空气动力学讲义

第1章流体属性与流体静力学1.1作用在连续介质上的力作用在连续介质上的力包括质量力和表面力。质量力是作用连续介质内部的力，无需物体之间的相互接触，如：重力、电磁力、惯性力等。在单位质量连续介质受到的质量力可表示为一向量。作用在连续介质微团上的质量力:(1.1)其中,为连续介质的密度,为连续介质微团的体积。作用在一团连续介质的质量力的合力:(1.2)表面力：连续介质微元微团表面上的力，单位面积上的表面力称为应力。应力不仅是位置的函数，而且是方位的函数。任一点的应力状态可用一张量来表示：（1.3）其中，。作用于任一微元面上的表面力可表示为（1.4）其中，为平面的法向量。(1.5)作用在一团连续介质的表面力的合力:(1.6)1.2固体、流体的区别固体与流体（包括液体、气体）的区别：静止的流体能不能承受拉力和剪切力而静止的固体可以承受拉力和剪切力。（实践中总结出来的）流体中的应力只有压强。推论：静止流体内的压强只是位置的函数。（可由理论证明得到）证明:如图,围绕空间某一点取一四面体。四面体的各个面的单位法向量分别为，所对应的压强分别为：，分别为沿x,y,z方向的单位向量,为任意取的单位法向量。根据平衡条件:xxyzpxpzpypnABCOodxdydzx(1.7)(1.8)(1.9)为四面体法向量为的面的面积,为四面体的体积,当趋于无穷小时,趋于无穷小。由（1.7）、（1.8）、（1.9）可知：(1.10)静止流体内任一点的应力状态可用一标量来表示：。作用在一团静止流体的表面力的合力:(1.11)对比固体内的应力：是位置和方位的函数。气体的特点：可压缩性。气体的状态方程：(1.12)1.3流体静力学流体静力学基本方程:(1.13)由高斯定律:(1.14)式(1.14)代入(1.13)(1.15)由于流体微团是任意取的,故得到流体静力学方程的微分形式:(1.16)在重力场作用下,,方程(1.16)变为(1.17)对于不可压流体:(1.18)对于可压流体,密度不是常数。根据气体气体的状态方程知：（1.19）将（1.19）代入(1.17)得（1.20）大气层内的温度、压强、密度分布：(1)中纬度地带，在对流层（）的平均温度分布为:（1.21)其中,z为距海平面的高度（单位：m）。在平流层（）温度为一常数：。(2)对流层（）的压强分布：（1.22）对（1.22）式积分（1.23）(3)对流层的密度分布：(1.24)(4)平流层的压强分布(1.25)第二章流体运动学和动力学基础2.1描述流体运动的方法§2.1.1拉格朗日方法与欧拉方法根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。2、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。用如下方程描述质点（a,b,c）所经历的轨迹：(2.1)其中，a,b,c为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，一般可用质点的初始坐标表示;t表示时间。a.b.c.t称为拉格朗日变数。由（2.1）式，可求得流体质点的速度和加速度：（2.2）2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法）欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。在Euler方法，时间.t和空间坐标（x,y,z）是自变量，其他物理量都可表示为时间.t和空间坐标（x,y,z）的函数：（1.3）其中，代表其中速度、压强、温度等物理量。 3、随体导数问题的提出：在欧拉坐标系中如何表示流体质点的加速度。对于同一流体质点来说，空间坐标（x,y,z）是时间t的函数。某流体质点上的物理量可表示为（1.4）根据复合函数求导规则可知（1.5）1.3流体运动方程及应用§1.3.1连续性方程根据质量守恒原理(1.6)式(1.6)可表示为(1.7)其中,为流体域的边界。根据高斯公式：（1.8）式（1.8）代入（1.7）得（1.9）由于流体域是任意取的，可得下面微分形式的连续性方程（1.10）对于不可压缩流体：，（1.11）连续性方程应用举例。图1.1是反共振流体隔振系统示意图。当浮体以速度U运动时，浮体与流体容器侧壁间的流体将以速度v运动。已知L，w，求v与U的关系。解：根据连续性方程知：由上式可得当L>>w的情况下，浮体以较小的速度运动时，浮体与流体容器侧壁间的流体也能以较高的速度运动。图1.1反共振流体隔振系统1.浮体2.弹簧3.流体介质4.流体容器5.基座6.被隔振物体§2.3.2欧拉方程对于理想流体,流体运动的动量方程可表示为(1.12)根据雷诺输运定律和高斯定律(1.13)式可写为(1.13)由于流体域是任意的，（1.13）可写成微分方程的形式（1.14）考虑连续性方程（1.12），式（1.14）变为（1.15）考虑到式(1.15)变为(1.16)对于无旋不可压缩流动（1.17）其中，C为常数。对于定常问题（1.18）式（1.17）、（1.18）为非定常和定常问题的伯努利方程。伯努利方程应用举例例1、U形管中液体的振荡：当一定量的液体冲入U形管中,会有振动现象出现。求振动的固有频率。112解：根据伯努利方程知：由连续性方程知：。由此可得，其中，l为U形管中液柱的长度。由于，且只是时间的函数。故由上式可知，U形管振荡的固有频率为§2.3.3动量方程在实际应用中,常将动量方程(1.14)写成下列形式(1.20)其中,为作用在控制体上的所有外力,包括质量力和表面力。注：在应用动量方程时，坐标系必须是惯性坐标系。动量方程应用举例。下图是喷气式发动机模型，当飞机以速度V飞行，前方来流的空气密度为，温度为，空气加温后，温度升高，大气压为。求发动机的推力F。ρVAρ1ρVAρ1V1A1解：根据连续性方程：。根据气体状态方程：，综合考虑：根据动量方程：发动机的效率:§1.3.4能量方程流体中储存的能量包括内能和动能。根据能量守恒定律知:（1.21）其中，，分别为单位质量的内能和动能，Q为单位时间内传入系统的热量（包括传导和辐射）。在欧拉坐标系中,式(1.21)可写为(1.22)在重力场中,,(1.22)式可写为(1.23)能量方程应用举例例1、U形管中液体的振荡：当一定量的液体冲入U形管中,会有振动现象出现。从能量方程出发,求U形管振动的固有频率。112解：由能量方程知：其中，l为U形管中液柱的长度。由于，且u只是时间的函数。故由上式可知，U形管振荡的固有频率为第二章一维气体动力学§2.1热力学基本知识§2.1.1热力学的基本状态参数描述气体热力学状态的基本参数有密度、压强和温度。除这三个基本状态参数外，还有内能、熵、焓等气体的状态基本参数。内能、熵、焓这些状态参数都是基本状态参数的函数。对于理想气体满足状态方程:(2.1.1)对于非理想气体状态方程：（2.1.2）其中，为单位质量的气体体积,,为临界温度和临界压强。(注:临界温度是指气体液化的最高温度,在临界温度之上,无论气体的压强有多大,气体都不会液化;临界压强是指气体在临界温度时气体液化所需的最小压强)对于氮气。根据气体的状态方程可知，在热力学系统中只有两个独立的参数，其它状态参数都是这两个参数的函数。§2.1.2热力学第一定律在不考虑粘性耗散和热辐射的情况下，能量守恒方程（1.22）可简化为（2.1.3）由高斯公式可知（2.1.4）考虑，式（2.1.4）变为（2.1.5）由（2.1.5）得到热力学第一定律：（2.1.6）热力学第一定律的物理意义:系统内能的增加等于系统吸收的热量减去其对外所做的功。§2.1.3等容比热、等压比热、比热比和焓的概念等容比热：热力学系统的容积不变时，单位质量的气体温度升高1个单位所吸收的热量，用表示。对于等容过程，式（2.1.6）可写为（2.1.7）等压比热：热力学系统的压强不变时，单位质量的气体温度升高1个单位所吸收的热量，用表示。对于等压过程，由式（2.1.6）知：（2.1.8）等容比热和等压比热的关系根据理想气体的状态方程(2.1.1)知：（2.1.9）由（2.1.9）知（2.1.10）对于等压过程，（2.1.10）式变为（2.1.11）根据热力学第一定律等压过程应满足（2.1.12）将（2.1.7）式代入（2.1.12）得（2.1.13）定义比热比。由（2.1.13）知：（2.1.14）对于空气，，。焓的概念：定义焓h的表达式为（2.1.15）焓表示单位质量的内能和压能之和。对（2.1.15）求微分（2.1.16）§2.1.4热力学第二定律热量只能从高温物体传给低温物体;机械能可全部转化为热能,而热能一般不能全部转化为机械能（除等熵过程）。熵的定义：熵是一个描述热力学系统的状态参数。热力学系统的状态可由比容v和熵s确定。系统的内能可表示为v和s的函数（2.1.17）气体的压强、温度可由下面导数得到（2.1.18）（2.1.19）式（2.1.18）的物理含义是：在等熵变化的情况下，内能全部转化为机械能。式（2.1.19）的物理意义是：在气体体积不变的情况下，内能随熵的增加而增加。温度越高，内能随熵增加得越快。等熵过程的例子：绝热压缩过程。非等熵过程的例子：粘性耗散由于粘性力作用，气体的动能会耗散为内能。这时，内能要增加。若气体体积没有变化，则趋于无穷大，而压强为一有限值。热力学第二定律用熵来表示：。在不考虑粘性耗散的情况下，有下面表达式（2.1.20）由（2.1.20）得到熵的计算公式：（2.1.21）问题：如何理解绝热过程不一定时等熵过程，但等熵过程一定是绝热过程。等熵关系对于等熵过程有。根据热力学第一定律，有（2.1.22）考虑理想气体的状态方程，式（2.1.22）变为（2.1.23）例1、压缩空气储能分析压缩空气在膨胀过程中，可对外界做功，所作的功可用下式表示：对于理想气体:考虑等温过程：当时，。考虑绝热过程当时，例2、制冷机的效率分析制冷机效率定义为，其中，为制冷机从低温状态抽到高温状态的能量，为制冷机消耗的功率。高温状态下能量的增量：。当高温状态下的能量增加时,热机可将其转化为功，为热机效率。根据热力学第二定律，由此得到。例3、热机的效率分析设某系统周围环境的温度为,压强为。在系统体积不变的情况下，采用一定的方法使系统的温度升高至，系统内的压强升高至。这时，系统会发生膨胀而对外作功。考虑绝热过程，系统对外所做的功为由气体的状态方程知：由此得到系统所做的功为：当时，热机效率：考虑系统绝热膨胀后,进一步将热量传给外界,系统体积会减小,在压强作用下,外界所作的功为：。其中，。§2.2小扰动在可缩流体中的传播声速和马赫数§2.2.1无粘可压缩流动的基本方程组连续性方程:(2.2.1)动量方程:(2.2.2)能量方程:(2.2.3)状态方程:(2.2.4)§2.2.2小扰动线性化方程令,其中为静止状态下的压强和密度。将的表达式代入(2.2.1)、（2.2.2）得（2.2.5）（2.2.6）考虑到，为波长，U为小扰动的特征速度。对于小扰动有。方程（2.2.5）、（2.2.6）简化为（2.2.7）（2.2.8）由式（2.2.7）、（2.2.8）得（2.2.9）若只是的函数，则有（2.2.10）式（2.2.10）代入（2.2.9）得（2.2.11）对于等温过程：，常温下空气的声速。对于等熵过程：，常温下空气的声速。一维小扰动传播速度的推导aa坐标系固定在波面上根据连续性方程：（2.2.12）根据动量方程：（2.2.12）由（2.2.12）知：（2.2.13）由（2.2.13）知：(2.2.14)由（2.2.13）和(2.2.14)可得§2.2.3马赫数马赫数的定义：马赫数的物理意义：考虑动量方程：考虑等熵关系故§2.3可缩流动的伯努利方程和气体动力学函数§2.3.1定常可缩流动伯努利方程的推导考虑一根流管中的流动(如下图)112根据连续性方程:(2.3.1)根据能量守恒定律:(2.3.2)由(2.3.1),(2.3.2)得(2.3.3)当流管变得很细后，就是流线。由于截面1、2是任意的，因此流线任一点内能、压强、速度满足（2.3.4）其中，为常数。如图，已知高压气罐中的压强、温度分别为，喷口处的压强为，求喷口处的流速和温度。解：假设气体的流动参数的变化过程为等熵过程，则。考虑气体状态方程得，从而得。根据伯努利方程§2.3.2气体动力学函数根据伯努利方程知:（2.3.5）下标”0”表示滞止状态。（2.3.5）式可写为（2.3.6）式(2.3.6)两边同时除以得（2.3.7）考虑到,式(2.3.7)变为(2.3.8)考虑等熵关系:得(2.3.9)临界状态：。§2.3.3一维定常等熵管流问题的提出：已知高压气罐中的压强、温度分别为，喷口处的压强为，问喷口处流动能为超音速吗？一、基本方程连续性方程：动量方程：等熵关系：由连续性方程：考虑动量方程得到速度和截面积的关系：：亚音速流动，截面积增大流速减少。：音速，。：超音速流动，截面积增大流速增大。其它物理量与截面积的关系:二、超音速喷管的设计拉瓦尔喷管：M<1M>1M<1M>1 拉瓦尔喷管内流动参量的变化：截面收缩段,M<1,截面积A的减小,速度V增大,压强p减小,密度减小,温度T降低。截面扩张段,M>1,截面积A的增大,速度V增大,压强p减小,密度减小,温度T降低。喷管截面积与流动马赫数的关系:根据连续性方程:假想在截面积时,,则有(2.3.10)§2.4正激波§2.4.1激波现象超音速飞机,导弹,火箭前面的脱体激波原子弹爆炸形成的冲击波内爆波激波风洞§2.4.2激波形成的机理§2.4.2正激波前后的物理量的关系在静止坐标系下的运动正激波可通过坐标变换的方法变为静止正激波。UU坐标系固定在激波面上下面根据连续性方程、动量方程和能量守恒方程建立静止正激波前后物理量的关系。连续性方程：动量方程：能量守恒方程：（1）激波前后的压强密度关系：（2.4.1）考虑弱激波的情况：（2.4.2）（2.4.2）代入（2.4.1）得（2.4.3）很小时，激波关系变为等熵关系：（2）激波前后的速度关系普朗特关系：（2.4.4）其中,为临界音速。注：激波前后的相等。下面是具体说明。根据能量守恒知，激波前后的值相等。由激波前后分别满足气体动力学：普朗特关系的证明:（3）激波前后物理量的关系目标：例1、在激波管中放置一膜，膜的左边压强、密度和温度分别为，右边的压强分别为，，求膜破裂后，激波的运动速度和气流的运动速度。ttxx在接触面上,。根据气体动力学函数：根据激波关系：采用迭代法求解第三章斜激波当均匀的超音速气流绕过凹壁AOB，会有斜激波产生。已知：激波前所有流动参量，求激波后的流动参量。MM>1AOBβ如图3.2所示，波前的流动参量为，波后的流动参量为定义波前马赫数。根据速度的分解理论：（3.1）LLV1w1u1w2V2u2图3.2根据正激波前后流动参量的关系知：（3.2）（3.3）（3.4）（3.5）如何求？与的关系考虑几何关系：（3.6）因为，由（3.6）式得（3.7）（3.7）式代入（3.2）式得（3.9）（3.10）0090o第四章膨胀波4.1弱扰动在气流中的传播在静止气流中，弱扰动以球面波的形式传播，可传遍全场。在亚音速气流中，弱扰动以球心移动的球面波的形式传播，可传遍全场。在超音速气流中，弱扰动只能在一个圆锥内传播。圆锥母线与气流方向的夹角称为马赫角。马赫角满足下面关系（4.1）4.2膨胀波的形成及气特点假设均匀的超音速气流绕过凸壁AOB，在O点，气流发生扰动，产生一道马赫波OL。OL与气流的夹角为马赫角,如图4.1所示。M>1AM>1AOBLμ下面求马赫波OL前后流动参量的关系。根据动量定律：（4.2）由连续性方程知：（4.3）（4.3）代入（4.2）得（4.4）V’nLV’nLVVtVnV’tV+dV由(4.4)式得(4.5)由(4.5)式得(4.6)考虑到(4.6)变为(4.7)方程（4.7）中，有两个未知数。故需寻找和的关系。考虑M的定义得（4.8）由气体动力学函数：（4.9）其中，为滞止音速，在流动中保持为常数。由式（4.9）可得（4.10）（4.10）式代入（4.9）式得（4.11）式（4.11）代入（4.7）得(4.12)对(4.12)进行积分得(4.13)其中,例1超音速气流流过一平底弧形翼型,翼型前缘处上翼面的切线与与底AC的夹角为5o,原始的气流参数:气流方向正好与翼型前缘处上翼面的切线方向一致。试确定上翼面B点（该点切线与底AC平行）和C点（后缘）处的压强。ABABC解:ABC是一外凸曲壁.对于,可计算出,由此,计算出,第五章低速翼型5.1翼型的几何参数NACA4415NACA4415前缘厚度中弧线后缘弯度弦线弦长b后缘角NACA4415NACA四位数字翼族::中弧线最高点的高度(最大弯度):中弧线最高点的位置(距前缘的距离):翼型的最大厚度NACA翼型的计算公式:(1)翼型无量纲厚度,（5.1）上式中,翼型的最大厚度在30%的弦长处,为前缘半径。(2)中弧线方程（5.2）(3)上下翼面的方程：（5.3）5.2翼型的气动特性升力系数(5.4)其中,L为作用在单位长度翼上的升力（与气流方向垂直的力），：无穷远处的来流速