空间解析几何

空间解析几何第七章第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标系过空间一点O做三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点,这三条坐标轴分别叫做x轴、y轴、z轴,统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定.三条坐标轴组成了空间直角坐标系Oxyz,点O叫做坐标原点.1.空间直角坐标系的建立三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样的三个平面统称为坐标面.其中x轴和y轴,z轴和y轴,x轴和z轴组成的平面分别称为xoy面,zoy面,xoz面.这三个面把空间分成八个卦限,按逆时针方向分别叫做I,II,III,IV卦限,下半空间(z<0)分别叫做V,VI,VII,VIII卦限.2.空间中点的直角坐标设点M为空间一点,过M分别作三个坐标轴的垂面,它们与x轴,y轴,z轴的交点分别为P,Q,R.这三点,在x轴,y轴,z轴上的坐标分别为x,y,z.这样就唯一确定了一个有序实数组(x,y,z),它称为M的直角坐标.并依次把x,y,z叫做横坐标,纵坐标,竖坐标.这样就建立了点M与有序实数(x,y,z)的一一对应关系。二、空间两点间的距离第二节向量代数一、向量的概念在数学中常用带方向的线段来表示向量.具有大小和方向的量叫向量或矢量.如速度,力,加速度等.向量的大小叫向量的模.向量的模记为自由向量:与起点无关的向量叫作自由向量.(即可以平行移动)单位向量:模等于1的向量称为单位向量.逆向量(或负向量):与向量

大小相等,方向相反的向量叫做

的逆向量,记为.零向量:模等于0的向量称为零向量.记为

.零向量没有确定的方向,也可以说方向任意.相等向量:两个向量与,它们平行、同向且模相等,称为相等向量.记作

.二、向量的加(减)法、数与向量的乘积向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则向量的加法满足交换律和结合律向量的减法向量

与

的和向量为

,则向量

定义为

与

的差(向量),记为

.向量与数量的乘法(数乘)

设是一实数,向量

与的乘积定义为一个向量,该向量的大小和方向按如下方向确定:向量与数量的乘法满足下列性质:(,为实数)(结合律)(分配律)(分配律)两个非零向量

与

平行(共线)的充要条件是存在确定的实数

,使得

.与非零向量

同向的单位向量为当=-1时,是与

大小相等、方向相反的向量,称为

的负向量,记作

.三、向量的分解与向量的坐标以

分别表示沿x轴,y轴,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量.

例解第三节向量的数量积与向量积一、向量的数量积定义1数量积满足下列性质:两向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.两个非零向量互相垂直的充要条件是两个非零向量的夹角余弦公式的坐标表示式例解例解例解定义2二、向量的向量积规定零向量与任何向量平行.向量积满足下列规律:向量积的坐标计算公式例解例解例解第四节平面及其方程一、平面的点法式方程垂直于平面的非零向量叫做平面的法向量.根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为

(x-2)-2(y+3)+3z=0

x-2y+3z-8=0.求过点(2,-3,0)及法向量

=(1,-2,3)的平面方程.例解二、平面的一般方程因为平面过原点,所以将x=y=z=0代入平面的一般方程,得D=0,故过原点的平面方程为

Ax+By+Cz=0(1)过原点的平面方程(2)平行于坐标轴的平面方程如果平行于x轴,则平面的法向量

=(A,B,C)与x轴的单位向量

=(1,0,0)垂直,故,即

A1+B0+C0=0所以A=0.由此得平行于x轴的平面方程为

By+Cz+D=0类似有:平行于y轴的平面方程为Ax+Cz+D=0平行于z轴的平面方程为Ax+By+D=0因为过坐标轴的方程必过原点,且与该坐标轴平行,所以可得过x轴的平面方程为:

By+Cz=0类似地过y轴的平面方程为：Ax+Cz=0过z轴的平面方程为：Ax+By=0(3)过坐标轴的平面方程如果平面垂直于z

轴,则法向量可以取与z平行的任一组非零向量(0,0,C),则平面方程为

Cz+D=0.类似有垂直于x轴的平面方程为Ax+D=0垂直于y轴的平面方程为

By+D=0(4)垂直于坐标轴的平面方程例解指出下列平面的位置特点，并作出图形:(1)x+y=4;(2)z=2.

(1)式中不含z,所以平面平行于z轴.(2)z=2表示过点(0,0,2)且垂直于z轴的平面例解三、两平面的夹角两平面垂直的条件是:例解第五节直线及其方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的点向式方程和参数方程与已知直线平行的非零向量叫做这个直线的方向向量.从而有:叫做直线的点向式方程或对称式方程.例解例解三、两直线的夹角两直线相互垂直的充要条件是两直线相互平行的充要条件是例解四、直线与平面的夹角直线L与它在平面上的投影所成的角称为直线L与平面的夹角.

直线与平面相互垂直的充要条件是直线与平面相互平行的充要条件是例解该公式称为点到平面的距离公式.第六节空间曲面及空间曲线一、空间曲面及曲面方程的概念如果曲面S与三元方程存在如下关系:(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0.(2)不在曲面S上的点不满足方程.那么F(x,y,z)=0称为曲面S的方程,而曲面S称为方程的图形.例解1.柱面设给定一条直线L,则平行于L且沿曲线C移动的直线L所形成的曲面叫柱面.定曲线C叫柱面的准线,动直线L叫作柱面的母线.如果柱面的准线是xOy面上的曲线C,其方程为F(x,y)=0,柱面的母线平行于z轴,则方程F(x,y)=0就是这柱面的方程.同理可知,只含y,z而不含x的方程G(y,z)=0和只含x,z而不含y的方程H(x,z)=0,分别表示平行于x轴和y轴的柱面.2.旋转面一平面曲线C绕着该平面内一定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转面.直线L叫做旋转轴.设在yOz面上有一已知曲线C:f(y,z)=0,将这曲线绕z轴旋转一周,就可以得到一个以z为轴的旋转面,求其方程.求yOz面上的直线z=ky绕z轴旋转一周所成的旋转面的方程.例解二、空间曲线及其方程如果两个曲面的方程为F

(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0,则它们的交线C上的点同时在两个曲面上,其坐标必须同时满足这两个方程.反之,满足这两个方程的点也一定在这两曲面的交线上.1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程例解3.空间曲线在坐标轴上的投影设空间曲线的方程为从原方程中消去z而得到G(x,y)=0.该方程表示一个母线平行于z轴的柱面,此柱面必包含C曲线,所以它是一个以曲线C为准线,母线平行于z轴的柱面,叫做曲线关于xOy面的投影柱面,简称投影,曲线C在xOy面的投影曲线方程为

例解三、二次曲面在空间直角坐标系中,方程F(x,y,z)=0一般代表曲面,若F(x,y,z)=0为一次方程,则它代表一次曲面,即平面.若F(x,y,z)=0为二次方程,则它所表示的曲面称为二次曲面.可以利用坐标面或平行于坐标面的平面与曲线相截,通过考察其交线的方法,去了解曲面的形状,然后加以综合,从而了解整个曲面的形状.这叫做截痕法.设p,q均大于0,以平行于xOy面的平面z=z