2422切线的判定二

24.2.2直线与圆的位置关系

dr相离

.Adr相切

LLH.直线与圆的位置关系(数量特征).D.Or

d相交

.C.O.B.E.FO1、直线与圆相离

d>r3、直线与圆相交

d<r2、直线与圆相切

d=rLrrr

知识回顾

3、观察与发现

图中直线l是⊙O的切线，怎样判定？

O答:①直线与圆有唯一公共点；

②直线到圆心的距离等于该圆的半径；

判定一条直线是不是圆的切线除了这两种

方法外还有其它方法吗?

观察与思考

问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是

顺着伞的什么方向飞出去的?问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的

什么方向飞出去的?问题1如图,已知⊙O上一点A,怎样根据圆的切线的定义过A作⊙O的切线?发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；

(2)直线l垂直于半径OA．

问题2观察你所作出的切线,对圆的半径

OA来说,这条切线应具有哪两个特征?问题3如果一条直线符合了上面两个特征,这条直线是不是圆的切线?为什么?.OAl作法:1)连结OA.2)过点A作OA的垂线l请你用语言概括所得的结论

（二）切线的判定定理：

1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2、对定理的理解：

切线需满足两条：

①经过半径外端.

②垂直于这条半径．

注意:定理中的两个条件缺一不可．

AOlAOlAOl

图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．

从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．

1.下列图形中的直线l是不是圆O的切线,为什么?AAOAOO2.判断下列命题是否正确．

(1)经过半径外端的直线是圆的切线．()(2)垂直于半径的直线是圆的切线．()(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．()(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．()(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．()

（三）切线的判定方法

切线的判定方法有三种：

①直线与圆有唯一公共点；

②直线到圆心的距离等于该圆的半径；

③切线的判定定理．

（四）应用定理.

例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，

并且OA=OB，CA＝CB．

求证：直线AB是⊙O的切线．

直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，

所以AB是⊙O的切线．

A

B

C

O

证明：连结0C∵0A＝0B，CA＝CB，

∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．

∴AB⊥OC．

方法小结:证明过圆上一点的直线是圆的切线.只要证明这条直线垂直于经过切点的半径.例2.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D。

求证：BD是⊙O的切线

证明：连结OD∵OA＝OD,

∴

OD⊥BD

又∵直线BD经过⊙O上的D点

∴直线BD是⊙O的切线

∴∠ODA＝∠A＝300O●

ABCD∴∠BDO＝90°

练一练

1.如图,AB是⊙O的直径,∠B＝45°,AC＝AB,

AC是⊙O的切线吗？为什么？

解：

∵

AC＝AB

，

∠B＝450∴

AC⊥AB

又∵直线AC经过⊙O

上的A点

∴直线AC是⊙O的切线

∴∠C＝∠B＝450∴∠BAC＝90°

BCA01.如图所示，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．

求证：（1）AD=BD；

（2）DF是⊙O的切线．

CBODFEA能力与拓展

2.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB?为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于F．

求证：DE是⊙O的切线

·

OACBED3.如图，已知，AB是⊙O直径，BC⊥AB于B，⊙O的弦AD∥OC，

求证：DC是⊙O的切线．

DOBCA

小结：