【上课用】解密06 解三角形（讲义）-【高频考点解密】 高考数学二轮复习讲义 分层训练（新高考专用）

解密06正、余弦定理及解三角形高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．2021年全国乙卷152020课标全国Ⅲ72020课标全国Ⅱ172019课标全国Ⅱ152018课标全国Ⅰ172018课标全国Ⅱ62018课标全国Ⅲ9★★★★★解三角形与其他知识的交汇问题2021新高考Ⅰ卷192021新高考Ⅱ卷182020课标全国Ⅰ162019课标全国Ⅰ172019课标全国Ⅲ17★★★考点一利用正、余弦定理解三角形题组一利用正、余弦定理解三角形☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC”；若想“角”往“边”化，常利用sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)等．例题11．在中，已知，则角的大小为（）A． B． C． D．1．A【分析】因为，由正弦定理，可得，又由余弦定理得，因为，可得.故选：A.例题2．在中，角、、所对的边分别为、、，其中，，则的最小值为（）A．9 B．12 C．18 D．20【分析】由题意知，根据正弦定理，可得，因为，所以，即，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为18．故选：C．例题3．在中，角的对边分别是，若，，则（）A． B． C． D．由余弦定理得：，，，又，，，．故选：A．例题4．从①，②的面积，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，且________．（1）求；（2）若角的平分线与交于点，，求，．（1）条件选择见解析，（2）【分析】解：若选①，，又，，，若选②：，，，又，，，，．若选③：，，由正弦定理得，，，．（2）是角的平分线，，，即，，由（1）知，，解得．题组二与不等式有关的问题例题2．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足.（1）求角；（2）若，求的取值范围．因为，由余弦定理得c(a－b)＝a2－b2，所以a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，即a2＝b2＋c2－bc.因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝，则A＝.（2）由正弦定理得＝＝2，所以b＝2sinB，c＝2sinC，所以b＋c＝2sinB＋2sinC＝2sinB＋2sin(A＋B)＝2sinB＋2sinAcosB＋2cosAsinB＝3sinB＋cosB＝2sin(B＋)．因为B∈，所以B＋∈(，π)．所以sin(B＋)∈(，1]，则b＋c∈(，2]．例题2．在锐角中，角的对边分别为，已知．（1）求证：．（2）若，求的取值范围．解：因为，由正弦定理得，因为=，所以，则或，即或（舍去），故.（2）解：因为是锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理可得：，则，所以.例题3．若函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：f（x）的图象向左平移π个单位时第一次和原图象重合；对任意的x∈R都有f（x）≤f（）=2成立．（1）求f（x）的解析式；（2）若锐角△ABC的内角B满足f（B）=1，且∠B的对边b=1，求△ABC的周长l的取值范围（1）由题意可得：T==π，解得：ω=2，∵对任意的x∈R都有成立，∴时，f（x）有最大值2，可得：A=2，∵，k∈Z，又∵0≤φ＜π，∴，∴．（2）f（B）=1，∴，而，故，∴，∵△ABC是锐角三角形，∴，，∴，∴△ABC中，由正弦定理可得，∴，∴，∴．题组三三角形形状的判断☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.例题1．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定【分析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C例题2．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件在中，由结合余弦定理得：，整理得：，即，则或，为等腰三角形或直角三角形，即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D例题3．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，故三角形为等边三角形.故选：C例题4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的非等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形因为，所以，所以，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，由得，得，得，得，得，因为为三角形的内角，所以，，所以为顶角为的等腰三角形.故选：D考点二解三角形与其他知识综合应用例题1．已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心【答案】A【分析】在中，令线段的中点为，由正弦定理，得，由，得即，而，则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，动点的轨迹一定经过的重心．故选：A.例题2．在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为，所以，即.因为O为△ABC的重心，且，所以△ABC为等边三角形.因为，所以.因为，所以△ABC外接圆的半径为.故选：B例题3．已知在中，内角A，，的对边分别为，，，满足.（1）求；（2）如图，若，在外取点.且，.求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】，由正弦定理得，，即，，，，．（2）因为，，∴△ABC是等边三角形，在中，由余弦定理知，，而，，四边形的面积，，，，当即时，取得最大值，为，故四边形面积的最大值为．例题4．在中，它的内角，，的对边分别