旋转的三角也疯狂-基于圆锥体积公式推导的数学思索

旋转的三角也疯狂——基于圆锥体积公式推导的数学思索旋转的三角也疯狂——基于圆锥体积公式推导的数学思索

面对书本，假如对学问没有了质疑，对挑战没有了渴望，对自我没有了信念，那么学习的过程就没有了赞叹，没有了思辨，没有了期盼，没有了乐趣—那不是我想要的课堂。

变故突生，课堂遭受意外

圆锥体积的推导，最常用的就是倒三次水的方法，清晰明白地发觉圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。学校6班级的时候，我学过一次，等我当了老师，我教过同学两次。今日还是上这节课，轻车熟路，试验和讲解都很顺当，同学开头做练习了。

过了一会儿，教室里有了些不和谐的声音，起先还压抑着，后来掩不住兴奋炸裂开来。两个脸涨得通红的男同学，高声叫着，“二分之一！是二分之一！你看。”“孙老师”，其中叫范托的同学感动地说：“你先看，这个三角形的面积是不是这个长方形的一半？”一个涂得脏兮兮的长方形，以及一个沿这个长方形的对角线对折后剪下来的三角形出现在我眼前(如图一)。

“对呀。”

“那这个呢？”他又拿出和刚才相同的两个图形。

“也是呀。”

“这样两个叠起来，两个三角形的体积是不是两个长方形的一半。”

“是呀。”

“那3个、4个、许多个叠起来呢？”

“也是二分之一啊。”

“那就对了。”他得意地说，接着开头演示，他把一个长方形和一个三角形粘在一起，以一条宽为轴，用手拨动另外一边旋转360度（如图三），拨一下，数一下，“1张、2张、3张……一起转的，那张数是一样多，长方形转一圈就是圆柱,三角形转一圈就是圆锥,那圆锥的体积不就是圆柱的二分之一吗?”

教室里突然静了下来，部分同学已经停下了对作业的争论，盯着讲台上的三角形碎片想着刚才的推论。

太突然了，我深吸一口气让自己保持镇静，头脑中快速地调动相关学问：旋转成形的任一瞬间，三角形的面积都是长方形的二分之一，由于是同步旋转，因此旋转的度数完全相同，也就是说，累计叠加的个数也完全相同，因此，由很多个三角形旋转叠加而成的圆锥的体积，应当就是由同样多个数的长方形旋转叠加而成的圆柱的体积的二分之一！天哪，这个推理似乎是天衣无缝，面对人们信之不移的“规律性学问”，不同的方法怎么出现了不同的结论！应当是三分之一啊，怎么办？我知道我的同学此刻都在盯着我。两分钟后，最终有人忍不住开了口，教室里炸开了锅。“书上印错了！”“倒水的时候，3次根本就没有倒满，不是三分之一，应当是二分之一啊！”“范托，你好厉害！”而我，只能临时眼睁睁地看着他们，由于我的确无法当堂反馈这个推理的规律漏洞。

寻根索源，问题从何而来

1.试验不精确埋下了问题的种子。试验用的圆柱量杯和圆锥量斗外表面比较时，的确是等底等高，但由于透亮     塑料有肯定的厚度，实际上圆锥的容积要略微小于圆柱容积的三分之一，因此，每次装的水倒入量杯的时候，总会比三等分的刻度线略微低一点。3次倒水完成后，离杯口还差一点距离。通常的做法就是简洁地向同学解释一下，是试验误差，同学也能接受。但在喜爱较真的同学心里却埋下了问题的种子，思考着是否有其他的推理方法来验证甚至推翻这个结论。

2.学问渐丰使得问题萌发。同学会想到用叠加的方法虽然出乎意料，却不是偶然的，虽然教材中没有要求，但在面积体积的教学中，我铺垫了有关点线面三者之间演化的过程，那时是为了关心他们更好地理解概念：把点一个个沿肯定的方向密密麻麻地排列，就形成了线，线段的长度可以理解为点的个数；把同样长度的线段沿肯定的方向平行叠加排列，就形成一个面，线的条数可以理解为所形成的长方形的宽，长方形的面积＝线的长度×线的条数＝长×宽；大小相同的面，一层层往上叠