《余弦函数的图像与性质再认识》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】

《余弦函数的图象与性质再认识》教案教学目标教学目标1．用描点法画出y=cosx的图象，进一步理解余弦函数的性质2．利用余弦函数的图象再认识其性质（定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、图象与x轴的交点等性质）；3．通过对余弦函数图象研究的过程，深化对一般函数研究方法的再认识，通过从单位圆和图象两个不同的角度去观察和认识三角函数的变化规律，提高学生直观想象素养．教学重难点教学重难点重点：利用描点法画出余弦函数图象，通过图象对函数的性质再认识．难点：能通过诱导公式cosx=sinx+π2法画y教学过程教学过程一、新课导入我们已经学习过了正弦函数，余弦函数的概念，并借助单位圆学习了三角函数的基本性质，上一节课我们又学习了正弦函数y=sinx的图象和性质，那么余弦函数y=cos二、新知探究问题1：我们怎样画出余弦函数y=cosx的答案：由于余弦函数y=cosx是以2π为周期，我们只需要画出区间QUOTE0，2π内余弦函数的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上．在区间上0，2π取一系列x的值（x的值取得越多，图象越精确，曲线越光滑），例如0，π6，π3，π2，⋯0πππ2π5ππ7π4π3π5π11π2πcos1310---1--0131由周期性，函数y=cosx在区间2kπ，2k+1π，k∈Z，k≠0上与在区间0，2π上的函数图象形状完全相同，将函数y=cosx问题2：观察y=cosx的图象，你认为哪些点起着关键性作用，理由是什么？答案：(0，1)，(π2，0)，(π，-1)，(3π2，0)，(2π，它们分别表示了余弦曲线与x轴的交点(π2，0)和(3π2，0)余弦函数取得最大值的点(0，1)和(2π，1)，取得最小值的点(π，根据余弦曲线的基本性质，描出这五个关键点后，函数y=cosx，x∈0，2π在精度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法称为“五点（画图）法”．问题3：除了描点作图，我们还可以用其他方法画出y=cosx的图象答案：由诱导公式cosx=sinx+π2可知，余弦函数y=cosx图象可以通过正弦曲线y问题4：观察余弦函数图象，我们可以得余弦函数y=cosx答案：与正弦函数相同，我们可以根据余弦曲线得到余弦函数性质并总结如下：函数y=cos性质定义域R值域[-1，1]周期性是周期函数，周期为2kπ(k∈Z)，最小正周期为2最值当x=2kπ，k∈当x=2k+1π，单调性增区间2k-1π，减区间2kπ，2k奇偶性偶函数对称性对称轴为x=k对称中心为点π三、应用举例例1画出函数y=cosx-解：按五个关键点列表x-0ππ3π2πxπ32π53πy10-101于是得到y=cosx-π在区间（π，1），（3π2，0）（2π，-1），（5π2，0），（3描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出y=cosx-π在一个周期同样的，我们也可以根据诱导公式y=cosx-π-cosx例2画出y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数分析：利用0，2π内五个关键点确定解：函数y=cosx的最小正周期是2π，x0ππ3π2πy=cos10-101y=cosx0-1-2-10于是得到函数y=cosx-1在区间（0，0），（π2，-1）（π，-2），（3π2，-1），（2π，描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出y=cosx-1在0，2π上的图象如图：由函数y=cosx-1的图象得到函数y=cosx定义域R值域-2，0奇偶性偶函数周期性周期函数，周期是2π单调性在每一个闭区间2k-1π，2kπ在每一个闭区间2kπ，2k+1最大值与最小值当=2kπ，kϵ当=2k+1π，k设计意图：通过例题，重视利用“五点法”画函数y=cosx-1图四、课堂练习1．函数y=cosxA．x=-π6B．x=π6 C．2．利用五点法画出函数y=2+cosx和y=3cosx在区间3．利用函数y=cosx的图象，求满足不等式cosx≤22的x参考答案：1．解析：函数y=cosx图象的对称轴方程为x=kπ，k∈Z，当故选D．2．解析：按五个关键点列表x0ππ3π2πy=cos10-101y=2+cos32023y=3cos30-303于是得到函数y=2+cosx在区间0，2π（0，3），（π2，2）（π，0），（3π2，2），（2π，函数y=3cosx在区间0，2π（0，3），（π2，0）（π，-3），（3π2，0），（2π，描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=2+cosx和y=3cosx３．解析：画出函数y=cosx在区间0，2π结合图象，得出不等式cosx≤22的x的取值范围是x|2kπ五、课堂小结1.五点作图法：根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)，(π2，0)，(π，-1)，(3π2，0)，(2π，1)这五个关键点后，函数y=cosx，x∈0，2π的图象形状就基本确定2.余弦函数的性质：函数y=cos性质定义域R值域[-1，1]