专题48 运用正、余弦定理研究三角形或多边形（解析版）

专题48运用正、余弦定理研究三角形或多边形关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决一、题型选讲题型一、运用正余弦定理研究三角形中的问题例1、【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【解析】（1）在中，因为，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因为,所以为钝角，而,所以为锐角.故则.因为，所以，.从而变式1、（2021·山东高三三模）在中，角所对的边分别为（1）若，点在边上，，求的外接圆的面积；（2）若，求面积的最大值.【解析】（1）由得：，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，在中，，由余弦定理得：设外接圆的半径为，由可得：，所以外接圆的面积.（2）由（1）可知，又，由余弦定理可得：，即，因为，所以，从而（当且仅当时取等号），所以面积，从而面积的最大值为.变式2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知，.(1)求;(2)如图，为边上一点，，求的面积【解析】若选择条件①，则答案为:(1)在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.(2)解法1:设，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因为，所以，因为所以，所以因为为锐角，所以又所以所以若选择条件②，则答案为:(1)因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，则，所以.(2)同选择①变式3、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．【答案】，【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，，，所以..题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案为：.变式1、（2021·江苏南通市·高三期末）从①的面积；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.如图，在平面四边形中，，，对角线平分，且____________________，求线段的长.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】4【解析】选①：由三角形面积公式得出，由余弦定理求出，，再由求出线段的长；选②，过点作延长线的垂线，垂足于，由为等腰直角三角形得出，最后结合角平分线的性质得出线段的长.【详解】选①，∴∴，.选②，过点作延长线的垂线，垂足于因为，所以，所以因为对角线平分，所以所以变式2、（2021·河北唐山市高三三模）如图所示，在梯形ABCD中，，，点E是AD上一点，，.（1）求的大小；（2）若的面积为，求BC.【答案】（1）∠BEC＝；（2）．【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得，故可求其大小.（2）设，由解直角三角形可得，根据面积可求的值，利用余弦定理可求的长.【解析】（1）∵∴，而为三角形内角，故．（2）设，则，其中，∵DE＝2AE＝4，∴，，∵△BCE的面积，∴由已知得，∴，因为，故，即，此时，，∴在△BCE中，由余弦定理得：，∴.变式3、（2021·辽宁实验中学高三模拟）如图，已知四边形中，（1）求BD长度的最大值；（2）若面积是面积的6倍，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）D点轨迹为以AC为直径的半圆，圆心为AC中点E，所以BD最大值为BE加半径1，由此即得结论；（2）设，，分别求出两个三角形面积，由题意可求得．【解析】（1）D点轨迹为以AC为直径的半圆，圆心为AC中点E，所以BD最大值为BE加半径1，，，（2）设，，则，，，由题意，则，所以.则，解得.1、（2021·山东滨州市·高三二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大.【答案】【解析】过C作，交AB于D，如图所示：则，设，在中，，在中，，所以，当且仅当，即时取等号，所以取最大值时，最大，所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.故答案为：2、（2021·山东聊城市·高三三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，（1）求角B的大小；（2）已知点D满足，且，若，，求AC．【解析】（1）∵A，B，C是三角形ABC的内角，则，又，∴，即，整理得，∴或（舍），又，∴．（2）∵，可得，在△中，，∴，又，∴，，，由余弦定理有，∴．3、（2021·山东青岛市·高三期末）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，若，θ∈（0，π6）.（1）用表示，；（2）求取最大值时的值.【解析】（1）由题知在中，由余弦定理知：，所以，且，在中，因为，，所以，由正弦定理知：，所以，在中，.（2）由（1）知：，，θ∈（0，π6所以，θ∈（0，π因为，所以，当时，即时，取最大值，所以，取最大值时，.4、（2021·江苏南京市高三三模）已知四边形中，与交于点，.（1）若，，求；（2）若，，求的面积.【解析】（1）在中，由正弦定理得,所以，因为，所以.（2）若，，在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，两式相加得，再代入求得，因为，所以，所以.5、（2021·湖南长沙市高三模拟）某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在、、、四个位置建四座观景台，在凸四边形中，千米．千米．

（1）用表示；（2）现要在、两处连接一根水下直管道，已知，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．【答案】（1