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2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题2.设函数f:{1,2,3}→{2,3,4}满足f(f(x)−1)=f(x)距离为。_____ 。2试问，当k1,k2,k3满足什么条件时，存在A>0使得定义在[0,A]上的函数g(x)+f(A−x)15.设f(x),g(x)均为整系数多项式，且degf(x)>degg(x)。若对无穷多个素数p，pf(x)+g(x)存在有理根，证明：f(x)必存在有理根。2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题参考答案和评分标准答案m≤−3解令y=f(x)−1∈{1,2,3}，则f(y)=y+1。对f(1)=2以下三种情况都满足条件f(2)=f(3)=2;f(2)=f(3)=3;f(2)=f(3)=4，共3种。又f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4显然满足条件。解令t=sinx,−1≤t≤1，原式变形y=1+,当t≠0时,≤y≤。当t=0时，y=1。所以y的最大、最小值分别为其积为1，则通项xn=__________。解将已知条件变形得将上式从1到n叠加得到为所以球心到平面BDC的距离为2223nk22nCnk+1kC2024。_______22由圆的性质可知，直线AP与直线l垂直，所以圆心坐标满足即圆心坐标轨迹方程为x−y=2，记此直线为l/。/相切于A。设直线l/与x轴相交于点B（22=BO•BF1,即有答案：9试问，当k1,k2,k3满足什么条件时，存在A>0使得定义在[0,A]上的函数g(x)+f(A−x)解对A的取值分类讨论。此时，g(x)+f(A−x)最小值点有无穷多个，不合，舍去。此时，g(x)+f(A−x)最小值点有无穷多个，不合，舍去。此时，g(x)+f(A−x)最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去。此时，g(x)+f(A−x)最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去。（以上四类7分）226此时，g(x)+f(A−x)恰有两个最大值点的充要条件为（k13A−首先易用抽屉原理证明，S每个元素均在A1，A2,…,Ak中至少出现3次（5分所以A15.设f(x),g(x)均为整系数多项式，且degf(x)>degg(x)。若对无穷多个素数p，pf(x)+g(x)存在有理根，证明：f(x)必存在有理根。若子列αpi→α,则必有f(α)=0。下证α可为有理数。由pf(αp)+g(αp)=0得到sppan,rppa0+b0。记pa0+b0=rplp,lp（2）若有无穷多个素数pi

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