自动控制理论53频域极坐标图1

5－3极坐标图系统开环频率特性：当输入信号的频率由变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。这种图形主要用于对闭环系统稳定性的研究。极坐标图又称Nyquist图（简称奈氏图）。1一、典型因子的极坐标图

1.比例因子

=比例因子是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。22.微分因子

G(jω)=jω=ω微分因子是一条与虚轴正段相重合的直线。

33.积分因子

G(jω)==由于=-90°是常数。而随ω增大而减小。因此，积分因子是一条与虚轴负段相重合的直线。

44.惯性环节我们取三个特殊点，显然不难看出，随着频率ω=0→∞变化，惯性环节的幅值逐步衰减，最终趋于0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆。5设:极坐标图为一个半圆可证明如下：实部

虚部

将它们之比代入实部表达式经化简、配方得到:上式为圆方程，圆心为，半径为。

65.二阶因子（二阶振荡环节）

显然，当ω=0，1/T和ω=∞时，7极坐标相位从0°到

–180°变化，频率特性与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率ωn

，ζ越小，对应ω的幅值越大。说明频率特性与ω、ζ均有关。当ζ小到一定程度时，将会出现峰值，这个值称为谐振峰值Mr，对应频率称为谐振频率ωr。8

6.一阶微分因子

G(jω)=1+jωT

当ω从零变化到无穷时，相频从0°变化到+90°，其幅相频率特性是通过（1，0）点，且平行于正虚轴的一条直线。9７.滞后因子

滞后因子的幅频特性是与ω无关的常量，其值为1。而相频特性则与ω成线性变化。故其极坐标图是一个单位图。10二、开环系统的奈氏图

设系统开环频率特性为

当由变化时，逐点计算相应的和的值，描点连线画出开环系统的奈氏图。注意：在绘制奈氏图时，必须先写出开环系统的 相位表达式，由它可以看出由当变化时，向量的旋转方向。11工程画法：一般只需画出奈氏图的大致形状和几个关键点的准确位置（）。0型系统：设0型系统的开环频率特性为当时，是乃氏图的终点。当时，它是乃氏图的起点。当时，乃氏曲线由开环传函具体因子和参数决定。12例1已知0型系统的开环传递函数为试绘制该系统的乃氏图。解：该0型系统的频率特性为13Ⅰ型系统：设Ⅰ型系统的开环频率特性为当时，是乃氏图的终点。当时，它是乃氏图的起点。当时，乃氏曲线由开环传函具体因子和参数决定。14例2已知Ⅰ型系统的开环传递函数为试绘制该系统的乃氏图。解：该Ⅰ型系统的频率特性为15Ⅱ型系统：设Ⅱ型系统的开环频率特性为当时，是乃氏图的终点。当时，它是乃氏图的起点。当时，乃氏曲线由开环传函具体因子和参数决定。16例3已知Ⅱ型系统的开环传递函数为试绘制该系统的乃氏图。解：该Ⅱ型系统的频率特性为17由此可见，极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况下：18

表5-6常见传递函数的乃氏图。1920结论：１．0型系统（N=0）：极坐标图起始于正实轴上的有限点，终止于原点。２．I型系统（N=1）：由于存在一个积分环节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当ω=∞时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐标轴相切。3．II型系统（N=2）：低频处，极坐标图是一条渐近