高中数学高考68第十章 计数原理 10 3　二项式定理

§10.3二项式定理最新考纲考情考向分析会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第项二项式系数二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1.Ceq\o\al(m,n＋1)＝(2)Ceq\o\al(m,n)＝(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝.概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？2．二项展开式形式上有什么特点？3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Ceq\o\al(k,n)an－kbk.()(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.()题组二教材改编2．[P31例2(1)](1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．103．[P31例2(2)]若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．1204．[P41B组T5]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6题组三易错自纠5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．Ceq\o\al(m,n) B．Ceq\o\al(m＋1,n)C．Ceq\o\al(m－1,n) D．(－1)m－1Ceq\o\al(m－1,n)6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A．5B．6C．7D．87．(xeq\r(y)－yeq\r(x))4的展开式中，x3y3项的系数为________．题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)(2017·全国Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．(3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________．命题点2求参数例2(1)(2018·海口调研)若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．1D．2(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,ax)))6的展开式中常数项为eq\f(15,16)，则实数a的值为()A．±2B.eq\f(1,2)C．－2D．±eq\f(1,2)跟踪训练1(1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.(2)(2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．(3)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．跟踪训练2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.题型三二项式定理的应用例4(1)设a∈Z且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12(2)设复数x＝eq\f(2i,1－i)(i是虚数单位)，则Ceq\o\al(1,2017)x＋Ceq\o\al(2,2017)x2＋Ceq\o\al(3,2017)x3＋…＋Ceq\o\al(2017,2017)x2017等于()A．iB．－IC．－1＋iD．－1－i跟踪训练3(1)(2018·泉州模拟)1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq\o\al(k,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87(2)若(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，则eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2018,22018)＝________.1．(2018·贵港联考)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))6的展开式中，常数项为()A．－240B．－60C．60D．2402．(2018·南宁联考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中x3项的系数为()A．80B．－80C．－40D．483．(2018·广州海珠区模拟)(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．804．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为()A．21B．35C．45D．285．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20B．－15C．15D．206．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为()A．－4B.eq\f(5,2)C．4D.eq\f(7,2)7．(2018·长郡中学质检)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为()A．560B．－560C．280D．－2808．(2018·益阳市、湘潭市调考)若(1－3x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018的值为()A．22018－1 B．82018－1C．22018 D．820189．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.(用数字作答)10．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(b,x)))6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________.11．9192除以100的余数是________．12．(2018·南阳模拟)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝__________.(用数字作答)13．(2018·珠海模拟)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于()A．45B．60C．120D．21014．(2018·衡水模拟)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))n(n∈N*)的展开式中所有项的二项式系数