量子力学自学辅导与答案

PAGEPAGE57题库(含答案)2011级尹如冰(一)单项选择题1.能量为100ev的自由电子的DeBroglie波长是A.1.2.B.1.5.C.2.1.D.2.5.2.能量为0.1ev的自由中子的DeBroglie波长是A.1.3.B.0.9.C.0.5.D.1.8.3.能量为0.1ev，质量为1g的质点的DeBroglie波长是A.1.4.B.1.9.C.1.17.D.2.0.4.温度T=1k时，具有动能(为Boltzeman常数)的氦原子的DeBroglie波长是A.8.B.5.6.C.10.D.12.6.5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（）A..B..C..D..6.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其DeBroglie波长是A.5.2.B.7.1.C.8.4.D.9.4.7.钾的脱出功是2ev，当波长为3500的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为0.25J.B.1.25J.C.0.25J.D.1.25J.8.当氢原子放出一个具有频率的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A..B..C..D..9.Compton效应证实了A.电子具有波动性.B.光具有波动性.C.光具有粒子性.D.电子具有粒子性.10.Davisson和Germer的实验证实了电子具有波动性.B.光具有波动性.C.光具有粒子性.D.电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱中运动，设粒子的状态由描写，其归一化常数C为A..B..C..D..12.设，在范围内找到粒子的几率为A..B..C..D..13.设粒子的波函数为，在范围内找到粒子的几率为A..B..C..D..14.设和分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态的几率分布为A..B.+.C.+.D.+.15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D.A,B,C.17.已知波函数,,,.其中定态波函数是A..B.和.C..D.和.18.若波函数归一化，则A.和都是归一化的波函数.B.是归一化的波函数，而不是归一化的波函数.C.不是归一化的波函数，而是归一化的波函数.D.和都不是归一化的波函数.(其中为任意实数)19.波函数、(为任意常数)，A.与描写粒子的状态不同.B.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:.C.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是.D.与描写粒子的状态相同.20.波函数的傅里叶变换式是A..B..C..D..21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数.(2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的.(4)方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5)方程中不能含有决定体系状态的具体参量.(6)方程中可以含有决定体系状态的能量.则方程应满足的条件是A.(1)、(3)和(6).B.(2)、(3)、(4)和(5).C.(1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6).22.两个粒子的薛定谔方程是A.B.C.D.23.几率流密度矢量的表达式为A..B..C..D..24.质量流密度矢量的表达式为A..B..C..D..25.电流密度矢量的表达式为A..B..C..D..26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B.,C.,D..28.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B.,C.,D..29.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B.,C.,D..30.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.,B.,C.,D..31.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.,B.,C.,D..32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.33.线性谐振子的能级为A..B..C..D..34.线性谐振子的第一激发态的波函数为,其位置几率分布最大处为A..B..C..D..35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.36.线性谐振子的能量本征方程是A..B..C..D..37.氢原子的能级为A..B..C..D..38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A..B..C..D..39.在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A..B..C..D..40.波函数和是平方可积函数,则力学量算符为厄密算符的定义是A..B..C..D..41.和是厄密算符,则A.必为厄密算符.B.必为厄密算符.C.必为厄密算符.D.必为厄密算符.42.已知算符和,则A.和都是厄密算符.B.必是厄密算符.C.必是厄密算符.D.必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B.2.C.3.D.4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到函数)A..B..C..D.45.角动量Z分量的归一化本征函数为A..B..C..D..46.波函数是的本征函数,不是的本征函数.不是的本征函数,是的本征函数.是、的共同本征函数.D.即不是的本征函数,也不是的本征函数.47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为A.3.B.6.C.9.D.12.48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为,这种性质是库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为,则其几率分布最大处对应于Bohr原子模型中的圆轨道半径是 A..B..C..D..51.设体系处于状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A..B..C..D..52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A..B..C..D..53.接51题,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为A..B..C..D..54.接51题,该体系的角动量Z分量的平均值为A..B..C..D..55.接51题,该体系的能量的平均值为A..B..C..D..56.体系处于状态,则体系的动量取值为A..B..C..D..57.接上题,体系的动量取值几率分别为A.1,0.B.1/2,1/2.C.1/4,3/4/.D.1/3,2/3.58.接56题,体系的动量平均值为A..B..C..D..59.一振子处于态中,则该振子能量取值分别为A..B..C..D..60.接上题,该振子的能量取值的几率分别为A..B.,.C.,.D..61.接59题,该振子的能量平均值为.B..C..D..62.对易关系等于(为的任意函数)A..B..C..D..63.对易关系等于A..B..C..D..64.对易关系等于A..B..C..D..65.对易关系等于A..B..C..D..66.对易关系等于A..B..C..D..67.对易关系等于A..B..C..D..68.对易关系等于A..B..C..D..69.对易关系等于A..B..C..D..70.对易关系等于A..B..C..D..71.对易关系等于A..B..C..D..72.对易关系等于A..B..C..D..73.对易关系等于A..B..C..D..74.对易关系等于A..B..C..D..75.对易关系等于A..B..C..D..76.对易关系等于A..B..C..D..77.对易式等于A..B..C..D..78.对易式等于(m,n为任意正整数)A..B..C..D..79.对易式等于A..B..C..D..80..对易式等于(c为任意常数)A..B..C..D..81.算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A..B..C..D..82.已知,则和的测不准关系是A..B..C..D..83.算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A..B..C..D..84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A..B..C..D..85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A..B..C..D..86.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子,其状态为,则在此态中体系能量的可测值为A.,B.,C.,D..87.接上题,能量可测值、出现的几率分别为A.1/4,3/4.B.3/4,1/4.C.1/2,1/2.D.0,1.88.接86题,能量的平均值为A.,B.,C.,D..89.若一算符的逆算符存在,则等于A.1.B.0.C.-1.D.2.90.如果力学量算符和满足对易关系,则A.和一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.B.和一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C.和不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D.和不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值可取一切实数值.B.只能取不为负的一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正的实数.92.对易关系式等于A..B..C..D..93.定义算符,则等于A..B..C..D..94.接上题,则等于A..B..C..D..95.接93题,则等于A..B..C..D..96.氢原子的能量本征函数A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.97.体系处于态中,则A.是体系角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z分量算符的本征函数.98.对易关系式等于A..B.C..D..99.动量为的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是,它在动量表象中的表示是A..B..C..D..100.力学量算符对应于本征值为的本征函数在坐标表象中的表示是A..B..C..D..101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为,其中、是其能量本征函数,则在能量表象中的表示是A..B..C..D..102.线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是A..B..C..D..103.线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是A..B..C..D..104.在()的共同表象中,波函数,在该态中的平均值为A..B..C..D.0.105.算符只有分立的本征值,对应的本征函数是,则算符在表象中的矩阵元的表示是A..B..C..D..106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是以本征值为对角元素的对角方阵.一个上三角方阵.C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符在动量表象中的微分形式是A..B..C..D..108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A..B..C..D..109.在表象中,其本征值是A..B.0.C..D..110.接上题,的归一化本征态分别为A..B..C..D..111.幺正矩阵的定义式为A..B..C..D..112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符,则对易关系式等于A..B..C..D..114.非简并定态微扰理论中第个能级的表达式是(考虑二级近似)A..B..C..D..115.非简并定态微扰理论中第个能级的一级修正项为A..B..C..D..116.非简并定态微扰理论中第个能级的二级修正项为A..B..C..D..117.非简并定态微扰理论中第个波函数一级修正项为A..B..C..D..118.沿方向加一均匀外电场,带电为且质量为的线性谐振子的哈密顿为A..B..C..D..119.非简并定态微扰理论的适用条件是A..B..C..D..120.转动惯量为I，电偶极矩为的空间转子处于均匀电场中,则该体系的哈密顿为A..B..C..D..121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A..B..C..D..122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于的能级由原来的一个能级分裂为五个子能级.B.四个子能级.C.三个子能级.D.两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态跃迁到终态的几率为A..B..C..D..124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是写出体系的哈密顿.选取合理的尝试波函数.计算体系的哈密顿的平均值.体系哈密顿的平均值对变分参数求变分.125.Stern-Gerlach实验证实了电子具有波动性.B.光具有波动性.C.原子的能级是分立的.D.电子具有自旋.126.为自旋角动量算符,则等于A..B..C..D..127.为Pauli算符,则等于A..B..C..D..128.单电子的自旋角动量平方算符的本征值为A..B..C..D..129.单电子的Pauli算符平方的本征值为A.0.B.1.C.2.D.3.130.Pauli算符的三个分量之积等于A.0.B.1.C..D..131.电子自旋角动量的分量算符在表象中矩阵表示为A..B..C..D..132.电子自旋角动量的y分量算符在表象中矩阵表示为A..B..C..D..133.电子自旋角动量的z分量算符在表象中矩阵表示为A..B..C..D..134.是角动量算符,,则等于A..B..C.1.D.0.135.接上题,等于A..B..C..D.0.136.接134题,等于A..B..C..D.0.137.一电子处于自旋态中,则的可测值分别为A..B..C..D..138.接上题,测得为的几率分别是A..B..C..D..139.接137题,的平均值为0.B..C..D..140.在表象中,,则在该态中的可测值分别为A..B..C..D..141.接上题,测量的值为的几率分别为A..B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4,3/4.142.接140题,的平均值为A..B..C..D..143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性.145.分别处于态和态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C.0,1,2,3.D.1,2,3.(二)填空题1.Compton效应证实了。2.Bohr提出轨道量子化条件的数学表达式是。3.Sommerfeld提出的广义量子化条件是。4.一质量为的粒子的运动速度远小于光速，其动能为，其德布罗意波长为。5.黑体辐射和光电效应揭示了。6.1924年,法国物理学家DeBroglie提出了微观实物粒子具有。7.自由粒子的DeBroglie波函数为。8.用150伏特电压加速的电子，其DeBroglie波的波长是。9.玻恩对波函数的统计解释是。10.一粒子用波函数描写,则在某个区域内找到粒子的几率为。11.描写粒子同一状态的波函数有个。12.态迭加原理的内容是。13.一粒子由波函数描写，则。14.在粒子双狭缝衍射实验中，用和分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,则粒子在屏上一点P出现的几率密度为。15.一维自由粒子的薛定谔方程是。16.N个粒子体系的薛定谔方程是。17.几率连续性方程是由导出的。18.几率连续性方程的数学表达式为。19.几率流密度矢量的定义式是。20.空间V的边界曲面是S，和分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，则的物理意义是。21.量子力学中的质量守恒定律是。22.量子力学中的电荷守恒定律是。23.波函数应满足的三个标准条件是。24.定态波函数的定义式是。25.粒子在势场中运动，则粒子的哈密顿算符为。26.束缚态的定义是。27.线性谐振子的零点能为。28.线性谐振子的两相邻能级间距为。29.当体系处于力学量算符的本征态时,力学量F有确定值，这个值就是相应该态的。30.表示力学量的算符都是。31.厄密算符的本征值必为。32.。33.角动量平方算符的本征值为。34.角动量平方算符的本征值的简并度为。35.氢原子能级的简并度为。36.氢原子的能级对角量子数简并，这是场所特有的。37.一般来说，碱金属原子的价电子的能级的简并度是。38.氢原子基态的电离能为。39.氢原子体系的能量是。40.处于态的氢原子,其电子的角向几率分布是。41.厄密算符本征函数的正交归一性的数学表达式是。42.厄密算符属于不同本征值的本征函数。43.力学量算符的本征函数系为，则本征函数系的完全性是。44.当体系处于态时，其中为的本征函数系，在态中测量力学量F为其本征值的几率是。45.一力学量算符既有分立谱又有连续谱，则在任意态的平均值为。46.如果两个力学量算符有组成完全系的共同本征函数，则这两个算符。47.完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是。48.测不准关系反映了微观粒子的。49.若对易关系成立，则的不确定关系是。50.如果两个力学量算符对易，则在中它们可同时具有确定值。51.电子处于态中，则电子角动量的分量的平均值为。52.角动量平方算符与角动量分量算符的对易关系等于。53.角动量分量算符与动量的分量算符的对易关系等于。54.角动量分量算符与坐标的分量算符的对易关系等于。55.。56.粒子的状态由描写，则粒子动量的平均值是。57.一维自由粒子的动量本征函数是。58.角动量平方算符的本征值方程为。59.若不考虑电子的自旋，描写氢原子状态所需要的力学量的完全集合是。60.氢原子能量是考虑了得到的。61.量子力学中，称为表象。62.动量算符在坐标表象的表达式是。63.角动量算符在坐标表象中的表示是。64.角动量y分量的算符在坐标表象中的表示是。65.角动量z分量的算符在坐标表象中的表示是。66.波函数在动量表象中的表示是。67.在动量表象中，具有确定动量的粒子，其动量算符的本征方程是。68.已知具有分立的本征值，其相应本征函数为，则任意归一化波函数可写为，则在表象中的表示是。69.量子力学中的本征函数为(n=1,2,3,...)有无限多,称为Hilbert空间。70.接68题，力学量算符在表象中的矩阵元的数学表达式为。71.量子力学中，表示力学量算符的矩阵是矩阵。72.接68题,力学量算符在自身表象中的表示是。73.力学量算符在自身表象中的矩阵是矩阵。74.力学量算符在坐标表象中的矩阵元为。75.幺正矩阵满足的条件是。76.幺正变换不改变力学量算符的。77.幺正变换不改变矩阵的。78.力学量算符在动量表象中的微分形式是。79.坐标表象中的薛定谔方程是，它在动量表象中的表示是。80.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是。81.非简并定态微扰理论中，能量二级近似值为。82.非简并定态微扰理论中，波函数的一级近似表示为。83.非简并定态微扰理论的适用条件是。84.Stark效应是。85.氢原子处于弱电场中，其体系的微扰哈密顿是。86.在微扰作用下，时刻由态到态的跃迁几率是。87.1925年，Ulenbeck和Goudsmit提出每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向的投影只能取两个数值，即是。88.Stern-Gerlach实验证实了。89.Pauli算符的反对易关系式是。90.自旋角动量算符的定义式为。91.自旋角动量算符在表象中的矩阵表示是。92.自旋角动量算符在表象中的矩阵表示是。93.自旋角动量算符属于本征值的本征函数在表象中的矩阵表示是。94.Pauli算符的积算符在表象中的矩阵表示是。95.全同性原理的内容是。96.全同粒子体系的哈密顿具有对称性。97.全同粒子体系的波函数具有确定对称性，这种对称性不随改变。98.如果全同粒子体系的波函数是反对称的，则组成该体系的全同粒子一定是。99.Pauli原理的内容是。100.自旋算符无经典对应力学量，这纯属于。（三）判断题（说明必要的理由）1.量子力学是18世纪20年代诞生的科学。2.量子力学的建立始于人们对光的波粒二象性的认识。3.量子的概念是由爱因斯坦提出的。4.光量子的概念首先由普朗克引入。5.按照光的电磁理论，光的强度与频率有关。6.黑体必须是表面很黑的物体。7.普朗克常数起重要作用的现象可称为量子现象。8.按玻尔理论，谐振子不存在零点能。9.玻尔理论认为微观粒子是质点。10.微观实物粒子的波粒二象性由玻尔首先提出。11.自由粒子的能级是简并的。12.任意态的几率流密度都与时间无关。13.波函数归一化后就完全确定。14.波函数通常不可能是纯实数或纯虚数。15.波函数就是描写系统状态的态函数。16.波函数不是物理量。17.由波函数可以确定微观粒子的轨道。18.量子力学中自由粒子的概念比经典力学宽广的多。19.量子力学中的物理量都是分立的。20.无限深势阱越宽就越接近经典规律。21.量子力学中用算符表示微观粒子的力学量。22.量子力学仅讨论在经典物理中存在的力学量。23.量子力学中的算符都是幺正算符。24.角量子数为零的态称为态。25.角量子数为1的态称为态。26.当氢原子体系的能量大于零时，其电子的状态是束缚态。27.辏力场就是库仑场。28.库仑场一定是辏力场。29.辏力场一定是库仑场。30.约化质量又称为折合质量。31.无论是属于相同本征值还是不同本征值的本征函数都必定相互正交。32.若与对易，且与对易，则与对易。33.力学量的平均值一定是实数。34.若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值。35.正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系。36.测不准关系只适用于不对易的物理量。37.量子力学中力学量算符的对易关系没有传递性。38.量子力学的矩阵力学首先由薛定谔建立。39.对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并。40.归一化包括真实归一和归到δ函数。41.泡利首次提出电子具有自旋的假设。42.自旋角动量算符与轨道角动量算符的引入方式不同，因而不能满足同一个对易关系。43.塞曼效应与电子的自旋有关。44.电子是玻色子，光子是费米子。45.全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变。46.泡利不相容原理仅适用于玻色子系统。47.两电子的自旋反平行态为三重态。48.对单电子来说，三个泡利矩阵相乘的结果为单位矩阵。49.电子的波函数是三行一列的矩阵。50.泡利矩阵的表示不因表象的改变而改变。(四)名词解释1.量子现象2.光的波粒二象性3.德布罗意公式4.光子5.脱出功6.黑体7.微观实物粒子的波粒二象性8.Bohr的原子量子论9.态迭加原理10.波函数的标准条件11.定态12.束缚态13.几率波14.归一化波函数15.几率流密度矢量16.线性谐振子的零点能17.厄密算符18.简并度19.力学量的完全集合20.箱归一化21.函数的正交性22.角动量算符23.力学量算符的本征函数的正交归一性24.氢原子的赖曼线系25.表象26.希耳伯特空间27.幺正变换28.狄喇克符号29.占有数表象30.粒子的湮灭算符和产生算符31.厄密矩阵及其特点32.能量表象（五）证明题1.证明在定态中，几率流密度矢量与时间无关。2.证明厄密算符的本征值为实数。3.证明坐标算符和动量算符为厄密算符。4.证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。5.已知力学量算符的本征函数系具有完全性，有一归一化的波函数,证明。6.已知，则算符在归一化波函数中的平均值为，证明，其中。7.证明，其中为的任一函数。8.证明如果两个算符有完全的共同本征函数系，则这两个算符必对易。9.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的分量是，。10.证明在态中，和的平均值等于零。11.一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零。12.证明对易关系。13.在的本征态下，证明。14.证明力学量算符的矩阵是厄密矩阵。15.仿上题，并由此证明力学量算符在自身表象中的矩阵表示是对角阵,对角线上的元素依次按其本征值排列。16.粒子作一维运动,其能量本征方程为，试证。17.证明动量算符的属于本征值为的本征函数在动量表象中的表示是。18.已知力学量算符的本征方程为，试证明力学量平均值公式在表象中的矩阵表示是，其中，。19.已知力学量算符的本征方程为，试证明薛定谔方程在表象中的矩阵表示是，其中，。20.试证明线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的表示是。21.在表象中，算符，试证明其本征值为。22.在表象中，算符，试证明其本征值为。23.定义，证明（1），（2）。24.证明在表象中。25.证明在自旋态中，和的测不准关系是。（六）计算题1.氦原子的动能为(为Boltzman常数)，求时氦原子的波长。2.利用Bohr-Sommerfeld量子化条件求一维线性谐振子的能量。3.两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？4.一粒子由描写,计算其几率流密度，并说明其物理意义。5.一粒子由描写,计算其几率流密度，并说明其物理意义。6.求在一维势场中运动的粒子的能级和本征函数。7.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。8.求在一维势场中运动的粒子的能级和本征函数。9.试导出几率连续性方程。10.求在一维势场中运动的粒子的能级。11.求在二维势场中运动的粒子的能级和本征函数。12.试求的本征值和本征函数。13.设氢原子处于状态中，求氢原子的能量、角动量及角动量的z分量的可测值，以及这些值出现的的几率和它们的平均值。14.一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为，求粒子的能级和定态波函数()。15.设时粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。16.线性谐振子处于，其中为线性谐振子的能量本征函数，试求能量的可测及平均值。17.氢原子处于基态，求径向坐标和势能的平均值。18.氢原子处于基态，求最可几半径和动能平均值。19.一粒子的状态由描写，求动量的平均值。20.求在的本征态下，角动量沿与z轴成角的方向上的分量的平均值。21.一量子体系的哈密顿算符为，其中为常量，试计算该体系的能级。22.厄密算符与，满足,求：(1)在A表象中，求与的矩阵表示，并求的本征值和本征函数。(2)在A表象中，求与的矩阵表示，并求的本征值和本征函数。23.设，为的本征函数，即，为本征值，则与也是的本征函数，并求其本征值。24.转动惯量为，电耦极矩为的平面转子处在均匀电场中，电场在转动平面内，若电场较小，试用微扰法求转子能量的二级近似值。25.设体系的哈密顿在表象中的表示为，其中为的能级，为小实数量。试用微扰公式计算体系能量的二级近似值。26.设体系的哈密顿在表象中的表示为，试用微扰公式计算体系能量的二级近似值。27.设体系的哈密顿在的能级为各不相等，并且微扰哈密顿在表象中的表示为，其中为小实参量，试用微扰公式计算体系能量的二级近似值。28.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场的作用，电场沿正的方向，试求其定态能量的精确值。29.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场的作用，电场沿正的方向，试用微扰理论计算其能量级到二级近似值，并计算能级的精确解。30.粒子处于宽为的一维无限深势阱中，若微扰为试求粒子能量和波函数的一级修正。31.粒子处于宽为（）的一维无限深势阱中，若受到微扰（为常数）的作用，试求粒子能量和波函数的一级修正。32.在表象中，试计算和的矩阵表示。33.在表象中，试计算的矩阵表示。34.求的本征值和所属本征函数。35.求的本征值和所属本征函数。36.求自旋角动量在()方向的投影的本征值和所属本征函数。37.接上题，在属于的本征态中，测量有哪些可能取值，这些可能值出现的几率及的平均值。38.设氢原子处于的状态，求和的平均值。39.一体系有三个全同的玻色子组成，玻色子之间无作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，则体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态表示？40.一体系有三个全同的玻色子组成，玻色子之间无作用，玻色子有三个可能的单粒子态，则体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态表示？

练习题参考答案单项选择题A,2.B,3.C,4.D,5.A,6.B,7.A,8.B,9.C,10.A,11.B,12.D,13.C,14.D,15.D,16.C,17.C,18.A,19.D,20.C,21.C,22.D,23.C,24.C,25.C,26.C,27.D,28.C,29.A,30.A,31.A,32A,33.C,34.B,35.A,36.C,37.D,38.D,39.D,40.C,41.D,42.A,43.B,44.B,45.C,46.C,47.C,48.D,49.A,50.C,51.A,52.A,53.A,54.D,55.B,56.A,57.B,58.A,59.C,60.B,61.D,62.C,63.A,64.A,65.A,66.B,67.D,68.B,69.A,70.B,71.B,72.D,73.D,74.C,75.B,76.A,77.B,78.C,79.C,80.B,81.C,82.D,83.A,84.C,85.D,86.A,87.C,88.A,89.B,90.B,91.B,92.A,93.B,94.C,95.A,96.D,97.B,98.A,99.A,100.A,101.B,102.B,103.A,104.D,105.B,106.A,107.B,108.C,109.A,110.A,111.A,112.A,113.B,114.B,115.B,116.B,117.B,118.D,119.A,120.C,121.B,122.C,123.A,124.B,125.D,126.D,127.D,128.B,129.D,130.C,131.C,132.B,133.C,134.D,135.D,136.D,137.D,138.D,139.C,140.C,141.C,142.B,143.A,144.C,145.A填空题1、光具有粒子性；2、；3、；4、；5、光的波粒二象性(或光的粒子性)；6、波粒二象性；7、；8、1埃；9、波函数在空间某点的强度和在该点找到粒子的几率成正比；10、为比例常数；11、无穷多个；12、如果和是体系的可能状态，则它们的线性迭加也是体系的一个可能状态；13、；14、；15、；16、；17、波函数的统计解释和薛定谔方程；18、；19、；20、单位时间内区域V内几率的变化等于通过闭合曲面S流进或流出的几率；21、，其中；22、，其中；23、单值、连续、有限；24、；25、；26、在无穷远处为零的波函数所描写的状态；27、；28、；29、本征值；30、线性厄密算符；31、实数；32、；33、；34、；35、50；36、库仑；37、；38、13.60eV；39、；40、；41、；42、相互正交；43、为任意波函数；44、；45、；46、必对易；47、；48、波粒二象性；49、；50、它们的共同本征态；51、；52、0；53、；54、；55、；56、0；57、；58、；59、；60、当或时波函数有限；61、态和力学量的具体表示方式；62、；63、；64、；65、；66、;67、；68、；69、以为基矢所张成的无穷维的函数空间；70、；71、厄密；72、一个对角矩阵，对角元素按本征值排列；73、对角；74、；75、矩阵的厄密共轭阵等于它的逆矩阵；76、本征值；77、迹；78、；79、；80、；81、；82、；83、，；84、氢原子在外电场作用下谱线发生分裂的现象；85、；86、；87、；88、电子具有自旋；89、；90、；91、；92、；93、；94、；95、在全同粒子组成的体系中，交换任意两个粒子不改变体系的物理状态；96、交换；97、时间；98、费米子；99、在费米子组成的体系中，不能有两个以上费米子处于相同的状态；100、量子特性。判断题1、(错，应为20世纪)2、（对，1905年爱因斯坦提出光子假说）3、（错，应是普朗克）4、（错，应为爱因斯坦）5、（错，与频率无关）6、（错，不一定是很黑的物体，指对光的吸收情况而言）7、（对，如果普朗克常数起重要作用的现象，则认为是量子现象）8、（对，零点能是量子力学的必然结果）9、（对，玻尔理论是半经典、半量子的产物）10、（错，应是德布罗意）11、（对，为二重简并）12、（错，必须是定态）13、（错，仍含有不定相因子）14、（对，这是薛定谔方程和几率连续性方程的必然要求）15、（对，物理量都可以通过波函数描写）16、（对，波函数本身没有物理意义）17、（错，量子力学无轨道可言）18、（对，不同的表象可以有不同的态函数）19、（错，量子力学也有连续的物理量）20、（错，势阱越窄，量子效应更加明显）21、（错，用线性厄密算符表示）22、（错，比如自旋。量子力学也讨论在经典物理中不存在的物理量）23、（错，应是线性厄米算符）24、（对，符号规定）25、（对，符号规定）26、（错，应是电离状态）27、（错，辏力场仅是中心力场，不一定是库仑场）28、（对，库仑场一定是中心力场）29、（错。反之正确）30、（对，二者通用）31、（错，必须是不同本征值）32、（错，算符的对易没有传递性）33、（对，这样的算符才能表示力学量）34、（错，一般而言是正确的，有特殊情况存在）35、（对，测不准关系是波粒二象性的必然结果）36、（对，对易的物理量可同时确定）37、（对，算符的对易关系不同于一般的代数运算）38、（错，由海森伯建立）39、（错，必须是线性独立的波函数个数）40、（对，连续的物理量归δ函数）41、（错，应是乌伦贝克和歌德斯密脱）42、（错，满足角动量的共同的对易关系）43、（对，自旋与外磁场的作用引起附加能量）44、（错，应是电子是费米子。光子是玻色子）45、（错，对称性与反对称性都不随时间改变）46、（错，只适用于费米子系统）47、（错，为单态）48、（错，是对角矩阵）49、（错，为两行一列）50、（错，泡利矩阵的表示与表象的选取有关）（四）名词解释1．凡是Planck常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。2．光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性。3．E=h=，。4．Einstein认为电磁辐射不仅在被吸收和发射时以能量为的微粒出现，而且以这种形式以速度c在空间运动，这种粒子叫做光量子或光子。5．光电效应中电子脱出金属表面所需要作的功。6．如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。7．静止质量不为零的微观粒子同时具有粒子性和波动性，这种双重性称为其波粒二象性。8．Bohr的原子量子论有三点：（1）原子有能量不连续的定态；（2）原子的轨道角动量为常数的整数倍；（3）原子跃迁满足公式。9．如果和是体系的可能状态，那么它们的线性迭加也是这个体系的可能状态。10．波函数在变量变化的全部区域内通常应满足三个条件：有限性，连续性和单值性。11．体系处于所描写的状态时，能量具有确定值，所以这种状态称为定态。12．通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。13．波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成比例。按照这种解释，描写粒子的波乃是几率波。14．满足的波函数称为归一化波函数。15．为几率流密度矢量，它描写了几率的流动。16．一个最小而不等于零的振动，在任何情况下都不消减，大小为，是量子特性。17．如果对于两任意函数和，算符满足下列等式，则称为厄密算符18．我们把对应一个本征值有两个（含两个）以上本征函数且它们之间相互独立的情况，称这个本征值为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。19．要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量。这一组完全确定体系状态的力学量称为力学量的完全集合。20．把粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件的归一化方法称为箱归一化21．一般地，如果两函数和满足关系式式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则我们称和相互正交。22．凡满足定义式的算符，称之为角动量算符。23．若为某力学量算符的本征函数，其正交归一性为。24．主量子数以上的能级向能级跃迁的所有谱线组成的线系为Lyman线系。25．量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象26．量子力学中Q的本征函数有无限多，以这些本征函数为基矢所张成的无限维的函数空间，在数学中称为希耳伯特空间。27．满足的矩阵称为幺正矩阵，由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。28．量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体表象，这种描写的方式是狄喇克最先引进的，这样的一套表示态和力学量的符号称为狄喇克符号。29．以粒子数为基矢的表象称为占有数表象。30．，，所以称为粒子的湮灭算符称为粒子的产生算符。31．厄密算符的矩阵都是厄密矩阵，即满足。其特点是对角元素为实数，第元素与元素互为复数共轭。32．在以能量的本征函数为基矢张成的空间中表示态函数和算符的方式为能量表象。（五）证明题1.证明：几率流密度公式为：而定态波函数的一般形式为：将此式代入上式得：，所以。2.证明：若为厄米算符，则证明为实数。由厄米算符定义，令，，左=，右＝，，,,为实数。3.证明：，则由厄密算符的定义得，是厄密算符。因为，是厄米算符4.证明：设厄米算符的本征值非简并，取其中的任意的两个本征值和本征函数：和，有，，按厄米算符的定义，有，而上式的左端，右边，所以，。故，这就是厄米算符本征函数的正交性的数学表达。如果，而归一。则。这就是厄米算符本征函数的正交、归一性。5.证明：。此题得证。6.证明：。此题得证。7.证明：假设有任意的波函数，因为为任意的波函数，所以。8.证明：设,有一组共同的本征函数系，所以，，。设有一任意波函数，，。由的任意性，所以，即此两算符对易。9.证明：，。在球坐标中，氢原子中电子运动的状态函数为：。其中，均为实函数，是实数，只有是非实的，而。另外，球坐标中梯度算符为。显然有。-。所以有：，。证明：，据，。所以。 ，据，，所以 。11.证明：，设具有分立能谱的哈密顿算符的归一本征函数为，则：，因为是的本征态，满足，且是厄米算符，故：。12.证明：。13.证明：设的本征函数是，本征值是，，，，，所以：。同理可得：。14.证明：在表象中，，则的矩阵元为。所以力学量的矩阵的主对角线元素为实数；非主对角线行列与行列的元素互为共轭复数。凡是力学量算符的矩阵都是厄密矩阵。15.证明：仿上题只要把换成即可。。16.证明：因为，所以。。17.证明：设所描写的状态是具有动量的自由粒子的状态，即，又有，则：。所以在动量表象中，粒子具有确定动量的波函数是以动量为变量的函数。18.证明：，，代入算符平均值公式：，，又因为：，所以有：。19.证明：将，，代入薛定谔方程，等式两边左乘，再对变化的全空间积分，得，整理得：，。20.证明：在坐标表象中，一维线性谐振子的哈密顿写为：，对于一维线性谐振子，在动量表象中的微分形式为：，把上式代入哈密顿在坐标表象的表示，得。21.证明：设在和的共同表象中，的本征函数为，为所对应的本征值，本征方程为：，即，，齐次方程有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即，展开后整理得，即，得本征值为。22.证明：设在和的共同表象中，的本征函数为，为所对应的本征值，本征方程为：，即，，齐次方程有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即，由此得，得本征值为。23.证明：（1），。。（2）。24.证明：在的表象中，，，。 ，即。25.证明：而，。所以。又，。所以。最后。（六）计算题解：在的情况下，，故。尔格，克。埃。2.解：玻尔－索末菲的量子化条件表示为：，式中，为广义动量和广义坐标。一维谐振子的能量，整理为如下形式：，这是椭圆方程，长半轴和短半轴分别为，。于是。由最后一个等号，立即得到：，其中。3.解：反应可以表示为：。正负电子的能量，这能量来自光量子。所以光子的波长为：，当动量为零时，波长最大，则。4.解：在球坐标中，梯度坐标为。只是的函数，与，无关，所以，，几率流密度，则。所得结果说明表示向外传播的球面波。5.解：在球坐标中，梯度坐标为。只是的函数，与，无关，所以，，几率流密度，则。所得结果说明表示向内(即向原点)传播的球面波。6.解：粒子被限制在区间运动，除和两点外，粒子在内却是自由的，故状态可以看作两个动量为和的平面波的叠加，即，由得，即。所以，由得，即要求，所以，，为归一化常数，；在阱外波函数为零。7.解：一维谐振子第一激发态的波函数为，其中。几率密度。。极值点有，和五个。使的只有两个值。所以，和处第一激发态粒子出现的几率最大。8．解：在的区域，方程为：解是，，其中，是关于的n次多项式厄米多项式。必须注意的是，在的区域，即。这是题设条件的必然结果，那么要求在处波函数连续，即，而这一条件被，……（即n取奇数），厄米多项式所满足。所以，符合题意的解应是：波函数，能级，……。解：由波函数的统计解释知，几率密度随时间的变化率为。由薛定谔方程和它的共轭复数方程可得：，这样有。， 则可得：。这就是几率连续性方程。10.解：在阱内，体系所满足的定态薛定谔方程是，，①在阱外，定态薛定谔方程是，，。②根据波函数满足的连续性和有限性条件，只有当时，②式才能成立，所以有，。③引入符号，则①式简写为，，④它的解是，。⑤根据的连续性，由③及⑤两式，有，。和不能同时为零，否则到处为零，这在物理上是没有意义的。因此，可以得到两组解：（1），，（2），。由此可求得，⑥对于第一组解，为奇数；对于第二组解，为偶数。对应于恒为零的解，等于负整数时不给出新的解。由的定义式和⑥式，得到体系的能量为，＝整数。11.解：在方向，粒子被限制在区间运动，除和两点外，粒子在内却是自由的，故状态可以看作两个动量为和的平面波的叠加，即，由得：，即。所以。由得：，即要求，所以，为归一化常数，。，。同理可得方向波函数和能级：，为归一化常数，。，。系统的波函数＝系统的能级为：，。12.解：设本征函数为，本征值为，则＝。即＝，，解为：＝。单值性条件由此而得，因此，波函数为：。归一化，，得。即归一化的波函数为＝，相应的本征值为，。13.解：（1）能量：能量的本征方程为：，其能量，，可见所给波函数是能量的本征函数，。（2）角动量平方：角动量平方的本征方程为，其。可见所给波函数是角动量平方的本征态，角动量平方有确定的值（对应于）。（3）角动量分量： 的本征方程，当时，＝0；当时，；即的可能值是0和。出现0和的几率分别为：和，即和。的平均值。14.解：中心力场问题，在的状态，波函数与角度无关，，所以在范围内，粒子所满足的薛定谔方程为，①其中，。②令，则①式变为，③它的解为即，④要求当时有