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文档简介

第四节

一阶线性微分方程一、线性方程二、伯努利方程三、小结实例1.问题的提出有一电路图,如图所示,解根据基尔霍夫定律可得方程*基尔霍夫(G.R.Kirchhoff,1824～1887),

德国物理学家.他于1845年提出此定律一、线性方程2.定义方程(1)称为齐次的.方程(1)称为非齐次的.对应齐次方程一阶线性微分方程的标准形式:方程(2)称为方程(1)对应的齐次方程齐次方程的通解为(1)线性齐次方程3.解法是可分离变量的方程*齐次方程通解中的不定积分记号表示一个确定的原函数作变换(2)线性非齐次方程对应齐次方程的通解为

?积分得√方程(1)的通解为将齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称为常数变易法实质:

未知函数的变量替换.对应齐次方程通解非齐次方程特解*什么是常数变易法?非齐次通解=对应齐次通解+非齐次特解解例1故方程的通解为代入通解公式得简解方程的通解为2005研故所求特解为*应用通解公式时必须将方程化为标准形式例2解例3代入公式得稳态电流暂态电流故所求特解为分析

将上式改写为(1)(2)解(1)列方程例4(2)求解伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程(3)为线性微分方程

方程为(3)非线性微分方程二、伯努利方程1.定义*伯努利方程(3)是由詹姆斯.伯努利(JamesBernoulli,瑞士数学家,1654-1705)于1695年提出的求出通解后,将代入即得代入上式2.解法*此变量替换由莱布尼兹于1696年给出解例5

?解法一代入原方程得隐式通解为解法二例6可分离变量的方程x关于y的一阶线性非齐次方程*解法二如何理解?三、小结2.线性非齐次方程3.伯努利方程变量替换常数变易法思考题证明方程(1)的通解公式包含了它的一切解.1.线性齐次方程变量分离法(1)常数变易法;(2)变量替换;(3)改变变量的属性

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