2022-2023学年人教A版 必修第二册 余弦定理、正弦定理 第2课时 教案

6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从直角三角形出发，得到，并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形是否成立呢？”这样设置符合学生的认知。教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用；难点：正弦定理的探索及证明.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入提问：角与边之间是否存在定量关系？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本45-48页，思考并完成以下问题1、直角三角形中的边角关系是怎样的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可进行怎样的变形？4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．2．正弦定理的变形(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).3．正弦定理应用解三角形(1)已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．4、三角形的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.四、典例分析、举一反三题型一已知两角及一边解三角形例1在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.【答案】B＝45°.b＝10eq\r(2)，c＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).【解析】因为A＝30°，C＝105°，所以B＝45°.因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10sin105°,sin30°)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).解题技巧（已知两角及一边解三角形问题的基本方法）(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练一1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝105°，C＝45°，c＝eq\r(2)，则b＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．22．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.【答案】1、A.2、eq\f(\r(10),2)．【解析】1、在△ABC中，∵A＝105°，C＝45°，∴B＝180°－A－C＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(b,sin30°)＝eq\f(\r(2),sin45°)，解得b＝1.故选A.2、因为tanA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理知AB＝eq\f(BC,sinA)·sinC＝eq\r(10)sin150°＝eq\f(\r(10),2).题型二已知两边及一边的对角解三角形例2在△ABC中，A＝45°，c＝eq\r(6)，a＝2，求b，B，C.【答案】b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.【解析】∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.∴b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.解题技巧：(已知两边及一边的对角解三角形的方法)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪训练二1．△ABC中，B＝45°，b＝eq\r(2)，a＝1，则角A＝________.2．在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，A＝30°，求边c的长．【答案】1、30°.2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，解得sinA＝eq\f(1,2)，所以A＝30°或A＝150°.又因b>a，所以B>A，则A＝30°.2、由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2).∵a<b，∴B>A＝30°，∴B为60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.此时，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(1＋3)＝2.②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.综上知c＝1或2.题型三正弦定理在边角互化中的应用例3在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________.【答案】eq\r(2)－1.【解析】由正弦定理知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以，eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(b,sinB)，b＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)·sinB＝eq\f(sin30°,sin45°＋sin30°)＝eq\r(2)－1.例4在△ABC中，eq\f(cosA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，试判断△ABC的形状；【答案】等边三角形.【解析】(化边为角)根据正弦定理，得到eq\f(cosA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(cosC,sinC)，整理为eq\f(1,tanA)＝eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,tanC).∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．解题技巧（正弦定理应用技巧）利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用．再判断三角形形状时(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．跟踪训练三1、在△ABC中，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－1 D．－eq\f(1,2)2．在△ABC中，acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，判断△ABC的形状．【答案】1、A.2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sinAcosA＝sin2B，即sinAcosA＝1－cos2B，所以sinAcosA＋cos2B＝1.2、法一：(化角为边)∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R).∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．法二：(化边为角)∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∴asinA＝bsin B.由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB∴A＝B(A＋B＝π不合题意舍去)，故△ABC为等腰三角形.题型四与三角形面积有关问题例5在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，求△ABC的面积．【答案】2eq\r(3)或eq\r(3).【解析】由正弦定理，得sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)，又AB·sinB<AC<AB，故该三角形有两解：C＝60°或120°.∴当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝2eq\r(3)；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\r(3).∴△ABC的面积为2eq\r(3)或eq\r(3).解题技巧（三角形面积公式应用技巧）(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．跟踪训练四1．已知△ABC的面积为eq\f(3,2)，且b＝2，c＝eq\r(3)，则A的大小为()A．60°或120°B．60°C．120°D．30°或150°2．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝eq\r(3)，则△ABC的面积为________．【答案】1、A.2、eq\f(\r(3),4).【解析】1、由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA得eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×sinA，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝60°或120°，故选A.2、在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝eq\r(3)，利用正弦定理可知C＝120°，得到B＝30°，利用面积公式得S△ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.4.3