正弦余弦定理解三角形

1根据下列条件判断三角形ABC的形状：若a2tanB=b2tanA；（2）b2sin2C+c2sin2【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△2.△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。3.在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，4.在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值.【解】(Ⅰ)====(Ⅱ)∵∴,又∵∴当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是.5在中，分别是角所对的边，且.(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，求的周长的取值范围.因为，所以，，，所以，即.………14分法2：由余弦定理得，，…………9分而，故，………………11分所以，…………………12分又，……………………13分所以，即.………………14分基础训练11.△ABC中a=6,b=6A=30°则边C=（C）A、6B、、12C、6或12D、62.△ABC中若sin(A+B)，则△ABC是（B）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形3.△ABC中若面积S=则C=（C）ABCD4.△ABC中已知∠A=60°，AB=AC=8：5，面积为10，则其周长为20;5.△ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：c=1::2.6在中，角所对的边分别为，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是，，，，，，，，7.在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________(角用弧度表示).基础训练21、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°,则∠B等于()A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．1202、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （）A．a=1,b=2,c=3B．a=1,b=,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1,∠B=45°3、在锐角三角形ABC中，有 （）A．cosA>sinB且cosB>sinAB．cosA<sinB且cosB<sinAC．cosA>sinB且cosB<sinAD．cosA<sinB且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是 （）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km),灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距()A．a(km)B．a(km)C．a(km)D．2a(km)6、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=,则ΔABC是______三角形.7、在ΔABC中，A=60°,c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.8、在ΔABC中，a=5,b=4,cos(A－B)=,则cosC=_______.9、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60°,b2=ac；②b2tanA=a2tanB；③sinC=④(a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).基础训练31．在△ABC中，A∶B∶C=3∶1∶2，则a∶b∶c=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是（）A．90°B．120C．135°3．在△中，若，，，则等于（）A．B．C．或D．4．若三条线段的长分别为7、8、9，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．，有两解B．，有一解C．，无解D．，，，有一解6．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为米．7．在△ABC中，在下列表达式中恒为定值的是．①②③④8．在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，，则=．9．在△ABC中，已知AB=2，∠C=50°，当∠B=时，BC的长取得最大值．10．在△中，已知，，则△的形状是．11．在△中，，，面积为cm2，周长为20cm，求此三角形的各边长12．在△中，已知，，且，求△的各内角的大小．13．已知△中，，△的外接圆半径为．⑴求角；⑵求△的面积的最大值．14．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D，看到A在他的北偏东45°方向，B在其的北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．(2014年东城一模理科)8(2014年西城一模理科)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）如果，，求△ABC的面积.（Ⅰ）解：因为，所以又因为，所以.…5分（Ⅱ）解：因为，，所以.…………7分由正弦定理，得.因为，所以，解得，因为，所以.………………11分故△ABC的面积.……………13分(2014年石景山一模理科)在△中，角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求边的长和△的面积解：（Ⅰ）因为，所以，……………2分因为，所以，所以，……4分因为，且，所以．…………6分（Ⅱ）因为，，所以由余弦定理得，即，解得或（舍），所以边的长为．…………10分．………