2022-2023学年广东省中山市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年广东省中山市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

3.下列命题中正确的有()．

4.A.A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定

5.

6.A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续

7.如图所示，在半径为R的铁环上套一小环M，杆AB穿过小环M并匀速绕A点转动，已知转角φ=ωt(其中ω为一常数，φ的单位为rad，t的单位为s)，开始时AB杆处于水平位置，则当小环M运动到图示位置时(以MO为坐标原点，小环Md运动方程为正方向建立自然坐标轴)，下面说法不正确的一项是()。

A.小环M的运动方程为s=2Rωt

B.小环M的速度为

C.小环M的切向加速度为0

D.小环M的法向加速度为2Rω2

8.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

9.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

10.设z=x2y，则等于()。A.2yx2y-1

B.x2ylnx

C.2x2y-1lnx

D.2x2ylnx

11.

12.若x0为f(x)的极值点，则（）．A.A.f(x0)必定存在，且f(x0)＝0

B.f(x0)必定存在，但f(x0)不－定等于零

C.f(x0)不存在或f(x0)＝0

D.f(x0)必定不存在

13.（）。A.过原点且平行于X轴B.不过原点但平行于X轴C.过原点且垂直于X轴D.不过原点但垂直于X轴

14.

15.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx

16.

17.

18.A.2B.-2C.-1D.119.设f'(x0)=1,则等于()．A.A.3B.2C.1D.1/2

20.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

21.A.(1/3)x3

B.x2

C.2xD.(1/2)x22.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

23.

24.（）。A.sinx＋ccosx

B.sinx-xcosx

C.xcosx-sinx

D.-(sinx＋xcosx)

25.（）A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.无关条件

26.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

27.

28.设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且，则f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.129.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx30.A.A.0

B.

C.

D.∞

31.

32.

33.函数f(x)=lnz在区间[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

34.A.2x

B.3+2x

C.3

D.x2

35.

36.

37.

38.

39.

设f(x)=1+x，则f(x)等于（）。A.1

B.

C.

D.

40.设z=tan(xy)，则等于()A.A.

B.

C.

D.

41.

42.下列命题不正确的是()。

A.两个无穷大量之和仍为无穷大量

B.上万个无穷小量之和仍为无穷小量

C.两个无穷大量之积仍为无穷大量

D.两个有界变量之和仍为有界变量

43.()A.A.

B.

C.

D.

44.

45.函数y=sinx在区间[0，n]上满足罗尔定理的ξ=A.A.0B.π/4C.π/2D.π46.级数()。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

47.

48.当x→0时，3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小

49.

50.（）A.A.1B.2C.1/2D.-1二、填空题(20题)51.

52.

53.

54.曲线y=x3－3x2－x的拐点坐标为____。55.函数f(x)=x3-12x的极小值点x=_______.56.

57.

58.59.60.

61.

62.

63.当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数），则p=______.

64.

65.

66.67.设函数y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1确定，则y'=______．68.

69.f(x)=sinx，则f"(x)=_________。

70.

三、计算题(20题)71.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．72.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

73.74.75.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．76.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

77.

78.证明：79.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．80.81.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

82.

83.

84.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

85.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

86.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

87.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

88.求微分方程的通解．89.

90.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)91.92.93.94.

95.

96.

97.

98.

99.将周长为12的矩形绕其一边旋转得一圆柱体，问绕边长为多少的边旋转才能使圆柱体的体积最大?

100.五、高等数学(0题)101.若，则()。A.-1B.0C.1D.不存在六、解答题(0题)102.

参考答案

1.B解析：

2.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

3.B解析：

4.C

5.D

6.B

7.D

8.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

9.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

10.A本题考查的知识点为偏导数的计算。对于z=x2y，求的时候，要将z认定为x的幂函数，从而可知应选A。

11.C解析：

12.C本题考查的知识点为函数极值点的性质．

若x0为函数y＝f(x)的极值点，则可能出现两种情形：

(1)f(x)在点x0处不可导，如y＝|x|，在点x0＝0处f(x)不可导，但是点x0＝0为f(x)＝|x|的极值点．

(2)f(x)在点x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有f(x0)＝0．

从题目的选项可知应选C．

本题常见的错误是选A．其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在点x0可导，且x0为f(x)的极值点，则必有f(x0)＝0”认为是极值的充分必要条件．

13.C将原点(0，0，O)代入直线方程成等式，可知直线过原点(或由

14.C

15.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

16.D

17.B

18.A

19.B本题考查的知识点为导数的定义．

由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知

可知应选B．

20.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

21.C本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

Y=x2+1,(dy)/(dx)=2x

22.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其图形如图1-1所示．

交换积分次序，D可以表示为

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知应选A．

23.D

24.A

25.D内的概念，与f(x)在点x0处是否有定义无关．

26.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

27.C

28.B由导数的定义可知

可知，故应选B。

29.A

30.A本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质．这表明计算时应该注意问题中的所给条件．

31.C解析：

32.D

33.D由拉格朗日定理

34.A由导数的基本公式及四则运算法则，有故选A．

35.B

36.D

37.B

38.A

39.C本题考查的知识点为不定积分的性质。可知应选C。

40.B本题考查的知识点为偏导数运算．

由于z=tan(xy)，因此

可知应选A．

41.D

42.A∵f(x)→∞；g(x)→∞∴f(x)+g(x)是不定型，不一定是无穷大。

43.A

44.C解析：

45.Cy=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，sin0=sinπ=0，可

知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，由于(sinx)'=cosx，可知ξ=π/2时，cosξ=0，因此选C。

46.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛。

由于的p级数，可知为收敛级数。

可知收敛，所给级数绝对收敛，故应选A。

47.C解析：

48.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。

49.B

50.C由于f'(2)=1，则

51.4x3y52.0．

本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题．

通常求解的思路为：

53.

解析：54.（1，-1）

55.22本题考查了函数的极值的知识点。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),当x=2或x=-2时,f'(x)=0,当x＜-2时,f'(x)＞0；当-2＜x＜2时,f'(x)＜0;当x＞2时,f’(x)＞0,因此x=2是极小值点，56.

57.π/2π/2解析：58.3yx3y-159.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

60.

61.[e+∞)(注：如果写成x≥e或(e+∞)或x＞e都可以)。[e,+∞)(注：如果写成x≥e或(e,+∞)或x＞e都可以)。解析：

62.

63.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

64.

65.

66.（-21）（-2，1）

67.

；本题考查的知识点为隐函数的求导．

将x2y+y2x+2y=1两端关于x求导，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

68.

69.-sinx

70.71.由二重积分物理意义知

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.81.由等价无穷小量的定义可知

82.83.由一阶线性微分方程通解公式有

84.

列表：

说明

85.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％86.函数的定义域为

注意

87.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

88.

89.

则

90.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

91.本题考查的知识点