直角三角形小结与复习

直角三角形小结与复习班级：姓名：知识点回顾

1.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角；

（2）直角三角形斜边上的中线等于；

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于；

（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角

。EA例1.如图，点B,C,D在同一条直线上，CE∥AB,∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，求∠A的度数.EADBDBCCA例2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，例3.在△ABC中，AB=AC，∠A=120°

E为AC的中点，AB=6，求DE的长。AB的垂直平分线交BC于D，交AB

于E，如果DE=1，求BC的长。AAEAEEEDCBCcDCBCcDBDB例4.如果等要三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么顶角的度数是。HBA直角三角形的判定定理

（1）有两个角的三角形是直角三角形；

（2）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（3）有一个角是90°的三角形是直角三角形。

例5.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于点H，试判断△AHC的形状。

HBADCDCcba勾股定理

（1）内容：直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.

（2）勾股定理的验证：主要用拼图法，借助面积计算来说明勾股定理的正确性。

用四个完全相同的直角三角形可以拼成一个大正方形，这个

大正方形的面积等于中间小正方形的面积与四个直角三角形的

面积和。每个直角三角形的面积为；中间小正方

形的边长为；面积为；大正方形的边长为c,

其面积为，即。cba4.勾股定理的应用

（1）在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三条边的长。

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c.已知任意两边，求第三边的方法：已知条件未知条件求解方法a,bCC=a,cbb=b,caa=S2S1S3CBA446BACBA例6.如图，以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是。

例7.暑假里，郭晶的爸爸带着她欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果他俩在水中实际游了520m（如图）。这条河的宽度为m.

例8.如图所示，有一个长方体，长、宽、高分别是6、4、4，在长方体的底面A处，有一蚂蚁，它想吃长方体上面与相对的B点处的食物，那么短需要爬行的路程是。S2S1S3CBA446BACBA勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形

判定定理：如果三角形的三条边长a,b,c满足关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

判定三角形是否为直角三角形的步骤是：

（1）先比较a,b,c的大小，找出最长边；

（2）计算两条较短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等，若相等，是直角三角形，并且最长边所对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形。

例9.三角形三边之比分别为：；①1：：2，②4:7.5:8.5，③1：：2，④3.5:4.5:5.5，其中可以构成直角三角形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个例10.将直角三角形扩大同样的倍数，得到的三角形是。DCBA例11.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=,CD=2，BC=3，AB=5，则四边形ABCD的面积为.

DCBAODC6.直角三角形全等的判定方法

（1）斜边、直角边定理或“HL”

内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

书写格式：∠C=∠C’=90°，AB=A’B’

在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，BC=B’C’∴Rt△ABC≡Rt△A’B’C’

（2）证明两个直角三角形全等有五中证明方法

①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL

例12.如图，AC、BD交于O，AC=BD，∠C=∠D=90°，求证：OC=OD.

ODCBABAOEDA例13.如图，AB与CD相交于点O，由O画OE⊥AD垂足为E，OF⊥BC，垂足为F，若OE=OF，AO=BO，求证：CO=DO.

OEDAFCCBFCCBFFEPCOBA角平分线的性质

（1）角平分线：以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

（2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的的长度，叫作的距离。

（3）角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

如图，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F，则PE=PF.

还能够得到的结论有∠BOC=∠AOC,OF=OE.

（4）角平分线的性质定理的逆定理

内容：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如图，PE⊥OA，PF⊥OB,PF=PE，∴点P在∠AOB的角平分线上。

例14.已知，如图所示，AB=AC，BD=CD,DE⊥AB于点E，DF⊥AC与点F，求证：DE=DF。

FFEPCOBAEDCBAEDCBAOPDCBAECDBA例15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1,则BC=（）

A.B.2C.3D.+2

课堂训练

1.下列四组线段中，能够成直角三角形的是（）

A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=2,b=4,c=5D.a=3,b=4,c=5

2.如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）

A.6B.5C.4D.3OPDCBAECDBADA3.如图所示，已知在△ABC中，CD是边AB上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）DAEA.10B.7C.5D.4ECB4.在△ABC中，AB=4，AC=3，高AD=，则BC=.CBEDAPDCBBA5.如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA,PC⊥BC,垂足分别为点A,C，则下列结论错误的是（）

A.AD=CDB.∠DAP=∠DCP

C.PD=BDD.∠ADB=∠BDC

6.已知，如图所示，△ACB和△都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，（1）求证：△ACE≡△BCD;（2）求证：2CD2=AD2+DB2.

EDAPDCBBACBCB21AM7.如图所示，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB.求证：AN平分∠BAC。21AMBBCNCNEA如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC，

（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A=36°，求∠DBC的度数。

EADDCBCBAPQNM9.如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160(m)，点到公路的距离为80m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.如果受到影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？APQNM参考答案例1:∠A=54°例2：DE=3例3：BC=6

例4:30°或150°例5：直角三角形例6：S1+S2=S3

例7:480