概率论与数理统计：1-4 全概率与贝叶斯公式

§1.4全概率与贝叶斯公式

返回目录10582(一)条件概率例1某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场供应矿泉水,每个浴场装一个阀门,25个阀门购自两家生产厂,部分有缺陷,A:有缺陷无缺陷B:生产厂1生产厂2已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率:定义

设A,B是两个事件,称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.1°非负性:对任事件

B，有3°可列可加性:2°规范性:两两互不相容,则例2市场上供应的某种商品中,甲厂产品占65%,乙厂产品占35%,甲厂产品的次品率为3%,乙厂产品的次品率为2%,事件A

表示甲厂的产品,B

表示产品为次品,试写出概率:解:例3某动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,已知活到20岁,它能活到25岁的概率是多少?解:A=“活到20岁”,B=“活到25岁”例4若M

件产品中包含m件废品(m<M),今从中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的概率;解:(1)设A=“两件中至少有一件是废品”,B=“两件都是废品”(2)已知取出的两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的概率;设C=“两件中至少有一件不废品”,D=“两件中恰有一件是废品”(二)乘法公式证：乘法定理推广A,B,C是随机事件,n

个事件,例1

盒中有5个白球2个黑球，

（3）不放回取两次，每次取一个球，每次取出一个球后都放回一个黑球，求两次取到的都是白球的概率（2）不放回取两次，每次取一个球，求两次取到的都是白球的概率（1）有放回取两次，每次取一个球，求两次取到的都是白球的概率解：表示第一，二次取到白球（1）(三)全概率公式与贝叶斯公式定义设S

是试验E

的样本空间，是试验E

的一组事件,若则称为样本空间S的一个划分.组成样本空间S的一个划分.2*所有基本事件组成样本空间S的一个划分.

试验E

的样本空间是S为S的一个划分证明：定理(全概率公式)任一事件A,组成样本空间S的一个划分.例8袋中有10个球,3个白球,2个黑球,5个红球,采用不放回抽样,每次任取一个,求第二次取到白球的概率.分别表示第一次取到白球、黑球、红球A=“第二次取到白球”,组成样本空间S的一个划分.组成样本空间S的一个划分.注:例9市场上某种商品由三厂家同时供货,其供应量第一厂家是第二厂家的二倍,第二,三两个厂家相等.各厂产品的次品率依次为2%,2%,4%,现从市场上买一件产品是次品的概率是多少?解:设“买到第k家厂生产的产品”A=“买到次品”,例10例9中,如现从市场上买一件次品,问它是第一个工厂生产的概率是多少?

试验E

的样本空间是S为S的一个划分定理

贝叶斯公式(Bayes)任一事件A,称为先验概率,称为后验概率,在获得试验中事件A已经发生这个信息之后,事件

发生的条件概率.例11某地区居民的肝癌发病率为0.0004,用甲胎蛋白法检查肝癌,A=“检查为阳性”,B=“该地区居民患肝癌”求某人已检出阳性,问他患肝癌的概率.解:

医生应该采用的方法是,当怀疑某人有可能患肝癌时才建议作甲胎蛋白检验.结果说明:肝癌发病率很低,10000人中大约4人患肝癌,9996位不患肝癌人中呈阳性的练习题2.看某报纸广告的人数占该报读者的15%,有30%的读者看了广告后去看商品,求读者看了广告并去看商品的概率.3.某射手第一次击中目标的概率是1/2,如第一次未击中,则进行第二次射击,击中目标的概率是2/9,如又未击中,则进行第三次射击,击中目标的概率是1/8,求射手击中目标的概率.1.事件A,B满足4.申请某工作的人中1/3是大学毕业生,这些大学毕业生中的1/4是具有一年以上的工作经验,随机地挑选一个申请人,这个人是大学毕业生且他(她)至少有一年工作经验的概率是多少？5.一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球,现采用不放回方式从中摸球两次,每次一个,求:(1)第二次才取到白球的概率；(2)第二次取到白球的概率.7.已知一批产品有70%的合格品,检验产品时,一个合格品被误认为是次品的概率是2%,一个次品被误认为是合格品的概率是8%,求一个检验为合格的产品确实是合格品的概率.6.甲,乙,丙三名射手打靶的命中率分别为4/5,3/4,2/3,他们同时各打一发子弹,结果恰有两弹中靶,试求丙未中靶的概率.8.甲袋中有2个黑球,3个白球,乙袋中有1个黑球,3个白球,丙袋中有3个黑球,1个白球,从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球放入丙袋,最后从丙袋中任取一球,求最后取到白球的概率.10.设A,B为两个随机事件,若,证明：

9.A箱中装有M个黑球,B箱中装有M个白球,从B箱中随机地取出一球投入A箱中,然后从A箱中随机地取出一球投入B箱中,称此为一次交换.试求经过如此M次交换后,A

箱中有M个白球的概率.练习题答案1.a+b-bc

2.0.0453.95/1444.1/125.设“第i

次抽到白球”6.设事件B=“恰有两弹中靶”分别表示甲,乙,丙未中靶7.设A=“产品是合格品”,B