工科数学分析第二章26无穷小与无穷大

函数与极限1无穷小(infinitelysmall)第六节无穷小与无穷大第一章函数与极限无穷小的比较无穷大小结思考题作业2

拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.

牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无穷小的方法.的理论称为“无穷小量分析”.常常把整个变量

欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以《无穷小分析引论》.即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家(1642—1727)牛顿拉格朗日意大利数学家、力学家(1736—1813)瑞士数学家(1707—1783)欧拉都可以转化为一种简单而重要的变量,

数学分析的历史表明,较复杂的变量,很多变化状态比3定义1.

极限为零的变量称为无穷小量,简称如,无穷小是指函数变化的趋势.}无穷小.一、无穷小在某个过程中4定义2记作1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;2)零是可以作为无穷小的唯一的数.注“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.“无限制变小的量”5证定理1恒有也即2、无穷小与函数极限的关系6于是恒有即类似可证明的情形.定理17例8二、无穷小的比较如,不可比.观察各极限是无穷小.不存在.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.9定义都是无穷小.记作特别,当10记作记作11则记作特别任意一个有界变量总可写成记作也称的主部.12如高阶无穷小,同阶无穷小.因为二阶无穷小.13例研究下列极限有界量与无穷小之积为无穷小.例证明:14关于的运算,有下面常用的两个规则.定理2

注意:上述式子反映的是性质不是数量关系.15特别,时有下列无穷小的性质.性质1是无穷小是无穷小。性质2（比较性质）若是无穷小，且则也是无穷小。在同一过程中,有限个无穷小的代数和性质3仍是无穷小.16

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注不是无穷小.17证性质4有界函数与无穷小的乘积是无穷小.则当恒有所以18

在同一过程中,有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小.推论1的乘积是无穷小;推论2推论3推论419例解例解20定理3证因此设则因此设则下面给出一个等价无穷小的两个重要性质.21

两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小;此定理说明:或者说,一个无穷小22定理4(等价无穷小替换定理)注意:在计算过程中,无穷小因式可用其等价无穷小代替.23常用的几个等价无穷小:则24等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替.给型未定式的极限运算带来方便.例求=1/2=-1=1/225例解

加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.注26例解解错27三、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.如,是无穷大;是无穷大.28定义3记作特殊情形:正无穷大,负无穷大．

定义定义29(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界函数,注(3)无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大.但是无界函数30

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;证定理5恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.2.无穷小与无穷大的关系此时对使得当31关于无穷大的讨论,意义无穷小的讨论.都可归结为关于

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;定理4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.此时对使得当323.无穷大的比较对于无穷大同样有下面的比较.定义都是无穷大,则当33例试确定的值,使34无穷小的概念;无穷小的比较,性质;无穷小与函数极限的关系;无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系.四、小结