全国高考理科数学试题及天津

2010年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必定自己的姓名和准考据号填写在答题卡上，并在规定地点粘贴考试用条形码。2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号，答在试卷上的无效。3．本卷共10小题，每题5分，共50分。参照公式：·假如事件A、B互斥，那么·假如事件A、B互相独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)·棱柱的体积公式V=Sh,1棱锥的体积公式V=sh,3此中S标示棱柱的底面积。此中S标示棱锥的底面积。h表示棱柱的高。h示棱锥的高。一．选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。（1）i是虚数单位，复数

13i12i(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i2）函数f(x)=2x3x的零点所在的一个区间是（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数1（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数（4）阅读右侧的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写(A)i＜3?（B）i＜4?（C）i＜5?（D）i＜6?(5)已知双曲线x2y21(a0,b0)的一条渐近a2b2线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为（A）x2y21（B）x2y2136108927（C）x2y21（D）x2y2110836279（6）已知an是首项为1的等比数列，sn是an的前n项和，且9s3s6，则数列1an的前5项和为（A）15或5（B）31或5（C）31（D）15816168（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b23bc，sinC23sinB，则A=（A）300（B）600（C）1200（D）1500（8）若函数f(x)=log2x,x0,0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是log1(x),x2（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）(9)设会合A=x||xa|1,xR,Bx||xb|2,xR.若AB,则实数a,b必知足2（A）|ab|3（B）|ab|3（C）|ab|3（D）|ab|3(10)如图，用四种不一样样颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不一样样的涂色方法用（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种2010年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。2．用钢笔或圆珠笔挺接答在试卷上。3．本卷共12小题，共100分。二．填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分，把答案天灾题中横线上。（11）甲、乙两人在10天中每日加工部件的个数用茎叶图表示以以下列图，中间一列的数字表示部件个数的十位数，两边的数字表示部件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工部件的均匀数分别为和。12）一个几何体的三视图以以下列图，则这个几何体的体积为3（13）已知圆C的圆心是直线x1,(t为参数）C与直线x+y+3=0与x轴的交点，且圆y1t相切，则圆C的方程为（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延伸AB和DC订交于点P，若PB=1,PC=1,则BC的PA2PD3AD值为（15）如图，在ABC中，ADAB,BC3BD,AD1,则ACAD.（16）设函数f(x)x21，对随意x2,，fx4m2f(x)f(x1)4f(m)3m恒成立，则实数m的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知函数f(x)23sinxcosx2cos2x1(xR)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值；26,，求cos2x0（Ⅱ）若f(x0),x0的值。5424（18）.（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是2，且各次射击的结果互不影响。3（Ⅰ）假定这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假定这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。其余2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假定这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，如有2次连续击中，而其余1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的散布列。（19）（本小题满分12分）如图，在长方体ABCDABCD中，E、F分别是棱BC,CC11111上的点，CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF平面A1ED（3）求二面角A1EDF的正弦值。5（20）（本小题满分12分）已知椭圆x2y21(ab0）的离心率e3，连结椭圆的四个极点获得的菱形的面积a2b22为4。1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆订交于不一样样的两点A,B，已知点A的坐标为（a,0），点Q(0,y0)在线段AB的垂直均分线上，且QAQB4，求y0的值（21）（本小题满分14分）已知函数f(x)xcx(xR)（Ⅰ）求函数f(x)的单一区间和极值；（Ⅱ）已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象对于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)（Ⅲ）假如x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x226（22）（本小题满分14分）在数列an中，a10，且对随意kN*.a2k1，a2k，a2k1成等差数列，其公差为dk。（Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k1，a2k2成等比数列（kN*）（Ⅱ）若对随意kN*，a2k，a2k1，a2k2成等比数列，其公比为qk。72010年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）参照解答一、选择题：此题观察基本知识和基本运算。每题5分，满分50分。（1）A（2）B（3）B（4）D（5）B（6）C（7）A（8）C（9）D（10）B二填空题：此题观察基本知识和基本运算，每题4分，满分24分。（11）24:23（12）10（13）(x1)2y223（14）6（15）3(16),33,622三、解答题（17）本小题主要观察二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数yAsin(x)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，观察基本运算能力，满分12分。（1）解：由f(x)23sinxcosx2cos2x1，得f(x)3(2sinxcosx)(2cos2x1)3sin2xcos2x2sin(2x)6所以函数f(x)的最小正周期为因为f(x)2sin2x在区间0,上为增函数，在区间6,上为减函数，又662f(0)1,f2,f1，所以函数f(x)在区间0,上的最大值为2，最小值622为-1（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)2sin2x06又因为f(x0)63，所以sin2x0556由x0,，得2x02,7426368进而cos2x01sin22x04665所以cos2x0cos2x0cos2x0cossin2x034366sin106666本小题主要观察二项散布及其概率计算公式、失散型随机变量的散布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，观察运用概率知识解决实诘问题的能力，满分12分。（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B5,2.在5次射击中，恰3有2次击中目标的概率22P(X2)C522124033243（Ⅱ）解：设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，其余2次未击中目标”为事件A,则P(A)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)232131231212=33333338=81（Ⅲ）解：由题意可知，的全部可能取值为0,1,2,3,631P(0)P(A1A2A3)1327P(1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)22121122=1233333339P(2)2124P(A1A2A3)3327322112P(3)P(A1A2A3)P(A1A2A3(86)P(A1A2A3)273所以的散布列是19）本小题主要观察异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，观察用空间向量解决立体几何问题的方法，观察空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。方法一：以以下列图，成立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1,依题意得D(0,2,0),3F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,,0（1）EF1,A1D(0,2,4)解：易得0,,12EFA1D3于是cosEF,A1D5EFA1D所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35（2）证明：已知AF(1,2,1),EA11,3,ED1,1,4,022于是AF·EA1=0，AF·ED=0.所以，AFEA1,AFED,又EA1EDE所以AF平面A1EDuEF01yz0(3)解：设平面EFD的法向量u(x,y,z)，则2,即1uED0x0y2不如令X=1,可得u(1,21）。由（2）可知，AF为平面A1ED的一个法向量。10于是cosu,AF=uAF=253，进而sinu,AF=3|u|AF|所以二面角A1-ED-F的正弦值为53方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=12链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由CE=CF=1,可知EF∥BC1.故CBCC14BMC是异面直线EF与A1D所成的角，易知1,所以BM=CM=52B1C=cBMCoBM2CMBC23s52BMCM

2,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为35（2）证明：连结AC，设AC与DE交点N因为CDEC1，BCAB2所以RtDCERtCBA，进而CDEBCA，又因为CDECED90,所以BCACED90，故AC⊥DE,又因为CC⊥DE且CC1ACC，所以DE⊥平面ACF，1进而AF⊥DE.连结BF，同理可证B1C⊥平面ABF,进而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为DEA1DD，所以AF⊥平面A1ED(3)解：连结A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DENF,DE⊥A1N,故A1NF为二面角A1-ED-F的平面角易知RtCNERtC，B所以CNEC，又AC5所以CN5，在BCAC5RtNCF中，NFCF2CN230在RtA1AN中NA1A1A2AN243055111AC112C1F214连结AC,AF在RtAC11F中，A1F11在中，A1N2FN2A1F22。所以sinANF5RtA1NFcosA1NF2A1NFN313所以二面角A1-DE-F正弦值为

53（20）本小题主要观察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形联合的思想，观察运算和推理能力，满分12分（1）解：由ec3，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2ba2由题意可知，12b4,即ab22a2a2b解方程组得a=2,b=1ab22所以椭圆的方程为xy214(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),yk(x2)于是A,B两点的坐标知足方程组x21y24由方程组消去Y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0由2x116k224,得14k28k2,进而y14k2,x14k24k11设线段AB是中点为M，则M的坐标为(8k22,2k2)14k14k以下分两种状况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直均分线为y轴，于是QA(2,y0),QB(2,y0）由QAQB=4，得y0=2212（2）当K0时，线段AB的垂直均分线方程为Y2k21(x8k22)14kk14k令x=0，解得y06k4k21由QA(2,y0),QB(x1,y1y0）QAQB2x1y0(y1y0）=2(28k2)6k(4k6k2)14k214k24k214k1=4(16k415k21)4(14k2)2整理得7k22,故k14所以y0=21475综上y=22或y=214005（21）本小题主要观察导数的应用，利用导数研究函数的单一性与极值等基础知识，观察运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）解：f’(x)(1x)ex令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化状况以下表X(,1)1(1,)f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在(,1)内是增函数，在(1,)内是减函数。函数f(x)在x=1处获得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xex(x2)ex2于是F'(x)(x1)(e2x21)ex13当x>1时，2x-2>0,进而e2x-210,又ex0,所以F’(x)>0,进而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=e-1e-10，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),则x1x21.与x1x2矛盾。（2）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),得x1x2.与x1x2矛盾。依据（1）（2）得(x1)(x21)0,不如设x1,x21.11由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),进而f(x1)>f(2-x2).因为x21，所以2x21，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以x1>2x2,即x1x2>2.(22)本小题主要观察等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，观察运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。（Ⅰ）证明：由题设，可得a1a4k,kN*。2k2k1所以a2k1a1(a2k1a2k1)(a2k1a2k3)...(a3a1)=4k4(k1)...41=2k(k+1)由a=0，得a2k(k1),进而aa2k2k2,a2(k1)2.12k12k2k12k2于是a2k1k1,a2k2k1,所以a2k2a2k1。a2kka2k1ka2k1a2k所以dk2k时，对随意kN*,a,a,a成等比数列。2k2k12k2（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a2k1,a2k,a2k1成等差数列，及a2k,a2k1,a2k2成等比数列，得2aaa2k,2a2k1a2k11qk2k2k11a2ka2kqk1当q1≠1时，可知qk≠1，kN*14进而111即111(k2)qk1211qk11qk1qk11qk1所以1是等差数列，公差为1。qk1（Ⅱ）证明：a10，a22，可得a34，进而q141=1.由（Ⅰ）有2,q12111k1k,得qkk1,kN*qk1k所以a2k2a2k1k1,进而a2k2（2）,kN*k1a1aka2kk22k2k所以，aaak2(k2222*a2k2k.2k2....4.a1)...2k.aa.k12k(k1),kN2.22.22ka2k2a2k42(k1)(k2)12k1ka2以下分两种状况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m(mN*)若m