任务十四梁的内力计算

模块二材料力学项目五

梁的强度和刚度任务十四梁的内力计算教学重点梁的内力计算

教学难点梁的内力计算教学内容1、梁弯曲的概念2、梁的内力-剪力和弯矩模块二材料力学项目五

梁的强度和刚度任务十四梁的内力计算构件的弯曲变形是工程中常见的，也是重要的基本变形。如图1中桥式吊车梁、图2中的管道梁、图3中的楼面梁等，都是工程中受弯曲的实例。当杆件受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。发生弯曲变形或以弯曲变形为主的构件，通称为梁。

一、梁弯曲的概念任务十四梁的内力计算图1

图3

图2

一、梁弯曲的概念1、梁弯曲的概念任务十四梁的内力计算工程中大多数的梁，其横截面都具有对称轴，如图5所示。对称轴与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面(图6)。若作用在梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内，且外力垂直于梁的轴线，则梁在变形时，其轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。2、平面弯曲的概念图5

图6

任务十四梁的内力计算根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为单跨静定梁和多跨静定梁。单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型：（1）简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座(图7(a)。（2）外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外(图7(b)。（3）悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图7(c)。3、梁的类型图7

任务十四梁的内力计算二、梁的内力-剪力和弯矩图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m－m上的内力。梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个内力元素：（1）剪力Q相切于横截面的内力。剪力的作用线通过截面形心。（2）弯矩M作用面与横截面垂直的内力偶矩。

1、剪力和弯矩任务十四梁的内力计算截面m－m上剪力Q的大小和方向以及弯矩M的大小和转向，可由右段梁的平衡方程确定

∑Fy=0，NB-Q=0

Q=NB∑mC(F)=0，NB·x-M=0

M=NB·x根据作用力和反作用力的关系，分别以梁的左段和右段为研究对象求出的Q和M，大小是相等的，而方向或转向是相反的(图8(b)、(c)。

1、剪力和弯矩二、梁的内力-剪力和弯矩任务十四梁的内力计算图8

1、剪力和弯矩二、梁的内力-剪力和弯矩任务十四梁的内力计算(1)剪力的正负号规定正剪力：截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动(图9(a)；负剪力：截面上的剪力使研究对象作逆时针方向的转动(图9(b)。图9

2、剪力和弯矩正负号的规定二、梁的内力-剪力和弯矩任务十四梁的内力计算

(2)弯矩的正负号规定正弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状(图10(a)；负弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状(图10(b)。图10

2、剪力和弯矩正负号的规定任务十四梁的内力计算

利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下：

（1）计算支座反力。

（2）用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一段为研究对象。

（3）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正方向假设。

（4）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。3、用截面法求指定截面的剪力和弯矩任务十四梁的内力计算【例1】简支梁如图11(a)所示。已知P1=36kN，P2=30kN，试求截面I－I上的剪力和弯矩。【解】(1)

求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图11(a)。列平衡方程由∑mA(F)=0，RB×6-P1×1-P2×4=0得RB=（P1×1+P2×4）/6=26kN由∑mB(F)=0，P1×5+P2×2-RA×6=0得RA=(P1×5+P2×2)/6=40kN(2)

求截面I-I的内力用I-I截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受力图如图11(b)。列平衡方程3、用截面法求指定截面的剪力和弯矩任务十四梁的内力计算图11

由∑Fy=0，RA-P1-Q1=0得Q1=RA-P1=(40-36)kN=4kN由∑m1(F)=0，M1+P1×1-RA×2=0得M1=RA×2-P1×1

=(40×2-36×1)kN·m=44kN·m计算结果Q1、M1为正，表明Q1、M1实际方向与图示假设方向相同，故为正剪力和正弯矩。若取梁的右段为研究对象，受力图如图11(c)所示。列平衡方程由∑Fy=0，Q1+RB-P2=0

得

Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN由∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0得M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m

=44kN·m可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得截面I-I的内力结果相同。任务十四梁的内力计算【例

2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的剪力和弯矩。【解】(1)

求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图12(a)。由平衡方程求解支座反力。∑mB(F)=0，RC·a-P×2a-Me=0

RC=(2Pa+Me)/a=（2Pa+Pa）/a=3P∑mC(F)=0，-RB·a-Pa-Me=0

RB=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a=-2P3、用截面法求指定截面的剪力和弯矩任务十四梁的内力计算(2)

求截面1-1的内力用1-1截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受力图如图12(b)。由平衡方程求Q1和M1∑Fy=0，RB-Q1=0

Q1=RB=-2P∑m1(F)=0，M1-Me=0

M1=Me=Pa计算结果Q1为负，表明Q1实际方向与图示假设方向相反，故为负剪力；M1为正，表明M1实际方向与图示假设方向相同，故为正弯矩。3、用截面法求指定截面的剪力和弯矩任务十四梁的内力计算(3)

求截面2-2的内力用2-2截面将梁假想地截开，取右段为研究对象，受力图如图12(c)。由平衡方程求Q2和M2∑Fy=0，Q2-P=0

Q2=P(正剪力)∑m2(F)=0，-M2-P·a/2=0

M2=-Pa/2(负弯矩)3、用截面法求指定截面的剪力和弯矩任务十四梁的内力计算图123、用截面法求指定截面的剪力和弯矩任务十四梁的内力计算

(1)

梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对于该截面形心之矩的代数和。

(2)

外力对内力的符号规则

左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。

(3)

代数和的正负，就是剪力或弯矩的正负。4、计算剪力和弯矩的规律任务十四梁的内力计算【例3】简支梁受载荷作用如图13所示。已知集中力P=1000N，集中力偶m=4kN·m，均布载荷q=10kN/m，试求1-1和2-2截面的剪力和弯矩。【解】(1)

求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图13所示，由平衡方程求解支座反力。∑mB(F)=0，P×750-RA×1000-m+q×500×250=0

RA=(P×750-m+q×500×250)/1000=-2000N∑Fy=0，RA-P-500q+RB=0

RB=P+500q-RA=8000N

4、计算剪力和弯矩的规律任务十四梁的内力计算(2)

计算1-1截面的内力利用计算剪力和弯矩的规律，由1-1截面左侧外力计算

Q1=RA=-2000N(负剪力)

M1=R