2021-2022学年吉林省长春市吉大中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年吉林省长春市吉大中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是定义在上的奇函数，当时，，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A2.方程的解所在的区间是（

）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)参考答案：C【分析】令，根据是上的单调递增的连续函数，，由零点的存在性定理，进而可得结论.【详解】由题意，令，则关于的方程的解所在的区间就是函数的零点所在的区间，易证是上的单调递增的连续函数，又，，所以，由零点的存在性定理知，函数的零点所在的区间为，故方程的解所在的区间为.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题.3.已知函数，，记函数，则函数的所有零点的和为（

）A.5

B.-5

C.10

D.-10参考答案：A4.已知向量反向，下列等式中成立的是 （

） A． B．C． D．参考答案：C5.已知函数，则的值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略6.全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，则（?UA）∩（?UB）=（）A．{1，3，4，8} B．{1，2，4，5，6，7，8}C．{2，7，8} D．{2，3，4，7}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先分别求出?UA，?UB，再求出（?UA）∩（?UB）即可得知正确选项．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，∴?UA={1，2，6，7，8}，?UB={2，4，5，7，8}∴（?UA）∩（?UB）={2，7，8}故选A．【点评】本题考查集合的补集、交集的计算，属于简单题．7.直线ax+2y﹣1=0与直线2x﹣3y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两条直线垂直的充要条件，建立方程，即可求出a的值．【解答】解：∵直线ax+2y﹣1=0与直线2x﹣3y﹣1=0垂直，∴2a+2×（﹣3）=0，解得a=3，故选A．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系的应用，考查计算能力，属于基础题．8.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，(m为常数)，则的值为()A．－3

B．－1

C．1

D．3参考答案：A9.设，，若是与的等比中项，则的最小值为（

）A.2 B. C.3 D.参考答案：C【分析】先由题意求出，再结合基本不等式，即可求出结果.【详解】因为是与的等比中项，所以，故，因为，，所以，当且仅当，即时，取等号；故选C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

10.已知全集，，，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A,是不包括0,2的整数集,所以

.综上所述,答案选择A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=的增区间是________参考答案：（-]略12.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

参考答案：13.在△ABC中，,其面积，则BC长为________.参考答案：49【分析】根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得.【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.14.（5分）函数fM（x）=，其中M是非空数集且M是R的真子集，若在实数集R上有两个非空子集A，B满足A∩B=?，则函数F（x）=的值域为

．参考答案：{1}考点： 函数的值域；交集及其运算．专题： 新定义；函数的性质及应用；集合．分析： 对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．解答： 当x∈CR（A∪B）时，f（A∪B）（x）=0，fA（x）=0，fB（x）=0，∴F（x）==1，同理得：当x∈B时，F（x）=1；当x∈A时，F（x）=1；故F（x）=，则值域为{1}．故答案为：{1}．点评： 本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的函数fM（x）的正确理解，属于创新型题目．15.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人。参考答案：略16.某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座号应该是__________参考答案：18略17.函数的定义域为

(用区间表示)．参考答案：解得，即定义域为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，与的夹角为。（1）求与的夹角的余弦值；（2）当取得最小值时，试判断与的位置关系，并说明理由。参考答案：（1）设与的夹角为，于是，于是。（2）令当且仅当时，取得最小值此时所以.略19.已知圆，直线过定点.（1）求圆C的圆心和半径；（2）若与圆C相切，求的方程；（3）若与圆C相交于P，Q两点，求三角形面积的最大值，并求此时的直线方程.参考答案：（1）将圆的一般方程化为标准方程，得∴圆心，半径.

2分（2）①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意．

3分

②若直线斜率存在，设直线，即.∵与圆相切.∴圆心到已知直线的距离等于半径2，即

4分解得.

5分∴综上，所求直线方程为或．

6分（3）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为.则圆心到直线l的距离

7分又∵面积9分∴当时，.

10分由，解得 11分∴直线方程为或.

12分20.（本小题满分13分）已知函数，，．⑴求常数的值；⑵求的最大值．参考答案：⑴……4分，由得⑵时，，……11分，因为，所以的最大值.略21.函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．（2）利用函数的单调性将不等式转化为4x+a?2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指数不等式的性质求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：令x=，y=3得f（1）=[f（）]3，∵．∴所以f（1）＞1．令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]y，即f（x）=[f（1）]x，为底数大于1的指数函数，所以函数f（x）在R上单调递增．（2）f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，对任意x∈R，有f（x）＞0，故f（0）=1，f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥f（0），由（1）有f（x）在R上是单调增函数，即：4x+a?2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立令2x=t，t＞0则t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；ii）得．综上可知．22.（14分）若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]?D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．（1）函数h（x）=x2（x≤0）是否是正函数？若是，求h（x）的等域区间，若不是，请说明理由；（2）已知是[0，+∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；（3）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：考点： 分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）先假设h（x）是正函数，则当x∈[a，b]时，即，判断此方程是否有解即可；（2）因为是[0，+∞）上的正函数，然后根据正函数的定义建立方程组，解之可求出f（x）的等域区间；（2）根据函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+m+1=0在区间（﹣1，﹣）内有实数解进行求解．解答： （1）函数h（x）=x2（x≤0）不是正函数．理由如下：因为函数y=x2在（﹣∞，0]上单调递减，若h（x）是正函数，则当x∈[a，b]时，即，消去b得a3=1，而a＜0，∴无解所以函数h（x）=x2（x≤0）不是正函数．（2）因为=是[0，+∞）上的正函数，且在[0，+∞）上单调递增，所以当x∈[a，b]时，即，解得a=0，b=1