《等差数列的前n项和(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

第一章数列1.2.2等差数列的前n项和(1)教学目标教学目标1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，并会应用其解决相关问题；2.体会等差数列前n项和公式的推导过程；3.借助等差数列前n项和公式的推导及应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.教学重难点教学重难点重点：等差数列的前n项和公式．难点：等差数列的前n项和公式的推导．教学过程教学过程一、新课导入想一想：泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共有多少宝石吗？1+2+3+…+100=？问题1：高斯在小学时就巧妙地求出了结果，你知道高斯是怎么算的吗？高斯的算法：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…共有50个101，101×50=5050.所以，1+2+3+…+100=(1＋100)+(2＋99)+…+(50＋51)=101×50=5050．追问：你知道“1+2+3+…+100”解决的是数列的什么问题？答案：等差数列“1，2，3，…，100”的求和问题.设计意图：通过熟悉的高斯算法自然引入等差数列的求和问题，激发学生的学习兴趣和求知欲．二、新知探究问题2：如图，有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？分析：根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列：1，2，3…设共堆放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn，则Sn问题3：如何计算该等差数列的和呢？追问1：从高斯求和的公式中可以得到什么启示？答案：等差数列都可以通过“首尾配对”的方法求和.追问2：n的取值对“首尾配对”有影响吗？答案：有，需对n分奇数、偶数进行讨论.过程展示：当n为偶数时，Sn==1+=n当n为奇数时，Sn=1+n=n-12所以，对于任意正整数n，都有1+问题4：在求和时对n进行分奇数、偶数讨论比较麻烦，有没有什么方法能避免呢？答案：Sn=1+2Sn=n+(n①+②，得2Sn所以，对于任意正整数n，都有1+问题5：上述方法可以推广到求等差数列{an}答案：对首项为a1，公差为d的等差数列an，设Sn是等差数列aSn=根据等差数列an的通项公式，Sn=再把项的次序反过来，又可以写成Sn=①+②，得2S因此，等差数列an的前n项和公式为S公式表明：等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.思考：如果已知等差数列首项a1，公差d可以求得前n项和S答案：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代入Sn归纳：等差数列的求和公式为Sn=n交流：等差数列的前n项和公式中共涉及哪几个相关量？这几个量分别表示什么？这几个相关量中，已知几个可以求出其他几个？答案：等差数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公差d，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“思考：现在能解决本节开始提出的圆木堆放问题吗？答案：可转化为求Sn=n1+n2≤200的最大自然数n，易知当n=19时，Sn=190；当n=20时，Sn=设计意图：通过问题探究让学生了解等差数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．三、应用举例例1求从1开始的连续n个正奇数的和.解：因为正奇数数列是首项为1、公差为2的等差数列.由等差数列前n项和公式，得1+故从1开始的连续n个正奇数的和为n2例2在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈请问：（1）第9圈共有多少石板？（2）前9圈共有多少块石板？解：（1）设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为an，由题意可知数列an是等差数列，其中首项a1=9，公差由等差数列的通项公式，得a9=a（2）由等差数列的前n项和公式，得Sn=na1因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板.设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式，掌握利用等差数列的求和公式解决相关问题．四、课堂练习1.已知数列an是等差数列（1）若a1=7，（2）若a1=2，2.已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220.求这个等差数列的首项和公差3.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排其后一排都比前以排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.参考答案：1.解：（1）S（2）由a1=2，a22.解：S10=310,S10a13.解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn，根据题意，数列an是一个公差为2S20=20因此，第一排应安排21个座位.五、课堂小结求数列的基本量