241平面向量的数量积优秀课件

2.4.1平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积1向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作

=a,

=b,则叫做向量a与b的夹角

当时，a与b

＿＿；

当时，a与b＿＿；

当时，a与b＿＿，记作反向同向垂直向量的夹角2如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOA问题情境θFFθSW=│F││S│COSθF是___量，S是___量，W是___量，矢矢标如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:θ表示3思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果有什么区别？向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）1、数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积）记作即并规定思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果有什么区别？向量4│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。（1）思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OAB（2）abOAB（3）ababAO过b的终点B作OA＝a的垂线段，垂足为，则由直角三角形的性质得=│b│COSθ投影是向量吗

投影是一个数值（实数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值。时│b│COSθ＝＿＿时│b│COSθ＝＿＿时│b│COSθ＝＿＿－│b││b│0B│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。（1）思考2：在下5数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积a•b的几何意义：2、向量数量积的几何意义a•b=│a││b│COSθabθOBOB＝│b│COSθ数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│C63、向量数量积的性质设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e•a=__________;a•e=_________(2)a

b____a•b=0(3)当a与b同向时，a•b=________

当a与b异向时，a•b=___________a•a=________=

(4)│a•b│___

│a││b│(5)cos＝______│a│COSθ│a│COSθ│a││b│-│a││b│a•b=│a││b│COSθe•a=a•e=│a│COSθ性质43、向量数量积的性质设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同7a•b=│a││b│COSθ（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0（）（2）若a0，则对任意非零向量b，有a•b0()（3）若a0，且a•b=0，则b=0（）（4）若a•b=0，则a=0或b=0

（）（5）对任意向量a有（）（6）若a0，且a•b=a•c

，则b=c（）4、反馈练习:判断正误a²=|a|²××××√√向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的a•b=│a││b│COSθ（1）若a=0，则对任意向量b，85、典型例题分析a•b=│a││b│COSθ5、典型例题分析a•b=│a││b│COSθ9例题进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角a•b=│a││b│COSθ例题进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又a•b=│a│1024135°钝角直角0－20a•b=│a││b│COSθ6、课时作业：1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－，求a和b的夹角3、已知中，AB＝a，AC＝b当a•b<0时，是＿＿＿三角形；

当a•b=0时，是＿＿＿三角形4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影

5、已知中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA作业524135°钝角直角0－20a•b=│a││b│COSθ6、117、总结提炼（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、几何意义及其性质（2）向量的数量积的物理模型是力做功（3）a•b的结果是一个实数（标量）（4）利用a•b=│a││b│COSθ

，可以求两向量的夹角，尤其是判定垂直（5）五条基本性质要掌握a•b=│a││b│COSθ7、总结提炼a•b=│a││b│COSθ128、作业布置

《优化设计》P82随堂训练1、4、6

P83强化训练2、88、作业布置13a•b=│a││b│COSθ证明向量数量积性质4(4)│a•b│

│a││b│因为a•b=│a││b│COSθ

所以│a•b│=│a││b││COSθ│又│COSθ│

1所以│a•b│

│a││b│思考：在什么情况下取等号？返回练习a•b=│a││b│COSθ证明向量数量积性质4因为a•b=14a•b=│a││b│COSθ反馈练习（2）若a0，则对任意非零向量b，有a•b

0吗？分析：对两非零向量a、b，当它们的夹角时a•b=0返回练习a•b=│a││b│COSθ反馈练习（2）分析：对两非零向量15谢谢大家！谢谢大家！16反馈练习（6）若a0，且a•b=a•c

，则b=c(×)a•b=│a││b│COSθ分析：由右图易知，虽然

a•b=a•c

，但b

cacb返回例题返回反馈练习反馈练习（6）a•b=│a││b│COSθ分析：由右图易知，17课堂作业5已知中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA解：BC•CA＝a•b=│a││b│COS(180°-60°)=5×8×cos120°=-20ACBa•b=│a││b│COSθ60°120°abD课堂作业5ACBa•b=│a││b│COSθ60°120°182.4.1平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积19向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作

=a,

=b,则叫做向量a与b的夹角

当时，a与b

＿＿；

当时，a与b＿＿；

当时，a与b＿＿，记作反向同向垂直向量的夹角20如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOA问题情境θFFθSW=│F││S│COSθF是___量，S是___量，W是___量，矢矢标如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:θ表示21思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果有什么区别？向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）1、数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积）记作即并规定思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果有什么区别？向量22│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。（1）思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OAB（2）abOAB（3）ababAO过b的终点B作OA＝a的垂线段，垂足为，则由直角三角形的性质得=│b│COSθ投影是向量吗

投影是一个数值（实数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值。时│b│COSθ＝＿＿时│b│COSθ＝＿＿时│b│COSθ＝＿＿－│b││b│0B│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。（1）思考2：在下23数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积a•b的几何意义：2、向量数量积的几何意义a•b=│a││b│COSθabθOBOB＝│b│COSθ数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│C243、向量数量积的性质设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e•a=__________;a•e=_________(2)a

b____a•b=0(3)当a与b同向时，a•b=________

当a与b异向时，a•b=___________a•a=________=

(4)│a•b│___

│a││b│(5)cos＝______│a│COSθ│a│COSθ│a││b│-│a││b│a•b=│a││b│COSθe•a=a•e=│a│COSθ性质43、向量数量积的性质设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同25a•b=│a││b│COSθ（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0（）（2）若a0，则对任意非零向量b，有a•b0()（3）若a0，且a•b=0，则b=0（）（4）若a•b=0，则a=0或b=0

（）（5）对任意向量a有（）（6）若a0，且a•b=a•c

，则b=c（）4、反馈练习:判断正误a²=|a|²××××√√向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的a•b=│a││b│COSθ（1）若a=0，则对任意向量b，265、典型例题分析a•b=│a││b│COSθ5、典型例题分析a•b=│a││b│COSθ27例题进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角a•b=│a││b│COSθ例题进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又a•b=│a│2824135°钝角直角0－20a•b=│a││b│COSθ6、课时作业：1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－，求a和b的夹角3、已知中，AB＝a，AC＝b当a•b<0时，是＿＿＿三角形；

当a•b=0时，是＿＿＿三角形4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影

5、已知中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA作业524135°钝角直角0－20a•b=│a││b│COSθ6、297、总结提炼（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、几何意义及其性质（2）向量的数量积的物理模型是力做功（3）a•b的结果是一个实数（标量）（4）利用a•b=│a││b│COSθ

，可以求两向量的夹角，尤其是判定垂直（5）五条基本性质要掌握a•b=│a││b│COSθ7、总结提炼a•b=│a││b│COSθ308、作业布置

《优化设计》P82随堂训练1、4、6

P83强化训练2、88、作业布置31a•b=│a││b