北师大版小学数学六年级上册第六单元分析

六比的认识单元学习目标1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系，感受比在生活中的广泛应用。2.会运用商不变的规律或分数的基本性质化简比，并解决一些简单的实际问题。3.经历与他人交流算法的过程，能运用比的意义，解决按比进行分配的实际问题。4.在解决问题的过程中，初步养成乐于思考、勇于质疑的学习习惯。单元学习内容的前后联系在小学阶段，分数的认识大致分为三个阶段：第一阶段初步认识分数，侧重理解分数的份数定义，即从把整体平均分后部分与整体的数量关系上认识分数；第二阶段分数的再认识，侧重理解分数的商的定义，即分数表示两个整数相除的商；第三阶段理解分数的比的定义，即分数表示两个整数的比，所以，比的认识也是对分数认识的丰富。本单元就是第三阶段，借助比的认识，发展学生对除法和分数的认识，沟通知识间的内在联系，加强对现实生活中数量关系的理解和认识，进一步完善认知结构，为以后进一步学习比例以及其他有关方面的知识打好基础。单元学习内容分析本单元的学习，是建立在学生已学过的分数乘（除）法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系的基础上进行的，这些知识都是学生学习本单元内容的直接基础。本单元学习的主要内容有：比的意义、化简和应用。组织本单元学习内容的思路如下。本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。1.提供多种情境和方式，让学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。为此，教科书提供了大量的与学生已有经验密切联系的情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。究竟比的必要性表现在哪里？长方形像不像的问题是引入比的现实来源，长方形的形状特征可以用它的长和宽这两个对等的量来刻画，就是这两个量的比。所以，比是用来刻画事物不可度量的属性的。如行走的快慢、水果的贵贱，蜜水的甜度等都是不可度量的，但它们都可以用两个可以度量的对等的量来刻画或记录，这就是学习比的必要性。至于“两个数相除又叫作这两个数的比”，是在数学世界里比的数学意义，即揭示数学知识之间的联系，或者说在数学世界里除法是比的来源。“哪几张图片与图A比较像”，从几何的角度探究“长方形的长与宽有什么关系”，引入比，体会引入比的必要性；借助“甘蔗汁”“树高和影长”等生活情境作为进一步理解比的载体，多角度解释比；从“速度”“苹果价格”这两个常见的数量关系理解路程与时间的比、总价与数量的比，逐步抽象出比的意义，由浅入深地引导学生在独立思考、实际操作和合作交流中，体会生活中大量存在两个数量之间比的关系，以利于学生感受比产生的实际景，理解比的意义。在后续的学习中，还安排了“你能说一个用3：4表示的情境吗”等交流活动，意在从不同的角度帮助学生进一步理解比的意义，也为学生学习正反比例做铺垫。2.通过画图和列表的方式解决问题，提高学生解决问题的能力教科书安排了解决按照一定的比进行分配的实际问题，设计了一组有利于引导学生思考和交流的问题，让学生以此为线索，展开思考、尝试、探索与交流，并鼓励尝试多种解决问题的方法和策略，如列表、画图解释等。目的就是让学生面对一个问题时，学会如何进行思考，并能够在独立思考的基础上，尝试用自己的方式表达对数学问题的理解，从而探索解决问题的思路和方法，提高用比解决实际问题的能力课时安排建议内容建议课时数生活中的比（比的意义）2比的化简3比的应用练习五2本单元建议学习课时数为7课时。教师在理解教科书意图的基础上，可以根据学生的实际情况对课时进行适当调整。知识技能评价要点本单元知识和技能的评价主要围绕以下几个方面。1.在实际情境中理解比的意义，能用比表示具体情境中的数量关系。（参见样题1～3）说明：评价比的意义的理解时，可以直接让学生把给出的数量关系用比进行表示，并说说这些比的意思；也可以让学生找一找生活中的比，举出比的例子。2.能正确读、写比，会求比值，理解比与除法、分数的关系。（参见样题4，5）3.会用商不变的规律或分数的基本性质化简比。（参见样题6）说明：评价学生对求比值、化简比等知识的掌握时，要注意把握难度，数据不要过于烦琐，还可以将比的化简放在解决问题的背景中。4.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。（参见样题7，8）样题1哪一杯水更甜一些？请通过计算说明。样题2下图是一个大圆和一个小圆组成的，O是大圆的圆心。观察这个图，你能发现哪些比？把发现的比写出来。样题3在方格图中画出两个大小不同的三角形，使它们的底和高的比都是3：2。样题4填空。（）：15=0.8=（）%==（）÷10样题5求下列比的比值。5：90.16：0.6：0.8：样题6化简下面各比。63：274.5：10.07：4.2：样题7调制210g牛奶，如果奶粉和水按1：6调配，需要奶粉多少克？水多少克？样题8笑笑读一本故事书，已读和未读的页数之比是1：5，如果再读30页就读完了该书，则这本书共有多少页？

比是什么比是什么？比，作为数学名词，目前看到的有如下三种不同的解释。1.比是表示两个量倍数关系的记录（1999年版《辞海》）。2.比是表示两个数相除关系的记录（中国大陆小学数学教材）。3.比是表示两个量对等关系的记录（中国台湾小学数学教材）。以上三种解释有什么区别？究竟哪一种解释对比的本质揭示得更准确，更合理？《辞海》的解释《辞海》对比的注释的全文是：数学名词。比较两个同类量a和b的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a比b，所得的数k称为“比值”，记a:b=k或=k。“:”是比号，比号前的量称为“比的前项”，比号后的量称为“比的后项”。比的这种解释说明了比是在比较两个量的关系时产生的。但这种解释有缺陷，它不能概括比较两个不同类量的情境。中国大陆教材的解释目前中国大陆小学数学教材各主流版本，依然沿用了课程改革前的比的定义，即“两个数相除，又叫作这两个数的比。”这定义中的两个数，既可以刻画同类量也可以刻画不同类量，这似乎弥补了《辞海》解释的缺陷，但回到现实情境去审视这个定义的合理性时，仍有存疑。例如，“6÷4”，如果与相应的具体情境联系起来，它有如下三种不同的意义。1.“等分除”。6个苹果平均分成4份，每份几个苹果？等分除的商表示的是一个量。2.“包含除”。6个苹果的个数是4个梨的个数的几倍？包含除的商是一个量数，它不表示一个量，而表示两个同类量的倍数关系。3.“当量除”。4m的铝条6kg，1m铝条多少千克？其中4m与6kg不是同类量，而是具有对应关系的两个不同类量。把它们相除，叫作“当量除”。整数之间的“当量除”，可以转化为“等分除”来理解和处理。但数一旦扩展到分数（小数）后，“当量除”就不能用“等分除”来理解了。如0.4m的铝条0.6kg，1m铝条多少千克？这里，就不好理解为“把0.6平均分成0.4份，每份多少”，也不能理解为“包含除”。这时，0.6÷0.4应理解为“当量除”，其商1.5表示的是一个具有相对意义的量（衍生的量），它的单位是“kg/m”；1.5kg/m，即1m铝条1.5kg。综观上述“两个数相除”的三种意义，“包含除”和“当量除”都有“比”的内涵，“等分除”只涉及一个量，它只有把一个量进行等分，而没有两个量的“比”的意义。所以，“两个数相除”与“两个量的比”不是等价的概念。两个量的比可以转化为两个数相除，但两个数相除不能笼统地说就是这两个数的比。在课堂教学的实践层面上，这种定义也遇到了尴尬。珠海市有一位老师在博客中写道：上“比的认识”的起始课，他的学生就提出了质疑，“既然两个数相除，又叫作这两个数的比，那为什么还要学比呢？”这位老师还为自己不能说服学生，感到十分沮丧与无奈。比的本质的再认识长度、面积、体积、质量等常见的量，都是物体可度量的属性。度量包含“度”和“量”两个方面，“度”是度量单位，“量”是测量；表示度量结果的数，叫量数。事实上，量数就是量与度量单位（两个同类量）的比值。物体除了可度量的属性，还有不可度量的属性，如颜色、形状、质地等。这些属性不可度量，但可以比较。众所皆知，用蓝色油漆与黄色油漆可以调制成绿色油漆。笑笑用5罐蓝漆和4罐黄漆调制绿色油漆，淘气用3罐蓝漆与2罐黄漆调制，小明用6罐蓝漆和4罐黄漆调制，他们调成的绿色油漆一样吗？用“5:4”表示笑笑调制的绿色油漆；用“3:2”表示淘气调制的绿色油漆；用“6:4”表示小明调制的绿色油漆。判断其中有没有相同的绿色油漆，就转化为判断上述三个比中有没有相等的比。5:4=1.25:1，这表示笑笑每罐黄漆搭配1.25罐蓝漆；3:2=1.5:1，这表示淘气每罐黄漆搭配1.5罐蓝漆；6:4=1.5:1，这表示小明每罐黄漆搭配1.5罐蓝漆。所以，5:4≠3:2，5:4≠6:4，3:2=6:4。这表示只有淘气与小明调制的绿色油漆是一样的。又如，把下面3个长方形画在方格纸(每格边长1cm)上：长12cm，宽4cm；②长9cm，宽3cm；③长8cm，宽4cm。观察发现：长方形①与②的形状相同，与③的形状不同。追究原因，发现：12:4=9:3，12:4≠8:4。这表明长方形的长与宽的比可以刻画长方形的形状，用以辨别长方形形状的异同。再如，一只铜质器皿被炒作成是金质器皿，如何揭穿谎言，还原真相？器皿的质地是铜是金我们不能直接度量，但可以分别度量这个器皿与另一个铜器的质量和体积，器皿质量与体积的比，如果与铜器的质量与体积的比相等（或相差无几），就可以断定该器皿是铜质的。可见，用比来记录对等关系，可以表征事物不可度量的属性，使这些属性具有可比性。总之，比源于度量；度量解决了物体可度量的属性的可比性，比却能够解决物体不可度量的属性的可比性。这就是比的本质。比的相等与比值比的等价即比的相等。传统教材由比先引入比值后，用两个比的比值相等来定义这两个比相等。1993年中国台湾新编教材认为这种方式太过抽象，无法解释比的情境问题中比值的意义如何，所以倒过来先引入比的相等，再引入比值。另外，由于“比”的引入方式的改变，使得“比”的相等不再可以用比较量除以基准量的商（倍数）来定义。所以，1993年中国台湾新编教材采用在量情境中讨论，它们是相同的交换关系，相同的组合方式，相同的含量或相同的密度，来引入比的相等。正如在前面的讨论中我们看到的，淘气与小明两人每罐黄漆都搭配1.5罐蓝漆，就把这两个对等关系的等价关系记成“3:2=6:4”。换言之，传统教材是直接通过比的前项除以后项的抽象定义来引入比值，再由比值相等与否来定义两个比是否相等；中国台湾新编教材反过来先关心比的相等在量情境中的实际意义，并用此来构架抽象的数学意义。小明用6罐蓝漆和4罐黄漆调制绿色油漆，其中6罐蓝漆和4罐黄漆是一个对等关系，可以记为“6:4”。而这个对等关系也有许多相等的对等关系，如“6:4=12:8=15:10=3:2=…”，这些相等的对等关系，也成为一个等价类，此时可选用最简单整数比“3:2”，来代表这一个等价类，并说明这些相等的对等关系都是“每3个对2个”（或说每3罐蓝漆配2罐黄漆）。进一步地，当最简整数比（例如A:B）具有“每A个对B个”的意义时，教