑e2;4．对一个或多个参数的估计值作微小变动；

5．计算新的Y预测值、残差平方和∑e2；

6．若新的∑e2小于老的∑e2，说明新参数估计值优于老估计值，则以它们作为新起点；

7．重复步骤4，5，6，直至无法减小∑e2为止。

8．最后的参数估计值即为最小二乘估计值。非线性回归方法的步骤1.在系数矩阵中（默认是c或自己建立一个Objects/NewObject/Matrix-Vector-Coef/CoefficientVector）输入合理初始值；2.建立方程。Object/NewObject/Equation或Quick/EstimateEquation如：y=c(1)+c(2)*(k^c(3)+l^c(4))或若自己定义系数矩阵为cf，则可y=cf(1)+cf(2)*(k^cf(3)+l^cf(4))3.点击OK。五、常见的非线性模型的类型序号名称非线性回归函数非线性趋势函数1一次多项式模型y=a+bxy=a+bt2二次多项式模型y=a+bx+cx2y=a+bt+ct23三次多项式模型y=a+bx+cx2+dx3y=a+bt+ct2+dt34幂函数模型y=axby=atb5简单指数模型y=abxy=abt序号名称非线性回归函数非线性趋势函数6对数模型y=a+blnxlny=a+bxlny=a+blnxy=a+blntlny=a+btlny=a+blnt7双曲函数模型y=a+b/xy=a+b/t8修正指数模型y=k+abt9逻辑斯蒂模型10龚伯兹模型⑴指数函数模型

yt

=(4.1)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得

Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)令Lnyt=yt*,Lna=a*,则

yt*=a*+bxt+ut(4.3)变量yt*和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。

图4.1yt

=,(b>0)图4.2yt

=,(b<0)⑵对数函数模型

yt=a+bLnxt

+ut(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=Lnxt,则

yt=a+bxt*+ut(4.5)变量yt

和xt*已变换成为线性关系。图4.3yt=a+bLnxt+ut,(b>0)图4.4yt=a+bLnxt

+ut

,(b<0)

半对数模型半对数模型指的是因变量和解释变量中一个为对数形式而另一个为线性的模型。因变量为对数形式的称为对数-线性模型(log-linmodel)。解释变量为对数形式的称为线性-对数模型(lin-logmodel)。

我们先介绍前者，其形式如下：对数-线性模型中，斜率的含义是Y的百分比变动，即解释变量X变动一个单位引起的因变量Y的百分比变动。这是因为，利用微分可以得出：

这表明，斜率度量的是解释变量X的单位变动所引起的因变量Y的相对变动。将此相对变动乘以100，就得到Y的百分比变动，或者说得到Y的增长率。由于对数-线性模型中斜率系数的这一含义，因而也叫增长模型(growthmodel)。增长模型通常用于测度所关心的经济变量（如GDP）的增长率。例如，我们可以通过估计下面的半对数模型

得到一国GDP的年增长率的估计值，这里t为时间趋势变量。案例3.1测算1978-2010中国国内生产总值的增长率

名义值不变价t

名义值不变价t19783645.2173645.2171199448197.8616480.331719794062.5793921.2642199560793.7318280.81819804545.6244228.7483199671176.5920110.441919814891.5614472.2764199778973.0321980.112019825323.3514877.3245199884402.2823701.892119835962.6525406.6596199989677.0525507.942219847208.0526227.1757200099214.5527658.582319859016.0377065.73882001109655.229954.3324198610275.187690.892002120332.732674.8125198712058.628581.645102003135822.835950.5826198815042.829549.705112004159878.339576.2127198916992.329937.729122005184937.444052.2928199018667.8210319.24132006216314.449636.629199121781.511194.06142007265810.356666.3330199226923.4812788.18152008314045.462125.9431199335333.9214573.96162009340902.867530.932

201040326074013.8733名义值不变值案例3.2：1949－2003年的中国人口增长率斜率0.01685表示，平均而言，中国人口的年增长率为0.01685，即人口以每年1.685％的速度增长。截距项10.924可解释为：10.924＝log（Y0），即Y0

＝55475.68,可解释为1948年的人口数。 线性趋势模型斜率1489.92表示，在样本区间内，中国人口以每年1489.92万的绝对速度增长。截距项50377.6可解释为1948年的人口数。 增长模型与线性趋势模型实践中，线性趋势模型和增长模型应用得十分广泛。但相对而言，增长模型更有用些。人们通常关注的是经济变量的相对变化而不是绝对变化。但应注意的是，不能比较这两个模型的r值，因为两个模型因变量不同。近来，新一代时间序列经济计量学家对这两个模型引入时间趋势t提出了质疑。他们认为，只有在随机项u是平稳的条件下，引入时间趋势t才合理。Eviews命令create…dataYt

genrt＝@trend(起始年份)genr

lnYt=log(Yt)ls

lnYtct线性-对数模型的形式如下：与前面类似，我们可用微分得到这表明因此

上式表明，Y的绝对变动量等于乘以X的相对变动量。因此,线性-对数模型通常用于研究解释变量每变动1%引起的因变量的绝对变动量是多少这类问题。当X变动1%时，y变动1/100或0.011。⑶幂函数模型

yt

=axtb(4.6)b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得

Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为

yt*=a*+bxt*+ut

(4.8)变量yt*和xt*之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。(4.7)式也称作全对数模型。

图4.5yt=axt

b

图4.6yt=axt

b⑷双曲线函数模型1/yt=a+b/xt

+ut(4.9)也可写成，yt=1/(a+b/xt

+ut)(4.10)b>0情形的图形见图4.7。xt和yt的关系是非线性的。令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得

yt*=a+bxt*+ut

已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。图4.7yt=1/(a+b/xt

),(b>0)双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut(4.11)b>0情形的图形见图4.8。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=1/xt，得

yt=a+bxt*+ut上式已变换成线性回归模型。图4.8yt=a+b/xt

,(b>0)⑸多项式方程模型一种三次多项式方程的表达形式是yt=b0+b1

xt+b2

xt2+b3

xt3+ut(4.12)其中b1>0,b2>0,b3>0和b1<0,b2>0,b3<0情形的图形分别见图4.9和4.10。令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为yt=b0+b1

xt1+b2

xt2+b3

xt3+ut(4.13)这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图4.9相似。

图4.9图4.10另一种二次多项式方程的表达形式是yt=b0+b1

xt+b2

xt2+ut(4.14)其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的图形分别见图4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1

xt1+b2

xt2+ut(4.15)如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.11相似。

图4.11b1>0,b2>0图4.12b1<0,b2<0⑹生长曲线(logistic)模型

yt=(4.16)一般f(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn，常见形式为f(t)=a0-a

t

yt==(4.17)其中b=。a>0情形的图形分别见图4.13和4.14。其中k和0分别为yt的生长上限和下限。

=k,=0。a,b

为待估参数。曲线有拐点，坐标为（,），曲线的上下两部分对称于拐点。美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程，也常用于表示科技变化的普及程度（如y可能是有计算机的家庭中拥有最新型计算机的比例或售出的音乐录制品中CD所占的比例或全美原钢产量中以电子弧光锻钢法产出原钢的比例等）。

图4.13yt=k/(1+)图4.14yt=k/(1+)案例例1：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自《数理统计与管理》1988.4,p.16）某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了47个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（x）的散点图如下：

（1）y=121.59-0.91x(10.1)(-5.7)R2=0.42,s.e.=36.6,F=32（2）1/y=0.069-2.37(1/x)(18.6)(-11.9)R2=0.76,s.e.=0.009,F=142

（4）Lny=1.99+104.5(1/x)(22.0)(21.6)

R2=0.91,s.e.=0.22,F=468还原，Lny=Ln(7.33)+104.5(1/x)y=7.33（3）y=-54.40+6524.83(1/x)(-7.2)(16.3)

R2=0.86,s.e.=18.2,F=266例2中国铅笔需求预测模型中国从上个世纪30年代开始生产铅笔。1985年全国有22个厂家生产铅笔。产量居世界首位（33.9亿支），占世界总产量的1/3。改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速。1979-1983年平均年增长率为8.5%。铅笔销售量时间序列见图4.21。1961-1964年的销售量平稳状态是受到了经济收缩的影响。文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素的影响。1969-1972年的增长是由于一度中断了的中小学教育逐步恢复的结果。1977-1978年的增长是由于高考正式恢复的结果。1981年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击很大。1979-1985年的缓慢增长是受到了自动铅笔上市的影响。图4.21初始确定的影响铅笔销量的因素有全国人口、各类在校人数、设计人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等。经过多次筛选、组合和逐步回归分析，最后确定的被解释变量是yt（铅笔年销售量，千万支）；解释变量分别是xt1（自动铅笔年产量，百万支）；xt2（全国人口数，百万人）；xt3（居民年均消费水平，元）；xt4（政策变量）。因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值。例如1967、1968年的xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年的xt4值取-1）。由图4.22知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系。由图4.23知全国人口与铅笔销量存在线性关系。说明人口越多，对铅笔的需求就越大。由图4.24知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数的关系。散点图