备战2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题63事件的关系与概率运算

专题63事件的关系与概率运算【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力 .难度控制在中等以下.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明 ^1、事件的分类与概率：(1)必然事件：一定会发生的事件，用G表示，必然事件发生的概率为100%(2)不可能事件：一定不会发生的事件，用0表示，不可能事件发生的概率为 0%(3)随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母 A,B,C进行表示，随机事件的概率P-1.0,112、事件的交并运算：(1)交事件：若事件C发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件，记为A0|B,简记为AB多个事件的交事件： A("14。…PlAn：事件A,A2,IH,A同时发生(2)并事件：若事件C发生当且仅当事件A与事件B中至少一个发生(即A发生或B发生)，则称事件C为事件A与事件B的并事件，记为AUB多个事件的并事件： aUaUi+Ua：事件A,A2JH,An中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式：(1)互斥事件：若事件A与事件B的交事件Ap|B为不可能事件，则称A,B互斥，即事件A与事件B不可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A,“出现3点”为事件B,则两者不可能同时发生，所以A与B互斥(2)若一项试验有n个基本事件：A,A2』H,An,则每做一次实验只能产生其中一个基本事件， 所以A1,A2,IH,An之间均不可能同时发生，从而a,a2,IM,A两两互斥(3)概率的加法公式(用于计算并事件) ：若AB互斥，则有PaUb)：=PAPB例如在上面的例子中，事件AUB为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得P(A)=P(B)=1,所以根据6加法公式可得： PAUB=PAPB13(4)对立事件：若事件A与事件B的交事件Ap|B为不可能事件，并事件AUB为必然事件，则称事件B为事

件A的对立事件，记为B=A,也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式： P(A)=1-P(A),关于对立事件有几点说明：①公式的证明：因为A,A对立，所以A「［A=0,即A,A互斥,而A|jA=C,所以P(c)=P(aUA)=P(A)+P(A),因为一P(Q)=1,从而P(A)=1-P(A)②此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件 A的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解③对立事件的相互性：事件B为事件A的对立事件，同时事件A也为事件B的对立事件④对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知： A,B对立，则A,B一定互斥；反过来，如果A,B互斥，则不一定A,B对立(因为可能AlJB不是必然事件)4、独立事件与概率的乘法公式：(1)独立事件：如果事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率，则称事件A与事件B相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是 1”为事件A,“第二个骰子的点数是2”为事件B,因为两个骰子的点数不会相互影响，所.以A,B独立(2)若A,B独立，则A与B,B与A,A与B也相互独立(3)概率的乘法公式：若事件A,B独立，则A,B同时发生的概率P(AB)=P(A)-P(B)，比如在上面那个例一， 1 1 一子中，p(a)=6，p(b)=6,设“第一个骰子点数为1,且第二个骰子点数为2”为事件c,则- 1PC=pab=papb=-.36(4)独立重复试验：一项试验，只有两个结果 .设其中一个结，果为事件A(则另一个结果为A),已知事件A发,则在n次中事件A恰好发生k次的概率为1………,则在n次中事件A恰好发生k次的概率为1………-为例，设Ai为“第i次正面向上”，由均匀3PB=PA1A2A3PAA2A3PA1A2A3kk n”P=CnP1-p①公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为1的硬币可知pA=—，设B为恰好2次正面向上”，则有:2十,—L, — , ,一, 「1:「1)而PAA2A=PAAA=PAAA=2 2PB=3

g_k②Cn的意义：是指在n次试验中事件A在哪k次发生的情况总数，例如在上面的例子中“ 3次投掷硬币，两次正面向上”，其中c3"代表了符合条件的不同情况总数共 3种5、条件概率及其乘法公式：(1)条件概率：(2)乘法公式：设事件AB,则A,B同时发生的概率P(AB)=P(A"P(B|A)PAB———!即可计算PA(3)计算条件概率的两种方法： (以计算P(B|A)为例)①计算出事件A发生的概率P(A户口ABPAB———!即可计算PA②按照条件概率的意义：即B在A条件下的概率为事件A发生后，事件B发生的概率.所以以事件A发生后的事实为基础，直接计算事件B发生的概率6、两种乘法公式的联系：独立事件的交事件概率： PAB]=PAPB含条件概率的交事件概率： PAB：,：-PAPB|A通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关， 且事件A,B通常存在顺承的关系， 即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率(即条件概率)【经典例题】例1.【2019年全国卷出文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【答案】B【解析】分析：由公式P(再P⑷+P网+「(网计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则.••… .•：因为.・ ：所以..：：故选B.例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 ,D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球孑若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒3若丙意中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒3若丙盒中放入的是黑球，贝破页保证抽到的两个球都是黑球WA：：由于抽到的两个球是红理和黑球的次数是奇氮还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的』故选C. 1 例3.12016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 -,甲获胜的概率是-,则甲不输的概率TOC\o"1-5"\h\z3为( )(A)— (B)— (Q— (D)—6 5 6 3【答案】A【解析】甲不输概率为1+1=5选A.236【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题 .运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法 .对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.例4.从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 .上述事件中，是对立事件的是( )A.①B. ②④C. ③D. ①③【答案】C

【解析】思路：任取两数的所有可育物｛两个奇数W一个奇数一个偶数3两个偶数｝,若是对立事件,则首先应该是互月事件7分别判断每种情况：①两个事件不是互后事件，②”至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互后，③“至少T奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数''恰好对立，©“至少有一个奇数”和.至少有一个偶数”均包含竞一奇一偶”的情况，所以不互斥.综上所述，只有③正确答案：C..已知每例5.已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为23 2,3,则甲胜出的概率为(55A.1625B.18一局甲，乙两人获胜的概率分别为23 2,3,则甲胜出的概率为(55A.1625B.1825C.1925)D.2125【解析】思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件A为“甲在第i局获胜”，事件B为“甲胜出”，则P(B尸P(A1)+P(AA2),依题意可得:— — 32 6两场比赛相互独立，所以P(AA2)=P(A)P(A2)=M二=短两场比赛相互独立，所以5525, 16从而pB7--25答案：A例6.如图，元件A(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立， 则电流能在M,N之间通过的概率是( )0.864D. 0.9891A.0.729B. 0.864D. 0.9891【答案】B【答案】B【解析】思路：先分析各元件的作用，若 要在M,N之间通过电流，则之必须通过，且A,A2这一组与A3两条路至少通过一条.设A为“A,A2通过”，则P(A)=0.92=0.81,设B为“A3通过"，P(B)=9)，那么“至少通过一条”的.概率P=1—P(AB)=1—P(A)P(B)=0.019,从而M,N之间通过电流的概率为0.0190.9=0.8829

答案：B.i i - 1例7.事件A,B,C互斥事件，右P(AB)=1P(BC)=-,P(ABC)=-,则P(B产【答案】12【解析】分析：根据互斥事件的关系列出方程，解出P(B).详解；i§P(A)=a,P(B)=b«P(C)=c.因为尸C)="1(N '所以｛。_匕”=：8ab(l-cj所以a所以a=g,b=1 1—.c=—2 4点睛：本题主要考查相互互斥事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题例8.甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是24【解析】思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球.所以本问题实质上为“取TOC\o"1-5"\h\z到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率 .设事件A为“取出甲袋”，事件B为“取出白球”，分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋，则P=P(A)P(B|A),1 5 155 _ _依题意可得：P(A)=一,P(B|A)=—，所以P=--=一；若取出的是乙袋，则P2=P(A”P(B|A),2 12 212241—42 121 13依题意可得：PA=一,PB|A=—=一,所以巳=一■—=—，综上所述，取到白球的概率P=P+P2=——2 63 233 24

答案：1324例9.已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概… 1【答案】p=—5【解析】解：方法一：按照公式计算 .设事件A为“甲未中奖”，事件B为“乙中奖”，所以可得:事件AB为“甲未中奖且乙中奖”,则事件AB为“甲未中奖且乙中奖”,则PAB)二c5C11 P AB1—.所以P(B|A)=」 -=-6 P A5方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是1有奖的，所以乙中奖的概率为 P=15例10.若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.4,乙胜的概率为0.6,比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.（写出计算过程）【答案】甲获胜的可能性大【解析】试题分析：分别求出三局两胜和五局三胜情况的获胜得概率，比校大小即可得结论试题解析：解：三局两胜制中：甲获胜概率为：^=0,4x04+04x06x0440.6x04x0,4=0,352=06x06406x04x06+04x06x06^0648,五局三胜制中：品=06+3x061x64x04+4x0*x061x0.6-061344,比较得在五局三胜制中获胜概率大

【精选精练】1.12019届福建省百校临考冲刺】现有大小形状完全相同的 4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将TOC\o"1-5"\h\z这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ）115 2A.1B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据古典概型的概率求解方法，列出4个小球所有排列的可能共有 12种，则能够?t足中间2个小球不都是红球的有2种情况，所以根据独立事件的概率计算方法可求出概率 ^详解：根据古典概型的概率计算，设白球为 A蓝土^为B,红土^为CC,则不同的排列情况为ABCC,ACBC,ACCB,BACC,BCAC,B）A,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA12种情况，其中红球在中间的有

2_1ACCB,BCC的种情况，所以红球都在中间的概率为 1所以中间两个小球不都是红球的概率为所以答案选C.2.【2019届华大新高考联盟4月检测】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日 ：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取 3个节日来讲解其文化内涵，那么春节被选中的概率是 （）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【解析】分析:春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选中，由此能求出春节和髓午节至少有一个被选中的概率详解：:春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选中,故选D.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用.2 ，，一 ， ，3.已知某同学在高二期末考试中， A和B两道选择题同时答对的概率为-,在A题答对的，3.已知某同学在高二期末考试中， A和B两道选择题同时答对的概率为3概率为8,则9概率为8,则9A.-B.4A题答对的概率为1 C.3 D.2 4()【解析】做对A题记为事件E,做对B题事件F, 2根据题意P(EF)=2,3又P(F又P(F|E)=PEFPETOC\o"1-5"\h\z- 3解得RE）=3.4故答案为：C4 2.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成 5道自我检测题，甲及格的概率为 4,乙及格的概率为-,丙及格的概5 5率为2,则三人至少有一个及格的概率为（3A..125【答案】B.16C.3A..125【答案】B.16C.24D.5975【解析】解析:由题设可知甲、乙、丙三位同学都不及格的概率是.4.2.2 11——I1——I1——I==—,故甲、乙、丙.5.5.3 251 24三位同学都至少有一个及格的概率是 1—2=24,应选答案C..对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A=｛两次都击中飞机｝,B=｛两次都没击中飞机｝,C=｛恰有一弹击中飞机｝,D=｛至少有一弹击中飞机｝，下列关系不正确的是（ ）A.A?DB.BAD=C.AUC=DD.AUC=BUD【答案】D【解析】事件。灯恰有一弹击中飞机“包含两种情况：一种是第一枚击中第二枚没中，第二种是第一枚没中第二枚击中.事件D',至少有一强击中''包含两种情况:一种是恰有一涯击中，一种是两强都击中.对于选项&事件A包含在事件D中，故A正确.对于选项历由于事件B,D不能同时发生，故才14，正确.对于选项C,由题意知正确.对于选项5由于AjHg｛至少有一弹击申飞机｝,不是必然事件3而员J硒必然事件，所以/U洋的卫故D不正确.选D..抛掷一枚骰子，“向上的点数是 1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则（ ）A?BA=BA+B表示向上的点数是1或2或3AB表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】设A=｛1,2｝,B=｛2,3｝,Acb=｛2｝,AjB=｛1,2,3｝,所以A+B表示向上的点数为1或2或3,故选C..牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访 6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ）12 3 4A.B.C.D.【答案】C1解析】分析：从6名外国游客中选取2人进行采访，共有谶=1辟中不同的选法，其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有G玛+C==8+1=9种不同选法，由古菽概型的概率计算公式即可求解.详解：由题意，从6名外国游客申选取2人进行采访，共有覆=1环中不同的选法，其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有禺能+C?=8+1=9种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得?=£=%故选C..【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二） 】已知圆柱门⑶的底面半径为】，高为3若区域时表示圆柱门。'及其内部，区域N表示圆柱内到下底面的距离大于1的点组成的集合，若向区域附中随机投一点，则所投的点落入区域内中的概率为（ ）12 5 1A.B.C.D.1【答案】C【解析】分析：根据题意，求得圆柱 门。’的体积和区域N所表示的小圆柱的体积，根据几何概型，即可求解相应的概率.详解：由题意，易知圆柱的体积为炉=4*VxGnSk,因为区域N表示圆柱内到下底面的距离大于1的点组成的集合，苏一区域N表示圆柱内的一个小圆柱（与圆柱a”共上底面），且小圆柱的体积为叫根据几何概型，得所投入的点落在区域 N中的概率为 y6河6故选C.9.12019届江西省重点中学协作体第二次联考】已知一袋中有标有号码 1、2、？的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取 5次卡片时停止的概率为（ ）5 14 222SA.B.:C.:D.【答案】B【解析】分析:由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有3斗椁由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有C[Q4-2）种：所以恰好第5次停止取卡片的概率为狗=咒尸二青本题选择B选项.10.向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点， 事件B表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于 4,则（ ）A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件【答案】D【解析】分析：根据互斥事件和对立事件的概念，逐一判定即可.详解：对于A、B中，当向上的一面出现点数1时，事件”出同时发生了，所以事件』与日不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件B与不能同时发生且一定有一个发生，所以事件 B与,是对立事件，故选D.11.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0