人工智能第五章模糊逻辑系统

第五章模糊逻辑与模糊推理1/11/20231主要内容5.1概述5.2模糊集合及其运算5.3模糊关系5.4模糊逻辑与近似推理5.5基于控制规则库的模糊推理5.6模糊控制的基本原理1/11/202325.1概述1/11/20233模糊的概念

“fuzzy”不同的类别之间不存在精确的分类标准，从而对一事物是否属于某一类很难做出明确肯定的断言。例：高低、冷热、快慢、年轻人、中年人、老年人…1/11/20234精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即非此即彼。把经典的二值逻辑用于处理Fuzzy概念和Fuzzy命题时，将会在理论上导致逻辑悖论。模糊概念是亦此亦彼：从0和1－－－→从0至1。公设（1）存在秃头的人和非秃头的人。（2）若有n根头发的人秃，则有n+1根头发的人亦秃。由此会导致：秃头悖论：所有人都秃。人脑具有Fuzzy思维功能。模糊描述是必要、必然的1/11/20235J.A.Goguen1974说： “描述不确切性并非坏事，相反倒是一件好事，它能用较少的代价传输足够的信息，并能对复杂事物做出高效率的判断和处理。也就是说，不确定性有助于提高效率。”爱因斯坦：“Sofarasthelawsofmathematicsrefertoreality,theyarenotcertain,Andsofarastheyareceitain,theydonotrefertoreality.”关于现实的数学定理是不确定的，而确定的数学定理并不能描述现实。不相容原理：(L.A.Zadeh1975提出) “当一个系统复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减低，在达到一定的阈值时，复杂性和精确性将相互排斥。”1/11/20236模糊性也是一种不确定性，但不同于随机性，模糊理论不同于概率论。模糊性指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性，主要是人为的主观理解上的不确定性。随机性反映的是客观上的自然的不确定性，或者是事件发生的偶然性。模糊性与随机性1/11/20237模糊集合与模糊数学的概念模糊集合：一种特别定义的集合，它可用来描述模糊现象模糊数学：有关模糊集合、模糊逻辑等的数学理论1/11/202385.2模糊集合及其运算1/11/20239表示方法：1)

定义法 ：A={x|x为偶数，x<10}2)

列举法 ：A={2,4,6,8}3)

特征函数法：一、普通集合论域：讨论的范围，U、V、W集合：U上的一部分叫U上的集合，A、B、C元素：A、B、C中的元x、y、z、u、v、w幂集：U的所有子集构成的集合，P(U)1/11/202310二、、模模糊糊集集合合的的定定义义及及表表示示方方法法、、名名词词术术语语定义义：：设论论域域为为U，，称称映映射射确定定U的的一一个个模糊糊集集合合。称称为为的的隶属属函函数数。，表表示示u隶隶属属于于的的程程度度，，简简称称隶属属度度。论域域U指指的的是是所所讨讨论论的的事事物物的的全全体体。。模糊糊幂幂集集：：论域域U上上的的全全体体模模糊糊子子集集构构成成的的集集合合，，记记为为F(U)，，12/31/202211设U={x1,x2,x3,x4,x5}，xi表示同学学。对于于每个同同学的““性格开开朗”的的程度在在[0,1]中中打分，，便得到到从U到到[0,1]的的一个映映射=“性格格开朗””(x1)=0.85，，(x2)=0.75，，(x3)=0.98，，(x4)=0.30，，(x5)=0.60举例：12/31/2022121、论论域U为离离散有有限集集{x1,x2,,xn}(xi)=ai扎德表表示法法：向量表表示法法：表示方方法：：12/31/2022132、论论域是是离散散无限限域可数：：不可数数：扎德表表示法法：3、论论域是是连续续域当U是是一个个实数数区间间时，，可以以用普普通的的实函函数表表示扎德表表示法法：12/31/202214以年龄龄为论论域，，取U=[0,200]，扎扎德给给出了了“年年老””与““年轻轻”两两个模模糊集集的隶隶属函函数为为：举例：：12/31/202215“核””：：Ker={5，6}Ker≠≠称为正则模模糊集Ker＝＝称为非正则则模糊集“单点模糊糊集合”：：若台集仅为为一个点，，且该点隶隶属度为1“台”：隶属度大于于0的元素素的全体，，支撑集“”截集：Supp={3,4,5,6,7,8}名词术语：：12/31/2022161、相等：：三、模糊集集合的基本本运算2、包含：：各元素的隶隶属度分别别相等12/31/2022173、并∨：取大运算12/31/2022184、交∧取小运算12/31/2022195、余余12/31/202220和的的直积为定义在积空间间UV上的模糊集集合两个模糊集合合直积的概念念可以很容易易推广到多个个集合6、笛卡尔直直积(Cartesianproduct)12/31/202221交换律结合律分配律吸收律复原律两极律（同一一律）对偶律（D．．摩根律）幂等律12/31/202222五、模糊集合合的其它类型型运算作为Fuzzy集合基本本运算的并、、交运算，采采用Zadeh算子按点点“取大取小小”，不仅很很好符合人脑脑通常的Fuzzy思维维方式，而且且在研究和处处理模糊性问问题时带来了了很多方便，，因此在有关关Fuzzy集合论与逻逻辑的文献中中，大多采用用了Zadeh的取大取取小运算进行行分析。有些学者认为为，只取两个个隶属度中的的最大或最小小值，忽略了了另一个隶属属度的值，是是造成信息失失落的根源。。因此人们提提出了不少与与∨、∧相对应的算算子。改善后的Fuzzy算子子尽管在某种种意义上更加加接近人类思思维，然而由由于其变化复复杂且失去了了许多好的运运算性质而很很少使用。12/31/2022231、代数和2、代数积3、有界和4、有界差12/31/2022245、、有有界界积积6、、强强制制和和7、、强强制制积积12/31/2022255.3模模糊糊关关系系与与模模糊糊矩矩阵阵12/31/202226n元元模模糊糊关关系系R是是定定义义在在直直积积U1U2Un上的的模模糊糊集集合合模糊糊关关系系不不是是““有有””““无无””关关系系，，而而是是多多少少有有点点关关系系。。模糊糊关关系系是是模模糊糊集集合合直直积积集集的的一一个个子子集集一、、模模糊糊关关系系的的定定义义及及表表示示12/31/202227求U到到V满满足足b“大大约约是是””a的的平平方方关关系系：：举例例12/31/202228U={1,5,7,9,20}序序偶偶中中前前元元比比后后元元“小小得得多多””的关关系系隶属属度度运运算算用用公公式式举例例12/31/202229模糊糊关关系系也也是是模模糊糊集集合合，，可可用用表表示示模模糊糊集集合合的的方方法法来来表表示示。。模糊糊矩矩阵阵：：将ui，vj作为为节节点点，，在在连连线线上上标标上上值值当论论域域为为有有限限集集合合时时，，用用矩矩阵阵和和图图的的形形式式更更形形象象地地加加以以描描述述模糊糊图图：：12/31/202230设U为为家家庭庭中中的的儿儿子子和和女女儿儿，，V为为家家庭庭成成员员中中的的父父亲亲和和母母亲亲，，对对于于““子子女女与与父父母母长长得得相相似似””的的模模糊糊关关系系R表表示示为为：：父母子女0.80.30.30.6举例例12/31/202231二、模模糊关关系的的合成成定义：：R∈F(UV),S∈∈F(VW)(R是是U到到V的的一个个模糊糊关系系，S是V到W的一一个模模糊关关系，，称U到W的模模糊关关系T为模模糊关关系R与模模糊关关系S的合合成。。记为为T=R◦S其中是并的的符号号，表表示对对所有有v取极大大值或或上界界值，，“”是二二项积积的符符号其隶属属函数数该合成成称为为最大－－星合合成(max-starcomposition)其中““◦”为为模糊糊矩阵阵的合合成运运算。。12/31/202232二项积积算子子“”可以以定义义为以以下几几种运运算：：交最大－－最小小合成成(max-mincomposition)最最常用用代数积积有界积积强制积积12/31/202233当论域域U、、V、、W为为有限限时，，模糊糊关系系的合合成可可用模模糊矩矩阵的的合成成表示示。12/31/202234已知子女与与父母长相相相像的关关系为：父母与祖父父母长相相相像的关系系：举例12/31/202235求：子女与与祖父母相相似关系模模糊矩阵按最大－最最小合成规规则：12/31/202236举例用U={x1,x2,x3}表示病人人集合，V={y1,y2,y3,y4,y5}表示症症状集合，，W={z1,z2,z3}表示病名名集合。从U到V的的模糊关系系为：12/31/202237R与S的复复合关系为为：从V到W的的模糊关系系为：从症状V到到病名集合合W的模糊糊关系S是是一个医学学诊断知识识库，它表表明了症状状与病名之之间的关系系程度。12/31/2022385.4模模糊糊逻辑与与近似推推理12/31/202239一、模糊糊命题、、语言变变量、模模糊算子子模糊命题题：含有模糊糊谓词的的句子例:““今天很很冷”““张三三年轻””不能简单单地用““F”、、“T”区区别模糊算子子：用于加强强或减弱弱语气的的词“极”，，“非常常”，““相当””：集中中化算子子“比较””，“略略”，““稍微””：散漫漫化算子子12/31/202240语言变量量：语言变量量由一个个五元体体(x,T(x),U,G,M)来表征征，其中中：x：语言变变量名称称，如年年龄，速速度等U：x的论域T(x)：语言言变量值值的集合合，其中中每个语语言变量量值都是是论域U上的模模糊集合合T(x)=T(速度)={慢慢，适中中，快，，很慢，，稍快，，…}G：语法法规则，，用以产产生语言言变量x的值的名名称M：语义义规则，，用以产产生模糊糊集合的的隶属度度函数Zadeh于1975年给出出了如下下的语言言变量的的定义：：12/31/202241二、模糊蕴含含关系2、模糊蕴含含积运算(Larsen)3、模糊蕴含含算术运算(Zadeh)“如果x是A，则y是B”(AB)表示了A与B之间的模糊蕴含关系系1、模糊蕴含含最小运算(Mamdani)12/31/2022424、模糊蕴含含的最大－最最小运算(Zadeh)5、模糊蕴含含的布尔运算算6、模糊蕴含含的标准运算算(1)12/31/2022437、模糊蕴含含的标准运算算(2)12/31/202244如果论域U和V是离离散的，则则模糊蕴含含关系R可可用模糊矩矩阵来表示示。对于离散的的模糊集合合A和B，，可用相应应的模糊向向量来表示示。则模糊蕴含含关系矩阵阵R可以采采用如下的的方法计算算：12/31/202245三、模糊推推理简言之,从从巳知条件件求未知结结果的思维维过程就是是推理。用传统的二二值逻辑迸迸行演绎推推理和归纳纳推理时,只要大前前提或推理理规则是正正确的，小小前提是肯肯定的，那那么就一定定会得到确确定的结论论然而,在现现实生活中中我们获得得的信息往往往是不精确的、、不完全的的;或者事实实本身就是是模糊而不完完全确切的的,但又必须须利用且只只能利用这这些信息进进行判断和和决策。此时,传统统的形式逻逻辑和近代代的数理逻逻辑均无法法解决这类类问题12/31/202246解决模糊性性问题就需需要用模糊糊推理。这种结论不不是从前提提中严格推推出来而是是近似逻辑辑地推出结结论的方法法,通常就就称为假言推理或或似然推理理。模糊推理是一种以模模糊判断为为前提,运运用模糊语语言规则,推出一个个新的近似似的模糊判判断结论的的方法。模糊逻辑推推理是一种种不确定性性的推理方方法。模糊推理是是一种近似似推理,提提法有两两种形式。。12/31/202247第一种提法法(广义的的肯定式推推理方式)：给定一个模模糊蕴含关关系：“若若A则B””,A∈V,B∈V”巳知某个A’，A’’∈V，求求从蕴含关关系能推断断出什么样样的结论B’?例如：已知模糊糊推理语句句：若“A大”,则“B小”,利用似然推推理进行推推理:如如果巳知“A偏大””,问B将如如何?模糊取式推推理：巳知：模糊糊蕴含关系系A→B的的关系矩阵阵R对于给定的的A’，A’∈U，，则可推得得结论B’’，B’∈∈V，B’=A’’◦R其中“◦◦”表示示合成运算算，即模糊糊关系的sup-*运算。12/31/202248第二种种提法法(广广义的的否定定式推推理方方式)：给定一一个模模糊蕴蕴含关关系：：“若若A则则B””,A∈V,B∈V”已知某某一个个B’’∈V，求求从蕴蕴含关关系能能推出出什么么样的的结论论A’’?例如：已知知模糊糊推理理语句句若“A大””,则则“B小””,利用似似然推推理进进行推推理:巳知知"B不不很小小"问A又又如何何?模糊拒拒式推推理：：巳知：：模糊糊蕴含含关系系A→→B的的关系系矩阵阵R对于给给定的的B’’，B’∈∈V，，则可可推得得结论论A’’∈UA’=R◦B12/31/202249例：已已知若A小则则B大大,当A=A’=[较较小]，问问B如如何?解：采采用(Zadeh)的模模糊蕴蕴含关关系Rm12/31/20225012/31/20225112/31/202252采用最大－－最小合成成它与[大]相比,显显然是比较大。因此不难发发现,由模模糊推理所所得到的结结论是与人人们的思想想相吻合的的。这样的模糊糊性推理采采用传统的的形式逻辑辑推理不可可能实现的的,而采用用建立在模模糊集合论论基础上的的模糊逻辑辑却能实现现上述推理理。12/31/202253四、句子连连接关系的的逻辑运算算1、句子连连接词“and”或者：模糊蕴含关关系记为：：规则为：如如果x是Aandy是B则z是C前提条件““如果x是Aandy是B”可可以看成是是直积空间间X×Y上上的模糊集集合，记为为A×B，，其隶属度度函数为：：其具体运算算方法也如如前面简单单模糊蕴含含关系那样样有6种，，如：12/31/202254如果x是A’andy是B’则则z是C’其中R是模模糊蕴含关关系，“”为合成运运算符。12/31/2022552、、句句子子连连接接词词also多条条控控制制规规则则，，之之间间无无先先后后次次序序。。连接接这这些些子子句句的的连连接接词词用用““also””表表示示。。一般般采采用用求求““并并””运运算算。。12/31/2022567.5基基于于控控制制规规则则库库的的模模糊糊推推理理一、、模模糊糊推推理理的的Mamdani法Mamdani推推理理法法是是一一种种在在模模糊糊控控制制中中普普遍遍使使用用的的方方法法,它它本本质质上上仍仍然然是是一一种种合合成成推推理理方方法法,只只不不过过对对模模糊糊蕴蕴含含关关系系取取不不同同的的形形式式而而已已。。ifAthenBifAithenBiifAthenBelseCR(u,v)=A(u)∧∧B(v)ifAandBthenC12/31/202257例：已知一个个双输入单输输出的模糊系系统，其输入入量为x和y，输出量为为z，其输入入输出关系可可用如下两条条模糊规则描描述：R1：如果x是A1andy是B1则z是C1R2：如果x是A2andy是B2则z是C2现已知输入为为x是A’andy是B’，试试求输出量z。这里里x，y，z均为模糊语言言变量，且已已知：12/31/202258解：所有模糊糊集合的元素素均为离散量量，所以模糊糊集合可用模模糊向量来描描述，模糊关关系可用模糊糊矩阵来描述述。为进一步的计计算，可将模模糊矩阵表表示成如下下的向量：1、求每条规规则的蕴含关关系12/31/20225912/31/2022602、求总的模模糊蕴含关系系R12/31/2022613、计计算4、计计算输输出量量的模模糊集集合12/31/202262输出量量z的的模糊糊集合合为：：12/31/202263二、模模糊推推理的的性质1、若若合成成运算算“”采用用最大大－最最小法法或最最大－－积法法，连连接词词“also””采用用求并并法，，则““”和““also”的的运算算次序序可以以交换换，即即：2、若若模糊糊蕴含含关系系采用用Rc和Rp时，则则有：：12/31/2022643、对对于`的推理理结果果可以以采用用如下简简洁的的形式式表示示：推论：：如果果输入入量的的模糊糊集合合和模模糊单单点，，即：：则：12/31/202265结合合性性质质1和和性性质质3，，可可以以得得到到：：这里里i可以以看看成成是是相相应应于于第第i条规规则则的的加加权权因因子子，，它它也也看看成成是是第第i条规规则则的的适适用用程程度度，，或或者者看看成成是是第第i条规规则则对对模模糊糊控控制制作作用用所所产产生生的的贡贡献献的的大大小小。。12/31/2022667.6模模糊糊控控制制的的基基本本原原理理一、、模模糊糊控控制制器器的的基基本本结结构构和和组组成成模糊化模糊推理清晰化控制对象知识库参考输入输出二、、模模糊糊化化将输输入入的的精精确确量量转转换换成成模模糊糊化化量量。。12/31/2022671、、输输入入量量变变换换：：其中中k称为为比比例例因因子子。。例：：若若实实际际的的输输入入量量为为x0*，，其其变变化化范范围围为为[xmin*，，xmax*]，，若若要要求求的的论论域域为为[xmin，xmax]，，若若采采用用线线性性变变换换，，则则：：尺度度变变换换，，将将实实际际的的输输入入量量变变换换到到要要求求的的论论域域范范围围。。变换换可可以以是是线线性性的的，，也也可可以以是是非非线线性性的的。。如果果要要求求离离散散的的论论域域，，则则需需要要将将连连续续的的论论域域离离散散化化或或量量化化。。量量化化可可以以是是均均匀匀的的，，也也可可以以是是非非均均匀匀的的。。12/31/202268单点模糊糊集合：：如果输入入数据x0是准确的的，则通通常将其其模糊化化为单点点模糊集集合。设设该模糊糊集合用用A表示示，则有有：三角形模模糊集合合：如果输入入数据存存在随机机测量噪噪声，这这时模糊糊化运算算相当于于将随机机量变换换成模糊糊量。取取模糊量量的隶属属度函数数为等腰腰三角形形，或铃铃形函数数，即正正态分布布函数：：x0xx0-x0+2、将论论域范围围内的输输入量进进行模糊糊处理：：用模糊糊集合表表示。12/31/202269三、清晰化化其中z0表示清晰值值。若输出出量的隶属属度函数有有多个极值值，则取这这些即值的的平均值为为清晰值。。z0zab1、将模糊糊的控制量量经清晰化化变换成论论域范围内内的清晰量量最大隶属度度法：若输出量模模糊集合C’的隶属属度函数只只有一个峰峰值，则取取隶属度函函数的最大大值为清晰晰值，即：：中位数法：：12/31/202270加权平均法法：也称重重心法取的的加加权平均值值为z的清清晰值，即即：12/31/202271变换的方法法可以是线线性的，也也可以是非非线性的。。若z的变变化范围为为[zmin，zmax]，实际控控制量的变变化范围为为[umin，umax]，采用用线性变换换，则：其中k称为比例因因子。2、将表示示在论域范范围内的清清晰量经尺尺度变换成成实际的控控制量12/31/202272四、输入和和输出空间间的模糊分分割模糊分割是是要确定对对于每个语语言变量取取值的模糊糊语言名称称的个数，，模糊分割割的个数决决定了模糊糊控制精细细化的程度度。也可以为非非对称和非非均匀分布布语言名称通通常均具有有一定的含含义。NB：负大大(NegativeBig)；NM：负中中(NegativeMedium)NS：负小小(NegativeSmall)；ZE：零(Zero)PS：正小小(PositiveSmall)；PM：正中中(PositiveMediumPB：正大大(PositiveBig)12/31/202273x-101NZPx-101ZEPSPMPBNSNMNB模糊分割的个个数也决定了了最大可能的的模糊规则的的个数。12/31/202274五、模糊集合合的隶属度函函数1、数值描述述法x0是中心值2是方差对于论域为离离散，且元素素个数为有限限时，模糊集集合的隶属度度函数可以用用向量或者表表格的形式来来表示。2、函数描述述法最常见的有铃铃形函数、三三角形函数、、梯形函数。。12/31/202275六、论域为离离散时模糊控控制的离线计计算当论域为离散散时，经过量量化后的输入入量的个数是是有限的，因因此可以针对对输入情况的的不同组合离离线计算出相相应的控制量量，从而组成成一张控制表表，实际控制制时只要直接接查这张控制制表即可，在在线的运算量量是很少的。。k1k2k3量化量化控制对象控制表－ryex0y0z0u论域为离散时的模糊控制系统结构相当于非线性性的PD控制制k1，k2，k3：尺度变换的的比例因子。。12/31/202276设e，和和u的的变换换范围围分别别为：：并设x，y，z的论论域分分别为为：则：设：量化的功能能是将将比例例变换换后的