概率和抽样分布

第四章抽样分布与参数估计第一节频率、概率第二节概率分布第三节抽样分布1第一节频率、概率与概率分布一、随机事件与概率（一）随机试验与事件随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质：（1）每次试验的可能结果不是唯一的；（2）每次试验之前不能确定何种结果会出现；（3）试验可在相同条件下重复进行。2例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，…来表示随机事件，例如，设A表示“出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}。3（二）概率1.概率的定义概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率，是对随机事件发生可能性的度量。随机事件A发生可能性大小称为事件A发生的概率，记为：P(A)=p。正确理解和计算随机事件的概率是进行统计推断和统计决策的基础按不同的观点和不同情的况，概率有古典概率、试验概率和主观概率三种不同的解释42.古典概率

起源于17世纪很流行的赌博输赢的估计。设事件A是样本空间Ω中的一个随机事件，事件A的古典概率定义为：5例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大？解：由于摸出的任何1只球都形成一个基本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即A={白球，白球}，有利场合数m=2。因此，刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.463.试验概率

古典概率在应用上受到两个条件的限制：一是随机试验的结果只有有限个，二是这些结果出现的可能性相同。如果采用试验概率，就不受上述条件的限制4.主观概率在实际问题中，有些试验是无法在相同的条件下重复进行。如：股价指数在未来一周内上升的可能性有多大。只能凭经验进行主观的估计。72.概率的基本性质性质11≥P(A)≥0。性质2P(Ω)=1。性质3若事件A与事件B互不相容，即AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。推论1不可能事件的概率为0，即：P(Ф)=0。推论2P()=1-P(A),表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。8第二节随机变量概率分布随机变量X是定义在样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}上的一个函数，这个函数的取值随试验的结果不同而变化。这个函数还要求满足条件：对任意的实数x，X<x是随机事件。如果随机变量所有可能的取值是有限的，或可排成一列的，这种随机变量称为离散型随机变量；另一种情况是随机变量的取值范围是一个区间或整个数轴，这种随机变量称为连续型随机变量。1.离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2，…,xn,…，相应的概率为p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。用表格统一表示出来是：9Xx1x2……xn……Pp(x1)p(x2)……p(xn)……这称称为为离离散散型型随随机机变变量量X的的概概率率分分布布。。性质质：：(1)0≤≤p(xi)≤≤1(i=1,2,……)；；(2)定义义:离离散散型型随随机机变变量量X的的期期望望值值为为性质质：：其中中X1，，X2都都是是随随机机变变量量，，αα，，ββ是是任任意意常常数数。。10定义义:离离散散型型随随机机变变量量X的的方方差差为为方差差的的平平方方根根σσ称称为为标标准准差差。。方差差σσ2或标标准准差差σσ反反映映随随机机变变量量X相相对对其其期期望望值值的的离散程度度，σ2或σ越小小,说说明期望望值的代代表性越越好；σσ2或σ越大大，说明明期望值值的代表表性越差差。性质：对对于任意意的α，，D(ααX)=α2D(X)成立立112.连连续型随随机变量量的概率率分布设X是R.V.,x是一一实数.记F(x)=P(X<x)。该该函数就就是随机机变量X的分布布函数。。分布函函数的导导数称为为密度函函数，记记作p(x)。性质(1)p(x)≥≥0(2)(3)a

bxP(a≤x<b)12定义:连连续续型随机机变量X的期望望值为方差为13例：某大大学英语语考试成成绩服从从正态分分布，已已知平均均成绩为为70分分，标准准差为10分。。求该大大学英语语成绩在在60——75分分的概率率。14第三节抽抽样样分布一、抽样样的基本本概念二、抽样样分布（一）重重复抽样样分布（二）不不重复抽抽样分布布15一、抽样样的基本本概念抽样涉及及的基本本概念有有：总体与样样本(见见第一章章)样本容量量与样本本个数总体参数数与样本本统计量量重复抽样样与不重重复抽样样这些概念念是统计计学特有有的，体体现了统统计学的的基本思思想与方方法。16总体和样样本（参参见第1章）1.总体：又称全全及总体体、母体体，指所所要研究究对象的的全体，，由许多多客观存存在的具具有某种种共同性性质的单单位构成成。总体体单位数数用N表示。2.样本本：又称子样样，来自自总体，，是从总总体中按按随机原原则抽选选出来的的部分，，由抽选选的单位位构成。。样本单单位数用用n表示。3.总体体是唯一一的、确确定的，，而样本本是不确确定的、、可变的的、随机机的。17样本容量量与样本本个数样本容量量：一个个样本中中所包含含的单位位数，用用n表示。样本个数数：又称称样本可可能数目目，指从从一个总总体中所所可能抽抽取的样样本的个个数。对对于有限限总体，，样本个个数可以以计算出出来。样样本个数数的多少少与抽样样方法有有关。(这个概念念只是对对有限总总体有意意义，对对无限总总体没有有意义！！)18总体参数数和样本本统计量量总体参数数：反映映总体数数量特征征的指标标。其数数值是唯唯一的、、确定的的。样本统计计量：根根据样本本分布计计算的指指标。是是随机变变量。19平均数标准差、方差成数参数、2p统计量S、S2P总体20二、抽样样分布概念：由由样本统统计量的的全部可可能取值值和与之之相应的的概率（（频率））组成的的分配数数列。（（某一统计计量所有有可能的的样本的的取值形形成的分分布。）包括以下下内容重置抽样样分布不重置抽抽样分布布21重置抽样样分布--样本本平均数数的分布布某班组5个工人人的日工工资为34、38、42、46、50元。。=422=32现用重置置抽样的的方法从从5人中中随机抽抽2个单单位构成成样本。。共有52=25个个样本。。如下图图。2223样本平均均数的分分布24验证了以以下两个个结论：：抽样平均均数的标标准差反反映所有有的样本本平均数数与总体体平均数数的平均均误差，，称为抽抽样平均均误差，，用表表示。。25由概率论论知，如如果总体体是正态态分布的的，则样样本平均均数的抽抽样分布布是如下下正态分分布从分布形形式看，，当总体体为非正正态分布布时，样样本均值值的抽样样分布随随着样本本容量的的扩大而而趋近于于正态分分布26样本成数数的分布布总体成数数p是指具有有某种特特征的单单位在总总体中的的比重。成数是是一个特特殊平均均数，设设总体单单位总数数目是N，总体中中有该特特征的单单位数是是N1。设x是0、1变量（（总体单单位有该该特征，，则x取1，否否则取0），则则有：27样本成数数的分布布现从总体体中抽出出n个单位，，如果其其中有相相应特征征的单位位数是n1，则样本本成数是是：P也是一个个随机变变量，利利用样本本平均数数的分布布性质结结论，即即有：28不重置置抽样样分布布样本均均值的的分布布性质质：样本成成数的的分布布性质质29抽样分分布总总结样本平均数的分布样本成数的分布重复抽样不重复抽样30例1：：求样样本平平均数数的概概率分分布设某公公司1000名名职工工的人人均年年奖金金为2000元元，标标准差差500元元，随随机抽抽取36人人作为为样本本进行行调查查，问问样本本的人人均年年奖金金在1900~2200元之之间的的概率率有多多大？？31例2：：某某地区区职工工家庭庭的人人均年年收入入平均均为12000元，，标准准差为为2000元。。若知知该地地区家家庭的的人均均年收收入服服从正正态分分布，，现采采用重重复抽抽样从从总体体中随随机抽抽取25户户进行行调查查，问问出现现样本本平均均数等等于或或超过过12500元元的可可能性性有多多大？？32例3某某商场场推销销一种种洗发发水。。据统统计，，本年年度购购买此此种洗洗发水水的有有10万人人，其其中6万是是女性性