数学分析课件：8-3正项级数的其他判别法

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习题7.3正项级数的其它判别法1、3),7),8);2、3),4),7);

§8.3正项级数的其他判别法一、判别法⒈证明：（根值判别法）⒉极限形式证明：⒊推论：注:①②由根值法知级数均收敛.例1.例2.解：发散.例3.收敛.例4.失效！

说明柯西判别法还比较粗糙,主要原因是与(几何)等比级数比较.例5.但是发散二、达朗伯尔引理：⒈证明：相乘：⒉证明：⒊极限形式：①②证明：⒋推论：注：⒈⒉如前例1条件是充分的,而非必要.

例如级数由于

故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.

根据P22习题8,当时,必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,也能

由根式判别法来判别,亦即根式判别法较之比式判更有效，由根式可知上例收敛。那么,是否就不需要比式判别法了？5.更适用于带有阶乘的级数例6.发散例7.例8讨论级数

的敛散性.解因为根据推论1,当

0<x<1时级数收敛;当

x>1时级数发散;而当x=1时,所考察的级数是,它显然也是

发散的.三、判别法（与p级数相比）⒈思考：变形启发我们：（了解）⒉判别法①②证明：①从而此即据引理，②⒊极限形式可等价叙述为：（证明留作习题）例8.易知：失效故收敛.解：D’Alembert法失效收敛！例9.根式法更广泛,

但当

r=1时仍无法判别.

而从例12

似乎可以得出这样得结论：没有收敛得“最慢”的收敛级数.因此任何判别法都只能解决一类级数的收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题.当然我们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法,但这个过程是无限的.从上面看到,

拉贝判别法虽然判别的范围比比式或四、Gauss判别法（了解）等价形式为：要求：⒈

熟练掌握：比较判别法及其极限形式,Cauchy判别

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