高三数学一轮复习 直线与圆的位置关系 新人教B

..重点难点重点：直线与圆的位置关系，圆的切线方程和弦长问题．难点：圆的综合问题的解题思路．.d<r⇔直线与圆

；d＝r⇔直线与圆

；d>r⇔直线与圆

．相交相切相离.Δ>0⇔直线与圆

；Δ＝0⇔直线与圆

；Δ<0⇔直线与圆

．相交相切相离.2．圆的切线(1)求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0..(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k.②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，可求得k.经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条；经过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线有两条，因此用点斜式或斜截式直线方程求切线时，若有两解，则所求两条切线方程可得，若仅有一解，则另一条必为x＝x0...二、圆与圆的位置关系1．用几何方法判断圆与圆的位置关系两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)的圆心距为d，则d>r1＋r2⇔两圆

；d＝r1＋r2⇔两圆

；|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆

；d＝|r1－r2|⇔两圆

；0≤d<|r1－r2|⇔两圆

外离外切相交内切内含.2．用代数方法判断两圆的位置关系有两组不同的实数解⇔两圆

；有两组相同的实数解⇔两圆

；无实数解⇔两圆外离或内含．相交相切.3．圆系方程※具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系，它的方程叫圆系方程．(1)同心圆系：设圆C的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则与圆C同心的圆系方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.(2)相交圆系：过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．①.方程①是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.λ＝－1时，①式变为一直线：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0②若两圆相交，则方程②是它们的公共弦所在直线的方程；若两圆相切，则方程②就是它们的公切线方程．.三、空间直角坐标系1．轴的选取原则我们所使用的坐标系都是右手直角坐标系：①伸开右手，拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指指向z轴正方向．②从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．③伸开右手，让拇指指向z轴正方向，四指指向x轴正方向，然后将四指自然弯曲90°能指向y轴的正方向．.2．坐标与坐标平面(1)过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的横坐标；(2)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标；(3)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z叫点P的竖坐标．.(4)每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面．①xOy平面上点的坐标形如(x，y,0)，yOz平面上点的坐标形如(0，y，z)，xOz平面上点的坐标形如(x,0，z)．②x轴上的点形如(x,0,0)，y轴上的点形如(0，y,0)，z轴上的点形如(0,0，z)；③三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限，在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，在下方的称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限．..误区警示1．讨论直线与圆相切、相交的问题时，主要运用几何方法，即用圆心到直线的距离和半径讨论，而用判别式法计算量大，且易出错．2．两个圆的方程联立后消元(如消去y)，Δ＝0与两圆相切不等价．3．点在圆外时，过该点的圆的切线有两条，若用点斜式求得斜率k只有一解时，应添上垂直于x轴的那一条．4．建立空间直角坐标系时，要注意右手系的规则．注意坐标轴上点的坐标及坐标平面内点的坐标特点，莫用混．..1．数形结合的思想在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的计论中，结合图形进行分析能有效的改善优化思维过程，迅速找到解题的途径，故应加强数形结合思想的应用．2．方程思想在解析几何的许多问题中，经常要通过研究讨论方程的解的情形获得问题的解决．特别是在直线与圆锥曲线相交的问题中，常采用“设而不求，整体处理”的思想方法，即设点而不求点，通过整体处理加以解决．.3．空间特殊点的特征(1)空间点的对称特征关于坐标平面、坐标轴对称点的特点是：关于谁谁不变，其它变相反．如点P(1,4，－3)关于y轴对称点，y坐标不变，其余相反为P′(－1,4,3)．(2)坐标轴、坐标平面上点的坐标特征：无谁谁为0.如xOy平面上的点为(x，y,0)．..[例1](2010·深圳模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定.答案：A

.(文)直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D．以上都有可能答案：C

.(理)(2010·广东执信中学)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax＋by＝r2，则()A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离.答案：A

..答案：A

.(文)(2010·陕西文)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A. B．1C．2 D．4答案：C

..解析：由于圆C经过F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小为π.故选B.答案：B.分析：由⊙C的标准方程可得圆心坐标和半径，圆心到直线l的距离d，半径r，半弦长构成直角三角形可求得a..答案：C

.解析：圆x2＋y2－4y＝0的圆心C(0,2)，半径r＝2，由图可知C到直线AO的距离为1，∴AO＝2 ，故选D.答案：D..答案：B

..答案：B

.(2010·南京市调研)已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2，动圆过点F2，且与圆F1相内切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A、B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．...[例5]在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．.已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是()A．(0,8,0) B．(0,2,0)C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)答案：C

..[答案]D

..[答案]B

...[答案]C[解析]点M(x，y，z)在平面xOy内的射影为M1(x，y,0)，M1在平面yOz内的射影为M2(0，y,0)，M2在平面xOz内的射影为原点O(0,0,0)．.二、填空题4．(文)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2..(理)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．[答案]

x－2y＋3＝0...

请同学们认真完成课后强化作业..1．(09·浙江)已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A．3 B．4C．5 D．6[答案]B.[答案]D

...[答案]B

..4．(2010·山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．[答案]

x＋y－3＝0..5．设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：A．存在一条定直线与所有的圆均相切B．存在一条定直线与所有的圆均相交C．存在一条定直线与所有的圆均不相交D．所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．[答案]B、D..由半径增加速度比圆心移动速度快，随着k的增大圆可以扫过整个平面，所以不存在一条定直线与所有的圆均不相交故不选C；把(0,0)点代入圆的方程，(k－1)2＋9k2＝2k4，①由k－1，k是连续自然数一奇一偶．则(k－1)2＋9k2为奇数，2k4为偶数，所以方程①无解，即所有的圆均不经过原点，故D真．.6．(浙江金华)已知圆O的方程为x2＋y2＝4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|＋|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是________．[答案]

a≤1.[解析]平面区域|x|＋|y|≥a是