第三章 傅立叶变换和系统的频域分析

Chapter3第三章连续时间信号与系统的频域分析本章要点信号表示为正交函数集周期信号的频谱常用信号的傅里叶变换傅立叶变换的性质Parseval’s定理与能量频谱FFFFFFFFFFF连续时间系统的频域分析系统无失真传输的条件理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应非周期信号的傅里叶变换调制与解调周期信号的傅里叶级数引言变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号，或者说，信号用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。3.1

信号表示为正交函数集

信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。一、矢量的分量和矢量的分解矢量在矢量上的分量示意图图(a)中

——用分量来近似代表原矢量的误差矢量。图中为在上的斜投影，可有无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量时，都大于。结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。图(a)中从几何图上可得：从解析角度：

则令也可导出——是在最小平方误差的意义上标志着和相互近似程度。例如：和相同时，时，由图还可看出，其中，与组成一正交矢量。平面矢量分解图

和是一组模为1的正交矢量空间中的矢量分解图矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为即则二.信号的分量和信号的分解

信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是函数的分解。1、函数的分量设在区间内，用函数在另一函数中的分量来近似的代表原函数。取何值时，得到最佳近似？选择误差函数的方均值为最小。即方均值为求此值最小时的令解得矢量分解——是在最小方均误差的意义上代表二函数

和间的相关联的程度。称和在区间内为正交，构成了一个正交函数集。称与正交，组成正交矢量。例1：试用正弦函数sint

在区间（0，2

）内来近似表示此函数，使均方误差最小。1t01所以解：在区间内近似为例2：试用函数在区间内近似表示解：也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。2、正交信号空间

设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列正交特性：——常数则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。理论上讲在使近似式的均方误差最小条件下，可求得均方误差3、用完备正交函数集表示信号如果用正交函数集，，…在区间近似表示函数方均误差为若令趋于无限大，的极限等于零则此函数集称为完备正交函数集定义1：定义2：如果在正交函数集之外，不存在函数x（t）满足等式i为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。这有两层意思：1，如果x（t）在区间内与正交，则x（t）必属于这个正交集。2，若x（t）与正交，但中不包含x（t），则此集不完备。4、复变函数的正交特性。

若和是t的复变函数，则有关正交特性的描述如下：

若在区间内可由来近似，使均方误差幅度最小的之最佳值是

两个复变函数和在区间内互相正交的条件是：如果在区间内，复变函数集，满足则称此为正交函数集例:(1)三角函数集为完备正交函数集。例:(2)复指数函数集是一个复变函数集，也是完备正交函数集。3.2

周期信号的傅里叶级数

1822年法国数学家傅里叶（1768——1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。一、三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集1、三角函数集：representationofsignal:FourierSeries二、周期信号f（t）表示为傅里叶级数将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合

从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。

从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。

意义：

由数学分析知，当周期信号f（t）满足狄氏条件时，可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。狄氏条件：（1）在一周期内，间断点的数目有限；（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3）在一周期内，电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f（t)满足狄氏条件时，才存在。注意：条件（3）为充分条件但不是必要条件； 条件（1）（2）是必要条件但不是充分条件。

1，周期信号f（t）展开为三角傅里叶级数设f（t）是周期为T的函数2、周期信号f（t）展开为复指数傅里叶级数证明：三、傅立叶级数的基本性质线性特性

时移特性

卷积性质

微分特性

若

f1(t)和

f2(t)均是周期为T0的周期信号，且

对称特性

(1)若f(t)为实信号对称特性

(2)纵轴对称信号f

(t)=f

(-t)

纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。对称特性

(3)原点对称信号f

(t)=-f

(-t)

原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项。对称特性

(4)半波重迭信号f

(t)=f

(t±T/2)

半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。对称特性

(5)半波镜像信号f

(t)=-f

(t±T/2)

半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。说明

：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性

去掉直流分量后，

信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。

因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。例4求图示周期信号f(t)的傅里叶级数f(t)=f1(t)

-f2(t)周期信号的对称性与傅立叶系数的关系。FF解:周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为解:解:解:例3

求

Fn解:

根据指数形式傅里叶级数的定义可得例2已知连续周期信号的频谱如图，试写出实数形式的Fourier级数。解：由图可知3.3周期信号的频谱

为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。一、频谱图的概念由上一节知周期信号f（t）可用傅里叶级数来表示。或二、典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号F（t）TtT：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数f(t)是偶函数bn=0T：三角函数公共周期第二步：展成指数形式傅里叶级数FS当时第三步：频谱分析与之比值有关，取

与包络线均为为离散频率即

Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。计算第一个振幅为零的谐波次数n幅度频谱图1抽样函数0an>00Cn>0Cn<0即即0相位频谱图-第四步：讨论频谱结构与、T的关系1.当不变，T增大，谱线间隔减小，谱线逐渐密集，幅度减小

当非周期信号连续频率非周期信号连续频谱

此例中为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合画在一张图上。对于一般频谱，常以0频率开始振幅将为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度2.当T不变，减小时T不变间隔不变振幅为0的谐波频率3.频带宽度的定义对于周期矩形信号，一般或周期矩形信号的时间特性：f(t)变化快

f(t)变化慢频率特性：变化快的信号必然具有较宽的频带三、周期信号的频谱特点(1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为。这种频谱常称为离散频谱。(2)谐波性——谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍。(3)收敛性——各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大时，幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。

f(t)不连续时，

Fn按1/n的速度衰减

f’(t)不连续时，Fn按1/n2的速度衰减四、周期信号的功率谱

物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。

周期信号的功率频谱：

|Fn|2

随nw0

分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。

帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理例3

试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p

/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。

解：

周期矩形脉冲的傅里叶系数为

将A=1，T=1/4，

=1/20，w0=2p/T=8p

代入上式解：

包含在有效带宽(0~2p

/t)内的各谐波平均功率为信号的平均功率为周期信号的功率谱

例4

求f

(t)的功率。解：1)2)吉伯斯（Gibbs）现象

用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且

为跳变值的9%

。吉伯斯现象产生原因

时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。

N=5N=15N=50N=500吉伯斯（Gibbs）现象3.4非周期信号的傅里叶变换一、频谱密度函数以周期矩形信号为例，当周期（周期信号变为非周期信号），（离散频谱变成连续频谱），即谱线长度趋于零（无穷小）。以上两节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换FT。

此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入一个新的量——称为“频谱密度函数”。设周期信号频谱密度函数从上式可以看出：非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信号的于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，三角函数振幅，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。讨论：常用信号的傅里叶变换1t0f(t)(a)0(b)0(c)f(t)0t(a)0(b)3、矩形单脉冲信号（门函数）(a)(b)(c)(d)常数频谱1不满足绝对可积条件，反变换求解过程见管致中书P120物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。01t-2T-T0T2T3Tt(a)周期单位冲激序列

(b)傅里叶变换频谱

表示在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱密度值。例2：付里叶变换付里叶变换付里叶级数0t-2T–T0T2Tt0t例3：3.5傅立叶变换的性质说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。FF频移性质F例2试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosw0

t相乘后信号的频谱函数。

应用频移特性可得解:

已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为

解:

例3

试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。

解：

由上式利用时域微分特性，得

因此有例4

试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。解：

已知单位阶跃信号傅里叶变换为:故利用频域微分特性可得:E例5

求如图所示信号的频谱。解：

例6

计算其频谱Y(jw)。解：

利用Fourier变换的卷积特性可得3.6Parseval’s定理与能量频谱从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系Parseval’s定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。一般非周期信号属于能量有限信号Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。例7

计算。解：

由

根据Parseval能量守恒定律，可得LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应本节只研究零状态响应。1.时域分析法即将

分解为无限个

之叠加。即零状态响应分解为所有被激励加权的之叠加。时域方法缺点：计算复杂。3.7连续时间系统的频域分析2.频域分析法（是变换域分析法的一种）由时域卷积定理知：称为系统函数（或传递函数）此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z域分析法等都是属于变换域分析法。3、连续系统的频率响应H(jw)的定义与物理意义幅度响应相位响应

H(jw)的物理意义：

系统把频谱为F(jw)

的输入改变成频谱为H(jw)

F(jw)的响应，改变的规律完全由H(jw)

决定。H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。

H(jw)称为系统的频率响应，定义为或Yf

(jw)=

H(jw)

F(jw)将任意激励信号分解为无穷多项信号的叠加（或无穷多项正弦分量的叠加）将无穷多项信号分量作用于系统所得的响应取和（叠加）2频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。5、求H(jw)的方法

由系统的动态方程式直接计算；

由系统的冲激响应的傅里叶变换计算；

由电路的零状态频域电路模型计算。解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为由定义可求得例1

已知某LTI系统的动态方程为

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，

求系统的频率响应H(jw)。例2

已知某LTI系统的冲激响应为

h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求系统的频率响应H(jw)。解：利用H(jw)与h(t)的关系例3图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压

y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和冲激响应h(t)。解：RC电路的频域(相量)模型如图，由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为由电路的基本原理有RC电路系统的幅度响应

随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。低通滤波器有始信号通过线性电路的瞬态分析

例1：已知，求零状态响应。时域电路模型（RC低通网络）频域电路模型解：电压传输比例题说明+-RC11¢22¢+-2OttEOttOwOwtEOw122急速变化处意味着有很高的频率分量

从以上分析可以看出，利用从频谱改变的观点解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作用于具体电路的响应时，用更方便，很少利用。这节引出的重要意义在于研究信号传输的基本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。结论

连续信号通过系统响应的频域分析

连续非周期信号通过系统响应的频域分析

连续周期信号通过系统响应的频域分析正弦信号通过系统的响应任意周期信号通过系统的响应一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析1.

已知描述系统的微分方程方程两边进行Fourier变换，并利用时域微分特性，有解此代数方程即可求得零状态响应的频谱Yf

(jw)。一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析2.

已知系统的频域响应对Yf

(jw)进行Fourier反变换，可得

系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系：1)

两种分析方法实质相同，只不过是采用单元信号不同。2)分析域不同，卷积积分法

——时域，

频域分析法

——频域。Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。例1

已知某LTI系统的动态方程为

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f

'(t)+4

f(t)，系统的输入激励

f(t)=e-3tu(t)，求系统的零状态响应yf

(t)。解：

由于输入激励f(t)的频谱函数为系统的频率响应由微分方程可得故系统的零状态响应yf

(t)的频谱函数Yf

(jw)为二、连续周期信号通过系统响应的频域分析1.

正弦信号通过系统的响应由Euler公式可得

利用虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为二、连续周期信号通过系统响应的频域分析1.正弦信号通过系统的响应同理

结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。

输出信号的幅度y(t)由系统的幅度响应|H(jw0)|确定

输出信号的相位相对于输入信号偏移了f(w0)例2

已知一连续时间系统的频响特性如图所示，输入信号时，试求该系统的稳态响应y(t)。

解：

利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点，即

可以求出信号f(t)作用在系统上的稳态响应为

二、连续周期信号通过系统响应的频域分析2.

任意周期信号通过系统的响应将周期为T0的周期信号f(t)用Fourier级数展开为利用虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及线性特性可得系统的零状态响应为若f(t)、h(t)为实函数，则有例3求图示周期方波信号通过系统H(jw)=1/(a+jw)的响应y(t)。解：对于周期方波信号，其Fourier系数为可得系统响应y(t)为由

优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。解决方法：采用拉普拉斯变换系统响应频域分析小结信号分析

傅里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心运用。从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面——调制、滤波、失真、抽样。系统无失真传输的条件由前面举例（例1）知：失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。一.线性系统引起信号失真的原因1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。2.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。由延时特性知：在实际应用中，有时需要有意识地利用系统的失真进行波形变换有时希望传输过程中使用信号失真最小。二.线性系统无失真条件波形无改变则称为无失真实现无失真传输，应满足的条件一、无失真传输系统无失真传输系统的幅度和相位响应

无失真传输系统应满足两个条件：1)

系统的幅频响应|H(jw)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；2)

系统的相位响应f(w)在整个频率范围内应与成正比。信号通过系统时谐波的相移比需与其频率成正比。例：基波二次谐波为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生相位失真，应有例1

已知一LTI系统的频率响应为

(1)求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，

并判断系统是否为无失真传输系统。(2)

当输入为f(t)=sint+sin3t(-<t<)时，求系统的稳态响应。解：(1)因为所以系统的幅度响应和相位响应分别为

系统的幅度响应|H(jw)|为常数，但相位响应f(w)不是w的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。(2)解：

显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。输入和输出信号的波形

理想低通

理想高通

理想带通

理想带阻二、理想滤波器的频响特性

滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率通过很少的系统。一、理想低通滤波器的频域特性

为截止频率(Cutofffrequency)相移特性是过原点直线理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应阻带通带阻带幅频响应|H(jw)|在通带0~wc

恒为1，在通带之外为0。相频响应f(w)在通带内与成线性关系二、理想低通滤波器的冲激响应由图知t<0时，，而输入

在t=0时加入，这是反因果规律的，所以理想低通滤波器是无法实现的。01.理想低通滤波器的冲激响应

分析：1)

h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。

减小失真方法：增加理想低通截频wc。

h(t)的主瓣宽度为2p/wc，wc越小，失真越大。当wc

时，理想低通变为无失真传输系统，

h(t)也变为冲激函数。三、理想低通滤波器的阶跃响应设理想低通滤波器的阶跃响应为令，

则，于是有上式第一项积分第二项积分是正弦积分函数

它的函数值可从正弦积分函数表中查得，于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为xxsinx1Op2pp3p4()xSixO2p2p-式中称为正弦积分函数1tO210ttOBAA点处：B点处：查表得：故可求得：响应电压的建立时间与通频带成反比。2.理想低通滤波器的阶跃响应

分析：1)阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td

。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。

2)

阶跃响应的建立需要一段时间。

阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间tr。tr=2p/wc，即上升时间tr与理想低通截频wc成反比。wc越大，上升时间就越短，当wc

时，tr

0。3)存在

Gibbs现象

即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤波器带宽的增加而减小。四、理想低通滤波器的物理可实现条件给定一个网络数学模型，什么样的可以物理实现，什么样的不行？这是一个网络综合问题。网络分析：已知网络结构和参数，求系统在一定输入下的响应。网络综合：在给定网络特性的情况下，确定网络的结构和参数。1.物理可实现的时域条件：这一条件也称为“因果条件”2.物理可实现的频域条件：物理可实现的必要条件是：

其中满足这一条件称为佩利－维纳准则

例如：理想低通滤波器违反了佩利－维纳准则，则系统不可实现。举例：一个简单的低通滤波器。分析：可看出，与理想低通滤波器有些相似，不同在于以图示电路为例，设，则网络系统函数：例题分析例题分析

与理想低通滤波器有些相似，不同在于“佩利－维纳准则”是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。

结论1.

输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位特性的斜率。2.

输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。3.

理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。例2求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-<

t<，通过线性相位理想低通滤波器

的响应。解：因为利用Fourier变换的频移特性，可得解：y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos[2(

t-td)]，

-<t<

2)

当wc

<1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即y(t)=0，

-<t<

1)

当wc

>3时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即解：3)

当1<wc

<3时，只有1wc范围内的频率分量能通过系统，故由抽样信号频谱及Fourier变换的时域和频域位移特性可得连续信号的数字化3.8抽样信号与抽样定理问题：

1是否保留了原信号

的全部信息？

2在什么条件下，可以从

中无失真地恢复出原连续信号？当时1由频域卷积定理理想抽样实际中无法实现由时域卷积定理抽样函数（由此引出了著名的香农抽样定理：对于一个有限频宽（最高频率为或）信号进行理想抽样，当抽样频率）时，抽样值唯一确定；当此抽样信号通过截止频率（）的理想低通滤波器后，原信号能完全重建。时域抽样定理：一个频谱受限的信号，如果频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔的抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于或者说，最低抽样频率为。最低抽样频率称为“奈奎斯特频率”。（其中)F1、信号抽样的理论分析1、信号抽样的理论分析

若连续信号f(t)的频谱函数为F(jω)，则抽样信号

其中：

T

为抽样间隔，ws=2p

/T为抽样角频率。

理想抽样信号的频谱分析的频谱函数Fs(jw)为且序列f[k]的频谱等于抽样信号的频谱，即有1、信号抽样的理论分析

理想抽样信号的频谱分析

抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔T关系：1、信号抽样的理论分析

理想抽样信号的频谱分析

抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔T关系：1、信号抽样的理论分析

理想抽样信号的频谱分析

抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔T关系：

混叠(aliasing)2、时域取样定理

若带限信号f(t)的最高角频率为ωm，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于